QpmtnCmax

2016-06-05T10:47:17Z

91.221.67.89: правки

<tex dpi = "200">Q \mid pmtn \mid C_{max}</tex>
{{Задача
|definition=
Дано несколько станков с разной скоростью выполнения работ, работающих параллельно. Работа может быть прервана в любой момент и продолжена позже на любой машине. Необходимо минимизировать время выполнения всех работ.
}}

===Алгоритм построения расписания===
Перед выполнением алгоритма, упорядочим все работы по убыванию их времени выполнения:<tex> p_1 \geqslant p_2 \geqslant p_3 \ldots </tex>, а все машины в порядке убывания скоростей: <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant s_3 \ldots </tex>. Введем следующие обозначения:

<tex> P_i = p_1 + \ldots + p_i</tex>

<tex> S_j = s_1 + \ldots + s_j</tex>

<tex>i = 1 \ldots n</tex>, <tex>j = 1 \ldots m</tex>, <tex> p_i</tex> - время выполнения <tex>i</tex>-ой работы, <tex> s_j</tex> - скорость работы <tex> j </tex>-oй машины.

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex>[0..T]</tex>:

<tex> P_n = p_1 + \ldots + p_n \leqslant s_1T + \ldots + s_mT = S_mT</tex> или <tex>P_n/S_m \leqslant T</tex>

Кроме того, должно выполняться условие <tex>P_j/S_j \leqslant T</tex> для всех <tex> j = 1 \ldots m - 1 </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ <tex> J_1 \ldots J_j</tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_{max}</tex> :

<tex>C_{max}</tex> = <tex>\max\{\max\limits_{j=1}^{m-1} {P_j \over S_j}, {P_n \over S_m}\}</tex>

Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>Level</tex>-ом работы <tex> p_i(t) </tex> - невыполненную часть работы <tex> p_i </tex> в момент времени <tex> t </tex>

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки <tex>C_{max}</tex>, с помощью <tex>Level</tex>-алгоритма.

<tex>Level</tex> - алгоритм:

<tex>t \leftarrow 0 </tex>
'''while''' <tex>\exists p(t) > 0</tex>
Assign(t)
<tex>t_1 \leftarrow \min (s \mid s > t </tex> '''and''' <tex>p(s) = 0)</tex>
<tex>t_2 \leftarrow \min (s \mid s > t</tex> '''and''' <tex>\exists i</tex>, <tex>j : p_i(t) > p_j(t)</tex> '''and''' <tex>p_i(s) = p_j(s))</tex>
<tex>t \leftarrow \min(t_1</tex>, <tex>t_2)</tex> // поиск следующего момента времени, в который нужно будет перераспределить машины/работы 
Построение расписания

Функция <tex>Assign(t)</tex>:

<tex>J = \{i \mid p_i(t) > 0\}</tex> // множество работ с положительным level 
<tex>M = \{M_1 \ldots M_m\}</tex> // множество всех станков 
'''while''' <tex>J \ne \varnothing</tex> '''or''' <tex>M \ne \varnothing</tex>
max // максимальное значение level из J 
count // количество работ с level = max 
<tex>r = min(|M|</tex>, <tex>count)</tex>
<tex>I \leftarrow \{r</tex> работ из <tex>J \mid p(t) = max\}</tex>
<tex>M' \leftarrow \{r</tex> самых быстрых машин из <tex>M\}</tex>
Распределяем работы
<tex>J \leftarrow J \setminus I</tex>
<tex>M \leftarrow M \setminus M'</tex>

===Доказательство корректности алгоритма===
Так как нижняя граница <tex>C_{max}</tex>:

<tex>C_{max}</tex> = <tex>\max\{\max\limits_{j=1}^{m-1} {P_j \over S_j}, {P_n \over S_m}\}</tex>

то достаточно показать, что составленное расписание достигает этой оценки.

Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex> p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_n(0) </tex>. Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для любого момента времени. Получаем: <tex> p_1(t) \geqslant p_2(t) \geqslant \ldots \geqslant p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, будем считать что в любой момент времени <tex>T</tex> нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

<tex> T(s_1 + \ldots + s_m) = p_1 + p_2 + \ldots + p_n </tex> или <tex> T = {P_n \over S_m} </tex>

Таким образом необходимая оценка достигается нашим алгоритмом.

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, получим следующее неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex> f_i </tex>) на станках <tex>M_1 \ldots M_m</tex>, пронумерованных по убыванию скоростей:

<tex> f_1 \geqslant f_2 \geqslant \ldots \geqslant f_m </tex>

Докажем написанное выше неравенство:

Предположим, что <tex> f_i < f_{i+1} </tex> для некоторого <tex> 1 \leqslant i \leqslant m-1 </tex>. Тогда <tex>Level</tex> последней работы, выполнявшейся на станке <tex> M_i </tex> в момент времени <tex> f_i - \varepsilon </tex> (где <tex> \varepsilon > 0</tex> достаточно мал) меньше, чем <tex>Level</tex> последней работы на станке <tex> M_{i+1} </tex>. Пришли к противоречию, так как при распределении, работы с наибольшим <tex>Level</tex> выставлялись на самые быстрые станки.

Пусть <tex> T </tex> = <tex> f_1 = f_2 = f_3 = \ldots = f_j > f_{j+1}</tex> ,где <tex> j < m </tex>. Чтобы работы завершились в момент времени <tex> T </tex>, необходимо начать их в момент времени 0, поскольку если это не выполняется, то у нас найдется работа <tex> J_i </tex> , которая начинается позже <tex> t = 0 </tex> и заканчивается в <tex> T </tex>. Это означает, что в момент времени <tex> 0 </tex> начинаются как минимум <tex> m </tex> работ. Пусть первые <tex> m </tex> работ стартовали вместе на всех машинах. Мы получаем <tex> p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_m(0) \geqslant p_i(0) </tex>, из чего следует, что <tex> p_1(T - \varepsilon) \geqslant \ldots \geqslant p_m(T - \varepsilon) \geqslant p_i(T - \varepsilon) > 0 </tex> для любого <tex> \varepsilon </tex>, удовлетворяющего условию <tex> 0 \leqslant \varepsilon < T - t </tex>. Таким образом, до момента времени <tex> T </tex> нет простаивающих машин. Пришли к противоречию. Получаем <tex> T = {P_j \over S_j} </tex>.

===Пример===
[[Файл:Qpmtncmax.png|600px|thumb|right|Картинка к примеру]]

Пусть у нас есть 6 работ и 3 станка. Покажем работу алгоритма для данного случая.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_3</tex> на станках <tex>M_1-M_3</tex> соответственно. В момент времени <tex>T_1</tex> <tex>lvl</tex> 1-ой работы и 2-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_1,J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1 M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex> J_3,J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex> M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5 J_6</tex> и все работы закончатся одновременно.

===Время работы===
<tex> Level </tex> - алгоритм вызывает функцию <tex> Assign(t) </tex> в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция <tex> Assign(t) </tex> выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

==Источники информации==
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 124 {{---}} 129 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

QpmtnCmax