Полукольца и алгебры

2021-10-31T21:36:04Z

93.175.5.197: /* Алгебра */ счётное => бесконечное, а под n обычно подразумевается конечное

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

== Полукольцо ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in \mathcal R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}

Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\,[a; b) \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\,\} </tex>.
Элементы этого полукольца называются '''ячейками'''.

Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k </tex> дизъюнктны.
|proof=
Доказательство ведем индукцией по <tex> n </tex>. При <tex> n = 1 </tex> получаем в точности третью аксиому полукольца.

Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:

<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k,j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>

Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1 \cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_{n+1} \setminus (\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)) \cup \ldots </tex>

По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:

<tex> B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
}}

== Алгебра ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:

# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>

<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств:

<tex> B_1, B_2, ... \in \mathcal A \Rightarrow \bigcap\limits_{\infty} B_n \in \mathcal A </tex>
}}

Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cap \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.

'''σ'''-алгебра замкнута относительно теоретико-множественных операций с не более, чем счетным числом объектов.

Cигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец: <tex> A \subset B, B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal{A} </tex>

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Полукольца и алгебры