Метод Лупанова синтеза схем

2017-12-30T14:41:31Z

91.108.30.214: /* Мультиплексор и дешифратор */

{{
Теорема|statement=
Любая [[Определение булевой функции | булева функция]] от <tex>n</tex> аргументов <tex>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</tex> в базисе <tex>B = \{\neg, \lor, \land\}</tex> имеет [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов#Схемная сложность | схемную сложность]] <tex>size_B (f) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>.
}}

== Представление функции ==
[[Файл:Lupanov fig1.png|450px|thumb|right|Рис. <tex>1</tex>. Описываемая таблица истинности, разделённая на полосы]]
Поделим аргументы функции на два блока: первые <tex>k</tex> и оставшиеся <tex>(n - k)</tex>.

Для удобства дальнейших рассуждений представим булеву функцию в виде таблицы, изображённой на рис. <tex>1</tex>. Строки индексируются значениями первых <tex>k</tex> переменных, столбцы — значениями оставшихся <tex>(n - k)</tex>; таким образом, на пересечении столбца и строки находится значение функции для соответствующего набора аргументов.

== Разделение на полосы ==
Разделим таблицу на '''''горизонтальные полосы''''' шириной <tex>s</tex> (последняя полоса, возможно, будет короче остальных; её ширину обозначим <tex>s'</tex>). Пронумеруем полосы сверху вниз от <tex>1</tex> до <tex dpi="145">p=\left\lceil\dfrac{2^k}{s}\right\rceil</tex>.

Рассмотрим независимо некоторую полосу. Заметим, что среди её столбцов при небольшом <tex>s</tex> будет много повторений; далее про одинаковые столбцы, находящиеся в одной полосе, будем говорить, что они одного '''''сорта'''''.
{{
Определение|definition=
'''Сорт''' некоторого столбца данной полосы {{---}} его [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | класс эквивалентности]] по отношению поэлементного равенства столбцов данной полосы.
}}
Число сортов столбцов <tex>i</tex>-й полосы обозначим как <tex>t(i)</tex>. Понятно, что для любой полосы <tex>t(i) \leqslant 2^s</tex> (для последней <tex>t(p) \leqslant 2^{s'}</tex>).

== Функция для одной полосы ==
[[Файл:Lupanov_fig2.png|330px|thumb|right|Рис. <tex>2</tex>. Значения, возвращаемые функцией <tex>g_{ij}</tex>]]
Пусть для некоторого <tex>i</tex>
* <tex>\beta_{j}</tex> {{---}} произвольный столбец <tex>i</tex>-й полосы <tex>j</tex>-го сорта (точное положение столбца далее не будет иметь значения, по определению сорта)
* <tex>(\sigma_1^l, \sigma_2^l, \ldots, \sigma_k^l)</tex> {{---}} аргументы функции, соответствующие <tex>l</tex>-й строке <tex>i</tex>-й полосы.
Тогда введём булеву функцию

<tex>g_{ij}(x_1, x_2, \ldots, x_k) = \begin{cases}
\beta_{jl}, \mbox{ if } \exists l \in [1; s]~(x_1, x_2, \ldots, x_k) = (\sigma_1^l, \sigma_2^l, \ldots, \sigma_k^l) \\
0, \mbox{ otherwise}
\end{cases}</tex>

Другими словами, если строка, соответствующая аргументам функции <tex>x_1, x_2, \ldots, x_k</tex>, находится в <tex>i</tex>-й полосе, то функция возвращает значение, записанное в столбце сорта <tex>j</tex> для этой строки. Если же эта строка находится в другой полосе, то функция вернёт <tex>0</tex>. Иллюстрация принципа работы функции <tex>g_{ij}</tex> приведена на рис. <tex>2</tex>.
=== Вывод исходной функции для фиксированной части параметров ===
Поскольку изначальный столбец <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, \ldots, \sigma_{n})</tex> складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах,
<tex dpi="145">f(x_1, x_2, \ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, \ldots, \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, \ldots, x_k)</tex>,
где <tex>j_i</tex> {{---}} номер сорта столбца полосы <tex>i</tex>, являющегося соответствующей частью столбца <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, \ldots, \sigma_{n})</tex>.

