Теорема Банаха-Штейнгауза

2013-01-11T14:45:11Z

83.149.3.211: В определении поточечной и равномерной ограниченности строгое неравенство.

{{В разработке}}

Будем рассматривать последовательность операторов <tex>A_n: X \rightarrow Y</tex>.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''поточечно ограничена''', если <tex>\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| < +\infty</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''равномерно ограничена''', если <tex>\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| < +\infty</tex>.
}}

{{Теорема
|author=
Банах, Штейнгауз
|about=
принцип равномерной ограниченности
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
|proof=
Сначала покажем, что существует замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, в котором последовательнось <tex>A_n x</tex> ограничена. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>.

Тогда в силу неограниченности найдется <tex> n_1: \|A_{n_1} x_1\| \ge 1</tex>; <tex>A_{n_1}</tex> непрерывен, значит, можно взять <tex>V_r(x) = \overline {V_1} \subset \overline V</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V)}{2}</tex>.

Опять в силу неограниченности найдется <tex>n_2 > n_1: \|A_{n_2} x_2\| \ge 2</tex>; <tex>A_{n_2}</tex> непрерывен, берем <tex>V_r(x) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V_1)}{2}</tex>.

Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.

Так как <tex>Y</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.

Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m\|</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем последовательность операторов ограничена константой <tex>M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline K(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline K(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex>.
}}

Ссылочки:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle Uniform boundness principle]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теорема Банаха-Штейнгауза