Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром

2019-04-02T12:06:14Z

93.175.2.204: /* Теоремы И Леммы */

__TOC__
== Определения ==

=== Скалярный оператор(Оператор скалярного типа) ===
{{Определение
|id=def1
|neat =
|definition =
<tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> называется '''скалярным оператором(оператором скалярного типа)''', если у него существует полный набор собственных векторов. Или, что то же самое, если в пространстве <tex>X</tex> можно указать базис, состоящий из собственных векторов оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
}}

=== Простое собственное число ===
{{Определение
|id=def2
|neat =
|definition =
Собственное число <tex>\lambda_{0}</tex> линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется '''простым''', если оно является простым корнем характеристического полинома. Т.е. <tex>\mathcal{X}(\lambda)/(\lambda - \lambda_{0}) \ne 0 </tex>
}}

=== Спектр оператора ===
{{Определение
|id=def4
|neat =
|definition =
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>. Тогда '''спектром оператора''' <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> называется множество всех его собственных значений.
}}

=== Простой спектр ===
{{Определение
|id=def3
|neat =
|definition =
Если все собственные числа оператора <tex>\mathcal{A}</tex> простые, то оператор называется '''Л.О. с простым спектром'''

*NB Если оператор с простым спектром, то это оператор скалярного типа.
}}

== Теоремы и Леммы ==

=== Теорема о матрице оператора в базисе из собственных векторов ===
{{Теорема
|id=th1
|autor =
|about =
|statement =
В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица скалярного оператора имеет диагональный вид.
|proof =
По определению, матрица <tex>||\alpha_{i}^{k}||</tex> оператора <tex>\mathcal{A}</tex> в базисе <tex>\{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex> определяется из условия <tex>Ax_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{i}^{k}x_{k}</tex>. Поскольку <tex>Ax_{i} = \lambda_{i}x_{i}</tex>, имеем <tex>\alpha_{i}^{k} = \delta_{i}^{k}\lambda_{i}</tex>
}}

=== Лемма о собственном подпространстве ===
{{Лемма
|id=lemma1
|author=
|about=
|statement=
Для <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>,
<tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A - \lambda_{i}I)</tex>
|proof =
<tex>\dim(X_{\lambda_{i}}) = 1</tex>
<tex>X_{\lambda_{i}} = \{x \in X : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x\} \Rightarrow (A-\lambda_{i}I)x = 0</tex> т.е. <tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A-\lambda_{i}I)</tex>
}}

=== Теорема о линейной независимости векторов, отвечающих различным собственным значениям ===
{{Теорема
|id=th2
|autor =
|about =
|statement =
Пусть <tex>\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}</tex> - базис <tex>X</tex>. Где <tex>x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}</tex> - собственные вектора... '''И что тут писать дальше??'''
}}

== Диагональный вид матрицы ==
<tex>\mathcal{A} \Longleftrightarrow</tex> <math dpi = "145">\widehat{A}= \begin{pmatrix}
{\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\
{0} & {\lambda}_{2} & \cdots & {0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\
\end{pmatrix}</math> В базисе <tex>\{x_{i}\}</tex>

<tex>\widehat{A} = X^{-1}AX \ T=X=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})</tex>

<tex>\mathcal{X}_{A}(\lambda) = \prod\limits_{i=1}^{n}(\alpha-\alpha_{i})^{1} \ \ \ \ \ \ \ \lambda_{i} \longleftrightarrow X_{\lambda_{i}} = </tex> л.о. {<tex>x_{i}</tex>} <tex>\lambda_{i} \ne \lambda{j}, i \ne \j</tex>, где <tex>x_{i} - </tex> с.в. отвечающий с.з. <tex>\lambda_{i}</tex>, <tex>dimX_{\lambda_{i}} = 1</tex>

<tex>\{x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}\}</tex> - базис X.

<tex>\mathcal{A} \longleftrightarrow A</tex> В базисе <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>; <tex>\ \ \ \ \mathcal{A} \longleftrightarrow \widehat{A}</tex> В базисе <tex>\{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>

'''Алгоритм:'''

1) <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n} \longrightarrow \{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex> (по Т) : <tex>T = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})</tex>

<tex>X_{i} = (\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n})^{T}</tex> - координаты СВ <tex>x_{i}</tex> в <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>

2) <tex>\widehat{A} = T^{-1}AT = </tex> <math dpi = "145"> \begin{pmatrix}
{\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\
\end{pmatrix}</math>

<tex>X = \sum\limits_{i=1}^{n}X_{\lambda_{i}} \ X_{\lambda_{i}} : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x</tex>, где <tex>x = \alpha*x_{i}</tex>

=== hnya ===

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром