Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

2012-03-15T23:36:15Z

83.149.2.229:

{{В разработке}}
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex>.
{{Определение
|definition = Для <tex>\forall x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{||x-y||}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=||x-y*||</tex>, то этот <tex>y*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>ч</tex>'''.
}}
Заметим, что нет гарантий, что <tex>y*</tex> единственный и что он вообще существует. <tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом положительной определенности у этого функционала нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
|proof=
Однородность: <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>, по определению нижней грани <tex>||x-y_{\varepsilon}||<E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon}</tex>.
<tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||<|\lambda|E_y(x)+|\lambda|</tex>, по аксиомам нормы: <tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||=||\lambda x-\lambda y||</tex>. Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\lambda Y_{\varepsilon}\ge E_y(\lambda x)</tex>, тогда <tex>E_y(x) < |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>.

<tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>. Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>.

Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>
Неравенство треугольника: <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>||x_1-y_{\varepsilon}||< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>||x_2-z_{\varepsilon}||< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>, складывая эти два неравенства, получим <tex>||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани <tex>E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>. Устремляя в предыдущем неравенстве <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)</tex>
}}
Отметим некоторый технический момент, <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>y \in Y</tex>, следовательно <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) /le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>. Замкнулись, то есть <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>. Так же, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le ||x-0||=||x||</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le ||x||</tex>. Отсюда, если <tex>x_n \to </tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть как функционал <tex>E</tex> непрерывно.

Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex>, тогда <tex>dim Y = p</tex>. К примеру, <tex>dim H_n = 2n+1
</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>

{{Теорема
|statement= Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>\forall x \in X</tex> <tex>\exists y* \in Y</tex> т акой, что <tex>E_y(x)=||x-y*||</tex>.
|proof= <tex>e_1,..,e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть <tex>Y = \Lambda(e_1,..,e_n)</tex>. Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||</tex>, тогда ясно, что <tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>. Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha*}=(\alpha*_1,..,\alpha*_n)</tex>, тогда в качестве <tex>y*</tex> можно взять <tex>y*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.
Проверим непрерывность:
<tex>|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})|=|||x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k||-||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||</tex><tex>\le ||(x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k + \Delta \alpha_k)e_k)-(x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k)||=||\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta \alpha_k e_k|| \le\sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k|||e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex>.

Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}</tex> число, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.
Обозначим буквой <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex>, так как <tex>E_y(x)=0</tex>, <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>||x-y_n|| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>||x-y_n|| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению.
Теперь выясним на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > 2M</tex>, то есть <tex>||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > 2M</tex>. <tex>||x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \ge ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| - ||x||</tex>, то есть надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > M + ||x||</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| < M + ||x||</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума, поэтому минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \le M + ||x||\}</tex>. Если убедиться, что это множество компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением.
Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(n)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1..n}</tex>.
Проверим, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||\to||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||</tex>, но <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||\le M||x||</tex>, тогда их предел ограничен этим же, а тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, а значит <tex>T</tex> {{---}} замкнуто. <tex>|||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k||-||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||\le||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||=||\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)}</tex>.

Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто.
<tex>||\overline{\alpha}|| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex> {{---}} евклидова норма в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||=||\overline{\alpha}_k||||\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}e_k|| \le M + ||x||</tex>. Обозначим <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}</tex> и заметим, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k=1</tex>. Будем рассматривать суммы <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||</tex>, нам необходимо доказать их ограниченность. Обозначим <tex>m \inf\limits_{||\beta||=1}||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||</tex>, если эта величина больше нуля, то <tex>||\overline{\alpha}|| \le \frac{M+||x||}{m}</tex>. Нижняя грань берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции <tex>\beta_k</tex>, тогда по теореме Вейерштрасса, <tex>\exists \beta*</tex> такая, что <tex>||\beta*||=1</tex>, если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k e_k = 0</tex>, так как <tex>e_k</tex> {{---}} независимы, то <tex>\beta*_k=0</tex>, следовательно <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=0</tex>, но этого быть не может, так как <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=1</tex> по сказанному выше. Значит <tex>m>0</tex>, а значит <tex>T</tex> ограниченно, то есть <tex>T</tex> {{---}} компакт. В силу вышесказанного выше, теорема доказана.
}}
Если рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>||f||=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex> по доказанной теореме <tex>\exists T_n(f) \in A_n</tex> такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>, так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) /ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда по теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит <tex>E_n(f) \to 0</tex>

Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

2012-03-15T21:17:34Z

83.149.2.229: Новая страница: «{{В разработке}} Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру <tex>L_p</tex>. Пусть <tex...»

Математический анализ 2 курс

2012-03-15T20:19:57Z

83.149.2.229: /* Глава XIII Ряды Фурье */

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
matan {{---}} убивать (исп.)


[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8 Множество Витали]

=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===
#[[Полукольца и алгебры]] Вопрос 1 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B&printable=yes печать]
#[[Мера на полукольце множеств]] Вопрос 2 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&printable=yes печать]
#[[Внешняя мера]] Вопрос 3 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера, порожденная внешней мерой]] Вопрос 4 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0,_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Процесс Каратеодори]] Вопросы 5, 6, 7 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Объём n-мерного прямоугольника]] Вопросы 8, 9 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D1%91%D0%BC_n-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Мера Лебега в R^n]] Вопросы 10, 11, 12 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0_%D0%B2_R%5En&printable=yes печать]

=== Глава XI Измеримые функции===
#[[Определение измеримой функции]] Вопросы 13, 14 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]] Вопросы 15, 16 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]
#[[Сходимость по мере]] Вопросы 17, 18 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] Вопросы 18(?), 19, 20, 21 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9&printable=yes печать]

=== Глава XII Интеграл Лебега ===
#[[Определение интеграла Лебега | Определение интеграла Лебега от ограниченных функций по множествам конечной меры]] Вопросы 22, 23 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]] Вопросы 24, 26 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]] Вопрос 27 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Неотрицательные суммируемые функции]] Вопросы 28, 29 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Суммируемые функции произвольного знака]] Вопросы 28(?), 25, 30, 31 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]] Вопросы 32, 33, 34 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Пространство L_p(E)]] Вопросы 35, 36, 37 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L_p(E)&printable=yes печать]
#[[Мера подграфика]] Вопросы 38, 39 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0&printable=yes печать]
#[[Теорема Фубини]] Вопросы 40, 41 [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8&printable=yes печать]
#[[Точки Лебега суммируемой функции]] Нафиг не нужно

=== Глава XIII Ряды Фурье ===
# [[Определение ряда Фурье]]
# [[Интеграл Дирихле]]
# [[Интеграл Фейера]]
# [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]

=== Экзамен ===
[[Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр]]

[[Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр]]

Интеграл Фейера

2012-03-15T20:17:10Z

83.149.2.229:

{{В разработке}}

{{Определение
|definition = Определим, так называемые, '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье.
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>
}}
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
{{Определение
|definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>
}}
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex<tex></tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

{{Утверждение
|statement= <tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
|proof= <tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
}}
Из этой формулы видно, что ядро Фейера неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.
{{Определение
|definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''
}}
{{Утверждение
|statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>
|proof=
}}
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических.
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x) (с.а.)</tex>, в этом состоит смысл введения сумм Фейера.

Интеграл Фейера

2012-03-15T20:15:49Z

83.149.2.229: Новая страница: «{{В разработке}} {{Определение |definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как сред...»

{{В разработке}}

{{Определение
|definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье.
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>
}}
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
{{Определение
|definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>
}}
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex<tex></tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

{{Утверждение
|statement= <tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
|proof= <tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
}}
Из этой формулы видно, что ядро Фейера неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.
{{Определение
|definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''
}}
{{Утверждение
|statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>
|proof=
}}
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических.
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x) (с.а.)</tex>, в этом состоит смысл введения сумм Фейера.