== Мультиплексор и дешифратор ==
Для упрощения доказательства теоремы будем использовать элементы '''''мультиплексор''''' и '''''дешифратор'''''.
{{
Определение|definition=
'''Мультиплексор''' (''англ.'' multiplexer) {{---}} логический элемент, получающий на вход
* <tex>2^n</tex> булевых значений;
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
и возвращающий значение на <tex>x</tex>-м входе.
}}{{
Определение|definition=
'''Дешифратор''' (или демультиплексор, ''англ.'' demultiplexer) {{---}} логический элемент, получающий на вход
* булево значение <tex>z</tex>;
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
и выводящий <tex>z</tex> на <tex>x</tex>-й из своих <tex>2^n</tex> выходов. На все остальные выходы элемент выдаёт <tex>0</tex>.
}}
{|
|[[Файл:Mux_demux.png|500px|thumb|Мультиплексор слева, дешифратор справа]]
|}

Оба элемента представимы схемами с числом элементов <tex>O(2^n)</tex> с помощью базиса <tex>B</tex>.

== Доказательство ==
В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции <tex>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</tex> (представление Лупанова, ''англ.'' Lupanov <tex>(k, s)</tex>-representation).

[[Файл:Lupanov_scheme.png|550px|Иллюстрация частного случая представления Лупанова, описанного здесь]]

Для удобства поделим схему на блоки:
* '''Блок A''' {{---}} дешифратор, которому на вход подали <tex>1</tex> и <tex>(x_1, x_2, \ldots, x_k)</tex> в качестве двоичного представления числа.
* '''Блок B''' {{---}} схемная реализация всех <tex>g_{ij}</tex>. Функцию <tex>g_{ij}</tex> можно реализовать как <tex dpi="145">\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}</tex>, где <tex>y_{il}</tex> {{---}} выдал ли дешифратор <tex>1</tex> на <tex>l</tex>-м выходе <tex>i</tex>-й полосы.
* '''Блок C''' {{---}} схемная реализация всех <tex>f(x_1, x_2, \ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, \ldots, \sigma_n)</tex>. ''(здесь <tex>\sigma_i</tex> - фиксированные параметры, см. п. <tex>3.1</tex>)''
* '''Блок D''' {{---}} мультиплексор, получающий на вход все <tex>f(x_1, x_2, \ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, \ldots, \sigma_n)</tex> и параметры функции <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, \ldots, x_n</tex> в качестве двоичного представления числа. '''''Результат работы схемы''''' {{---}} вывод мультиплексора.

Положим <tex>s = \lfloor n - 2\log_2 n\rfloor</tex>; <tex>k = \lfloor\log_2 n\rfloor</tex>. Тогда число элементов в блоках
* <tex>L_A = O(2^k) = O(2^{\log_2 n}) = O(n)</tex>
* <tex>L_B \leqslant (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + \ldots + t(p)) < sp \cdot 2^s = n \cdot \dfrac{2^n}{n^2} = \dfrac{2^n}{n}</tex>
* <tex>L_C = O(p \cdot 2^{n - k}) = O\left(\dfrac{p}{n} \cdot 2^n\right) = O\left(\dfrac{2^n}{s}\right) = O\left(\dfrac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right)</tex>
* <tex>L_D = O(2^{n - k}) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>

Итого, имеем схему c числом элементов <tex>L_A + L_B + L_C + L_D = O(n) + O\left(\frac{2^n}{n}\right) + O\left(\dfrac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right) + O\left(\dfrac{2^n}{n}\right) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>, откуда следует, что <tex>size_B (f) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>, что и требовалось доказать.

== См. также ==
*[[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов]]
*[[Простейшие_методы_синтеза_схем_из_функциональных_элементов|Простейшие методы синтеза схем из функциональных элементов]]
*[[Контактная_схема|Контактная схема]]

== Источник информации ==
* Яблонский С.В. Введение в дискретную математику {{---}} М.:"Наука", 1986 {{---}} стр. 361
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplexer Wikipedia {{---}} Multiplexer]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метод Лупанова синтеза схем