Метрические пространства

2012-12-29T23:55:03Z

79.126.109.97:

{{В разработке}}

{{Определение
|id=defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника

Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.
}}

Некоторые примеры метрических пространств:

* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0</tex>. TODO: к чему это? Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики в обратную сторону очевидно, в прямую хз TODO
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)

Центральную роль в изучении МП играют шары:
{{Определение
|id=defob
|definition=
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.
}}

На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.

{{Определение
|id=defts
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \empty \in \tau</tex>
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.
}}

{{Определение
|id=defint
|definition=
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.

'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.

'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.

'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
}}

Для ТП легко ввести понятие предельного перехода: <tex>x_n \in X, x = \lim x_n</tex>, если $\forall G \in X \exists N: \forall n > N: x_n \in G</tex> TODO: тут какая-то бредовня короче

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метрические пространства