Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

2019-02-26T19:55:28Z

93.72.100.135: Опечатка в правилах вывода из S в шагах 4 и 5

{{Определение
|definition=Грамматикой в '''нормальной форме Грейбах''' (англ. ''Greibach normal form'') называется [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], в которой могут содержаться только правила одного из следующих типов:
:<tex> A \rightarrow a\gamma </tex>

:<tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>
где <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал (возможно, стартовый), <tex> S </tex> {{---}} стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строка, <tex> \gamma </tex> {{---}} строка из не более, чем двух нетерминалов.
}}

{{Определение
|definition=Грамматикой в '''ослабленной нормальной форме Грейбах''' (англ. ''Greibach weak normal form'') называется [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], в которой могут содержаться только правила одного из следующих типов:
:<tex> A \rightarrow a\gamma </tex>

:<tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>
где <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал (возможно, стартовый), <tex> S </tex> {{---}} стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строка, <tex> \gamma </tex> {{---}} строка из произвольного числа терминалов и нетерминалов.
}}

== Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах ==
{{Теорема
|statement=Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к ослабленной нормальной форме Грейбах.
|proof=
Рассмотрим контекстно-свободную грамматику <tex> \Gamma </tex>. Для приведения её к нормальной ослабленной форме Грейбах нужно выполнить три шага. На каждом шаге мы строим новую грамматику, допускающую тот же язык, что и <tex> \Gamma </tex>.

#Избавимся от <tex> \varepsilon </tex>-правил. Для этого воспользуемся [[Удаление_eps-правил_из_грамматики | алгоритмом удаления <tex> \varepsilon </tex>-правил]].
#Воспользуемся [[Устранение_левой_рекурсии|алгоритмом устранения левой рекурсии]].Получим грамматику, все правила которой будут иметь следующий вид:
#* <tex> A_i \rightarrow a \gamma </tex>,
#* <tex> A_i \rightarrow A_j \gamma </tex>, где <tex> A_i </tex>, <tex> A_j </tex> {{---}} нетерминалы, <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> \gamma </tex> {{---}} произвольная последовательность из терминалов и нетерминалов, <tex> i < j </tex>.
#Воспользуемся следующей функцией для придания грамматике нужного вида:
'''function''' greibah(правила <tex>A_1 \dots A_n</tex> из контекстно-свободной грамматики <tex> \Gamma </tex>):
'''for''' i = n .. 1
'''for''' j = i + 1 .. n
Для каждого правила вывода из <tex> A_j </tex> вида <tex> A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k </tex> заменить каждое правило <tex> A_i \rightarrow A_j \gamma </tex> на <tex> A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma </tex>.

После каждой итерации главного цикла все правила для <tex> A_k </tex> (где <tex>k \geqslant i</tex>) будут иметь вид <tex> A_k \rightarrow a \gamma </tex>.
Значит, после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид <tex> A \rightarrow a \gamma </tex>.

Таким образом, мы получили грамматику в ослабленной нормальной форме Грейбах, которая допускает тот же язык, что и исходная.
}}

== Пример ==
{| border="1" class="wikitable" style="width: 500px; height: 500px; float: left;"
!style="background:#41aef0"|Текущий шаг
!style="background:#41aef0"|Грамматика после применения правила
|-
|''0. Исходная грамматика''
|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <tex>B\rightarrow b|SB</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|-
|''1. Удаление <tex>\varepsilon</tex>-правил''
|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <tex>B\rightarrow b|SB</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|-
|''2. Удаление стартового нетерминала из правых частей правил
|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <tex>B\rightarrow bAB|BBB|b</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|-
|''3. Удаление левой рекурсии
|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|-
|''4. Выполняем функцию '''greibah''' для правила <tex>S\rightarrow XA|BB</tex>
|<tex>S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|bZB</tex> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|-
|''5. Выполняем функцию '''greibah''' для правила <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex>
|<tex>S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|bZB</tex> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <tex>Z\rightarrow bABB|bB|bABZB|bZB|bABBZ|bBZ|bABZBZ|bZBZ</tex> <tex>X\rightarrow b</tex> <tex>A\rightarrow a</tex>
|}
<div style="clear:both;"></div>

=== Асимптотика ===

Алгоритм состоит из трех шагов, сложность первого и последнего шага равны <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> и <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex> соответственно. Таким обзом, сложность алгоритма является <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2) + O\left(n\sum\limits_{i=1}^n a_j\right)</tex>, где второй член {{---}} сложность алгоритма удаления левой рекурсии.

== Применение ==
'''Простота доказательств'''

Использование нормальных форм существенно упрощает доказательство теорем. Например, использование нормальной формы Грейбах позволяет доказать, что для каждого контекстно-свободного языка (не содержащего <tex>\varepsilon</tex>) существует автомат с магазинной памятью без переходов по <tex>\varepsilon</tex>. <ref>[http://www.cis.upenn.edu/~jean/old511/html/cis51108sl4b.pdf Jean Gallier {{---}} Discrete Mathematics]</ref>

'''Разбор грамматики'''

Нормальная форма Холмского позволяет производить разбор грамматики. Например, с помощью [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ|алгоритма Кока-Янгера-Касами]]. В свою очередь, нормальная форма Грейбах позволяет использовать метод рекурсивного спуска, сложность которого является линейной, несмотря на возвраты.

== См. также ==
* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]
* [[Нормальная_форма_Куроды | Нормальная форма Куроды]]
* [[Нормальная_форма_Хомского | Нормальная форма Хомского]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
* [[wikipedia:en:Greibach normal form | Wikipedia {{---}} Greibach normal form]]
* [http://www.iitg.ernet.in/gkd/ma513/oct/oct18/note.pdf MA513: Formal Languages and Automata Theory]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах