Задача о рюкзаке

2019-02-27T04:54:41Z

88.204.224.70: /* Неограниченный рюкзак */

{{Задача
|definition =
'''Задача о рюкзаке '''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.
}}

== Формулировка задачи ==

Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> — вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:

#<tex>b_{1} w_{1}+ \dots + b_{N} w_{N} \leqslant W</tex>
#<tex>b_{1} p_{1}+ \dots + b_{N} p_{N} </tex> максимальна.

== Варианты решения ==

Задачу о рюкзаке можно решить несколькими способами:

* Перебирать все подмножества набора из N предметов. Сложность такого решения <tex>O({2^{N}})</tex>.

* Методом [[Meet-in-the-middle|Meet-in-the-middle]]. Сложность решения <tex> O({2^{N/2}}{N}) </tex>

* Метод динамического программирования. Сложность — <tex>O(NW)</tex>.

== Метод динамического программирования ==

Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.

<tex>A(k, 0) = 0</tex>

<tex>A(0, s) = 0</tex>

Найдем <tex>A(k, s)</tex>. Возможны 2 варианта:

#Если предмет <tex>k</tex> не попал в рюкзак. Тогда <tex>A(k, s)</tex> равно максимальной стоимости рюкзака с такой же вместимостью и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_{k-1}\}</tex>, то есть <tex>A(k,s) = A(k-1, s)</tex>
# Если <tex>k</tex> попал в рюкзак. Тогда <tex>A(k, s)</tex> равно максимальной стоимости рюкзака, где вес <tex>s</tex> уменьшаем на вес <tex>k</tex>-ого предмета и набор допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_{k-1}\}</tex> плюс стоимость <tex>k</tex>, то есть <tex>A(k-1, s-w_k) + p_k</tex>

<tex>
A(k, s) =
\begin{cases}
A(k-1, s), & b_k = 0 \\
A(k-1, s-w_k) + p_k, & b_k = 1 \\
\end{cases}
</tex>

То есть:
<tex>A(k,s) = \max(A(k-1,s), A(k-1,s-w_{k}) + p_{k})</tex>

Стоимость искомого набора равна <tex>A(N,W)</tex>, так как нужно найти максимальную стоимость рюкзака, где все предметы допустимы и вместимость рюкзака <tex>W</tex>.

'''Восстановим набор предметов, входящих в рюкзак'''

Будем определять, входит ли <tex>n_i</tex> предмет в искомый набор. Начинаем с элемента <tex>A(i,w)</tex>, где <tex>i = N</tex>, <tex>w = W</tex>. Для этого сравниваем <tex>A(i,w)</tex> со следующими значениями:

#Максимальная стоимость рюкзака с такой же вместимостью и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_{i-1}\}</tex>, то есть <tex>A(i-1, w)</tex>
#Максимальная стоимость рюкзака с вместимостью на <tex>w_i</tex> меньше и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_{i-1}\}</tex> плюс стоимость <tex>p_i</tex>, то есть <tex>A(i-1, w-w_i)+p_i</tex>

Заметим, что при построении <tex>A</tex> мы выбирали максимум из этих значений и записывали в <tex>A(i, w)</tex>. Тогда будем сравнивать <tex>A(i, w)</tex> c <tex>A(i-1, w)</tex>, если равны, тогда <tex>n_i</tex> не входит в искомый набор, иначе входит.

Метод динамического программирование всё равно не позволяет решать задачу за полиномиальное время, потому что задача о ранце (или задача о рюкзаке) — одна из [[Класс NP|NP-полных]] задач комбинаторной оптимизации.

== Реализация ==
Сначала генерируем <tex>A</tex>.

'''for''' i = 0 '''to''' w
A[0][i] = 0
'''for''' i = 0 '''to''' n
A[i][0] = 0 ''//Первые элементы приравниваем к 0''
'''for''' k = 1 '''to''' n
'''for''' s = 1 '''to''' w ''//Перебираем для каждого k все вместимости''
'''if''' s >= w[k] ''//Если текущий предмет вмещается в рюкзак''
A[k][s] = max(A[k - 1][s], A[k - 1][s - w[k]] + p[k]) ''//Выбираем класть его или нет''
'''else'''
A[k][s] = A[k - 1][s] ''//Иначе, не кладем''

Затем найдем набор <tex>ans</tex> предметов, входящих в рюкзак, рекурсивной функцией:

'''function''' findAns('''int''' k, '''int''' s)
'''if''' A[k][s] == 0
'''return'''
'''if''' A[k - 1][s] == A[k][s]
findAns(k - 1, s)
'''else'''
findAns(k - 1, s - w[k])
ans.push(k)

Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>

== Пример ==

<tex>W = 13, N = 5</tex>

<tex>w_{1} = 3, p_{1} = 1 </tex>

<tex>w_{2} = 4, p_{2} = 6 </tex>

<tex>w_{3} = 5, p_{3} = 4 </tex>

<tex>w_{4} = 8, p_{4} = 7 </tex>

<tex>w_{5} = 9, p_{5} = 6 </tex>

{|border="1" class="wikitable" style="text-align:center" width="75%"
|-
! || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
|-
| k = 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| k = 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| k = 2 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7
|-
| k = 3 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 11 || 11
|-
| k = 4 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 || 13
|-
| k = 5 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 || 13
|}

Числа от 0 до 13 в первой строчке обозначают вместимость рюкзака.

В первой строке как только вместимость рюкзака <tex>n \geqslant 3</tex>, добавляем в рюкзак 1 предмет.

Рассмотрим <tex>k = 3</tex>, при каждом <tex>s \geqslant 5 (</tex>так как <tex>w_3 = 5)</tex> сравниваем <tex>A[k-1][s]</tex> и <tex>A[k-1][s-w_3]+p_3</tex> и записываем в <tex>A[k][s]</tex> стоимость либо рюкзака без третьего предмета, но с таким же весом, либо с третьим предметом, тогда стоимость равна стоимости третьего предмета плюс стоимость рюкзака с вместимостью на <tex>w_3</tex> меньше.

Максимальная стоимость рюкзака находится в <tex>A(5, 13)</tex>.

'''Восстановление набора предметов, из которых состоит максимально дорогой рюкзак.'''

Начиная с <tex>A(5, 13)</tex> восстанавливаем ответ. Будем идти в обратном порядке по <tex>k</tex>. ''Красным фоном обозначим наш путь''

{|border="1" class="wikitable" style="text-align:center" width="75%"
|-
! || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
|-
| k = 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| k = 1 || 0 ||style="background:#FF0000"| 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| k = 2 || 0 || 0 || 1 || 6 ||style="background:#FF0000"| 6 || 6 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7
|-
| k = 3 || 0 || 0 || 1 || 6 ||style="background:#FF0000"| 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 11 || 11
|-
| k = 4 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 ||style="background:#FF0000"| 13
|-
| k = 5 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 ||style="background:#FF0000"| 13
|}

Таким образом, в набор входит <tex>2</tex> и <tex>4</tex> предмет.

Стоимость рюкзака: <tex> 6 + 7 = 13</tex>

Вес рюкзака: <tex> 4 + 8 = 12</tex>

=Другие задачи семейства=
==Ограниченный рюкзак==
{{Задача
|definition =
'''Ограниченный рюкзак''' (англ. ''Bounded Knapsack Problem'') — обобщение классической задачи, когда любой предмет может быть взят некоторое количество раз.
}}

===Формулировка Задачи===
Каждый предмет может быть выбран ограниченное <tex>b_i</tex> число раз.
Задача выбрать число <tex>x_i</tex> предметов каждого типа так, чтобы

* максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;

* выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \leqslant W</tex>;

где <tex> x_i \in (0,1,\dots,b_i)</tex> для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

===Варианты решения===
При небольших <tex>b_i</tex> решается сведением к классической задаче о рюкзаке. В иных случаях:
* Методом ветвей и границ.
* Методом динамического программирования.

===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> максимальная стоимость любого возможного числа предметов типов от 1 до <tex>i</tex>, суммарным весом до <tex>c</tex>.

Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.

Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 1 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:

<tex>d(i,c) = \max(d(i - 1, c - lw_i) + lp_i) </tex> по всем целым <tex> l </tex> из промежутка <tex> 0 \leqslant l \leqslant min(b_i,\lfloor c/w_i \rfloor)</tex>.

Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного.

После выполнения в <tex> d(N,W) </tex> будет лежать максимальная стоимость предметов, помещающихся в рюкзак.

=== Реализация ===
'''for''' i = 0 '''to''' w ''//База''
d[0][i] = 0
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' c = 1 '''to''' w ''//Перебираем для каждого i, все вместимости ''
d[i][c] = d[i - 1][c]
'''for''' l = min(b[i], c / w[i]) '''downto''' 1 ''//Ищем l для которого выполняется максимум ''
d[i][c] = max(d[i][c], d[i - 1][c - l * w[i]] + p[i] * l)

Сложность алгоритма <tex>O(NW^2)</tex>.
==Неограниченный рюкзак==
{{Задача
|definition =
'''Неограниченный рюкзак''' (англ.''Unbounded Knapsack Problem'') — обобщение ограниченного рюкзака, в котором любой предмет может быть выбран любое количество раз.
}}

===Формулировка Задачи===
Каждый предмет может быть выбран любое число раз.
Задача выбрать количество <tex>x_i</tex> предметов каждого типа так, чтобы

*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;

*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \leqslant W</tex>;

где <tex> x_i \geqslant 0 </tex> целое, для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

===Варианты решения===
Самые распространенные методы точного решения это:
* Метод ветвей и границ.
* Метод динамического программирования.

===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> - максимальная стоимость любого количества вещей типов от 1 до <tex>i</tex>, суммарным весом до <tex>c</tex> включительно.

Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.

Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 0 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:

<tex>
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, \dots, w_i - 1; \\
\max(d(i - 1, c), d(i, c - w_i) + p_i) & for\ c = w_i, \dots, W;
\end{cases}
</tex>

После выполнения в <tex> d(N,W) </tex> будет лежать максимальная стоимость предметов, помещающихся в рюкзак.

Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного и использовать формулу:

<tex> d(c) = \max(d(c), d(c - w_i) + p_i) </tex>;

Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>.

==Непрерывный рюкзак==
{{Задача
|definition =
'''Непрерывный рюкзак''' (англ. ''Continuous knapsack problem'') — вариант задачи, в котором возможно брать любую дробную часть от предмета, при этом удельная стоимость сохраняется.
}}

===Формулировка Задачи===
Задача выбрать часть <tex>x_i</tex> каждого предмета так, чтобы

*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;

*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \leqslant W</tex>;

где <tex> 0 \leqslant x_i \leqslant 1</tex> дробное, для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

===Варианты решения===
Возможность брать любую часть от предмета сильно упрощает задачу. Жадный алгоритм дает оптимальное решение в данном случае.

=== Реализация ===
sort() ''//Сортируем в порядке убывания удельной стоимости.''

'''for''' i = 1 '''to''' n ''//Идем по предметам ''
'''if''' w > w[i] ''//Если помещается — берем''
sum += p[i]
w -= w[i]
'''else'''
sum += w / w[i] * p[i] ''//Иначе берем сколько можно и выходим''
'''break'''

==Задача о суммах подмножеств==
{{Задача
|definition =
'''Задача о суммах подмножеств''' (англ. ''Subset sum problem, Value Independent Knapsack Problem'') — задача из семейства, в которой стоимость предмета совпадает с его весом.
}}

===Формулировка Задачи===
Нужно выбрать подмножество так, чтобы сумма ближе всего к <tex>W</tex>, но не превысила его. Формально, нужно найти набор бинарных величин <tex>x_i</tex>, так чтобы

*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i</tex>;

*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \leqslant W</tex>;

<tex> x_j = 1 </tex> если <tex> j</tex> предмет назначен рюкзаку, иначе <tex> x_{ij} = 0 </tex>, для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

===Варианты решения===
Для решения пригодны любые методы применяемые для классической задачи, однако специализированые алгоритмы обычно более оптимальны по параметрам. Используются:
* Метод динамического программирования.
* Гибридный метод на основе динамического программирования и поиска по дереву. В худшем случае, работает за <tex> O(n) </tex>.

===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> максимальная сумма <tex>\leqslant c</tex>, подмножества взятого из <tex> 1, \dots,\ i</tex> элементов.

Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.

Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 0 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:

<tex>
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, \dots, w_i - 1; \\
\max(d(i - 1, c), d(i - 1, c - w_i) + w_i) & for\ c = w_i, \dots, W;
\end{cases}
</tex>

После выполнения в <tex> d(N,W) </tex> будет лежать максимальная сумма подмножества, не превышающая заданное значение.

Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>.

==Задача о размене==
{{Задача
|definition =
'''Задача о размене''' (англ. ''Change-Making problem'') — имеются <tex> N </tex> неисчерпаемых типов предметов с весами <tex>w_i</tex>. Нужно наполнить рюкзак предметами с суммарным весом <tex>W</tex>.
}}

Часто задачу ставят как, дать сдачу наименьшим количеством монет.
===Формулировка Задачи===
Каждый предмет может быть выбран любое число раз.
Задача выбрать количество <tex>x_i</tex> предметов каждого типа так, чтобы

*минимизировать количество взятых предметов: <tex>\sum_{i=1}^N x_i</tex>;

*сумма весов выбранных предметов равнялась вместимости рюкзака: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i = W</tex>;

Где <tex> x_i \geqslant 0 </tex> целое, для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
Самые распространенные методы точного решения это:
* Метод ветвей и границ.
* Метод динамического программирования.

===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> минимальное число предметов, типов от 1 до <tex>i</tex>, необходимое, чтобы заполнить рюкзак вместимостью <tex>c</tex>.

Пусть <tex>d(0,0) = 0</tex>, а <tex>d(0,c) = \inf</tex> для всех <tex>c > 0</tex>.

Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 0 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:

<tex>
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, \dots, w_i - 1; \\
min(d(i - 1, c), d(i, c - w_i) + 1) & for\ c = w_i, \dots, W;
\end{cases}
</tex>

После выполнения в <tex> d(N,W) </tex> будет лежать максимальная стоимость предметов, помещающихся в рюкзак.

Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного и использовать формулу:

<tex> d(c) = min(d(c), d(c - w_i) + 1) \qquad for\ c = w_i, \dots, W</tex>.

Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>.

==Задача об упаковке==
{{Задача
|definition =
'''Задача об упаковке''' (англ. ''Bin Packing Problem'') — имеются <tex> N </tex> рюкзаков вместимости <tex> W </tex> и столько же предметов с весами <tex>w_i</tex>. Нужно распределить все предметы, задействовав минимальное количество рюкзаков.
}}

===Формулировка Задачи===
Математически задачу можно представить так:

*минимизировать количество рюкзаков: <tex>\sum_{i=1}^N y_i</tex>;

*так чтобы выполнялось условие на совместность: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_{ij} \leqslant Wy_j \qquad j \in {1, \dots, N}</tex>;

<tex> x_{ij} = 1 </tex> если <tex> j</tex> предмет назначен <tex>i </tex> рюкзаку. Иначе <tex> x_{ij} = 0 </tex>.

<tex> y_i = 1 </tex> если <tex> i</tex> рюкзак используется. Иначе <tex> y_i = 0 </tex>.

===Варианты решения===
Применение динамического программирования нецелесообразно. Обычно применяют аппроксимационные алгоритмы, либо используют метод ветвей и границ.

==Мультипликативный рюкзак==
{{Задача
|definition =
'''Мультипликативный рюкзак''' (англ. ''Multiple Knapsack Problem'') — есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>. Задача: выбрать <tex>M</tex> не пересекающихся множеств, назначить соответствие рюкзакам так, чтобы суммарная стоимость была максимальна, а вес предметов в каждом рюкзаке не превышал его вместимость.
}}

===Формулировка Задачи===
Максимизировать <tex>\sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^{N} p_jx_{ij}</tex>

так, чтобы <tex>\sum_{i=1}^N w_jx_{ij} \leqslant W_i</tex> выполнялось для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

<tex>\sum_{j=1}^{M}x_{ij}=1</tex> для всех <tex> i= 1,2,\dots,N</tex>.

<tex> x_{ij} = 1 </tex> если <tex> j</tex> предмет назначен <tex>i </tex> рюкзаку. Иначе <tex> x_{ij} = 0 </tex>.

===Варианты решения===
Применение динамического программирования, для задач данного типа нецелесообразно. Используются вариации метода ветвей и границ.

==Задача о назначении==
{{Задача
|definition =
'''Задача о назначении''' (англ. ''Generalized Assignment Problem'') — Наиболее общая задача семейства. Отличается от мультипликативного рюкзака тем, что каждый предмет имеет различные характеристики в зависимости от рюкзака, куда его помещают. Есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>, у <tex> j </tex> предмета <tex> p_{ij} </tex> стоимость и вес, при помещении его в <tex> i </tex> рюкзак, равны <tex> p_{ij} </tex> и <tex> w_{ij} </tex> соответственно.
}}

Весьма важная задача, так как она моделирует оптимальное распределение различных задач между вычислительными блоками.
===Формулировка Задачи===

Максимизировать стоимость выбранных предметов <tex>\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N p_{ij} x_{ij}</tex>,

при выполнении условия совместности <tex>\sum_{j=1}^N w_{ij} x_{ij} \leqslant W_i \qquad i=1, \ldots, M</tex>.

<tex> \sum_{i=1}^M x_{ij} \leqslant 1 \qquad j=1, \ldots, N</tex>.

<tex> x_{ij} \in \{0,1\} \qquad i=1, \ldots, N, \quad j=1, \ldots, N</tex>.

===Варианты решения===
Применение динамического программирования нецелесообразно. Наиболее используем метод ветвей и границ.

== См. также ==
* [[Класс NP]]
* [[Метод четырех русских для умножения матриц]]
* [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера]]
* [[Meet-in-the-middle]]

== Источники информации ==
*[http://informatics.mccme.ru/moodle/mod/book/view.php?id=815&chapterid=60 Дистанционная подготовка по информатике]
*[http://rosettacode.org/wiki/Knapsack_Problem Код для нескольких задач семейства на всевозможных языках]
*[http://www.diku.dk/users/pisinger/95-1.pdf David Pisinger Knapsack problems. — 1995]
*Silvano Martello, Paolo Toth. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations — 1990 г. — ISBN 0-471-92420-2

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о рюкзаке