Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания

2018-05-01T11:59:41Z

93.84.16.25: Исправление алгоритма(неправильный символ)

==Идея алгоритма==
Пусть дан [[Основные определения теории графов|неориентированный двудольный граф]] <tex>G(V, E)</tex> и требуется найти [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] в нём. Обозначим доли исходного графа как
<tex>L</tex> и <tex>R</tex>. Построим граф <tex>G'(V', E')</tex> следующим образом:

<tex>V' = V \cup \{s, t\}</tex> (т.е. добавим новый исток <tex>s</tex> и сток <tex>t</tex>);

<tex>E' = \{(s, u): u \in L\} \cup \{(u, v): u \in L, v \in R\ , (u, v) \in E\} \cup \{(v, t): v \in R\} </tex>.
{|align="center"
|-valign="center"
|[[Файл:GrafG.png|thumb|200px|Пример графа <tex>G</tex>.]]
|[[Файл:GrafG2.png|thumb|200px|Соответствующий граф <tex>G'</tex>.]]
|}
Изначально текущее паросочетание пусто. На каждом шаге алгоритма будем поддерживать следующий инвариант: в текущее найденное паросочетание входят те и только те ребра, которые направлены из <tex>R</tex> в <tex>L</tex>.
# Ищем в графе <tex>G'</tex> путь из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|поиском в глубину]].
# Если путь найден, перезаписываем текущее паросочетание. Далее инвертируем все рёбра на пути (ребро <tex>(u, v)</tex> становится ребром <tex>(v, u)</tex> ) и удаляем <tex>(s, L)</tex> и <tex>(R, t)</tex> ребра, покрывающие вершины, принадлежащие текущему паросочетанию.
# Если путь не был найден, значит текущее паросочетание является максимальным, и алгоритм завершает работу. Иначе переходим к пункту 1.

==Корректность алгоритма==

Обозначим как <tex>p'</tex> путь <tex>p</tex> из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> без первого и последнего ребра. Пусть он
является дополняющей цепью для исходного графа <tex>G</tex>, и пусть также существование дополняющей цепи в графе <tex>G</tex> приводит к существованию пути <tex>p'</tex>. Тогда из [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теоремы]]: если мы на каком-то шаге можем найти новый путь, т.е дополняющую цепь, то мы увеличиваем текущее паросочетание. Если путь найти мы уже не можем, значит дополняющих цепей в графе нет и текущее паросочетание — искомое. Осталось доказать что сделанное предположение действительно верно.

Т. к. <tex>p'</tex> — путь в двудольном графе, начинающийся в <tex>L</tex> и заканчивающийся в <tex>R</tex>, то он нечетной длины. Вершины в нем не повторяются (т.к. это путь в дереве поиска в глубину). Рассмотрим текущее паросочетание. Согласно поддерживаемому инварианту <tex>(R,L)</tex>-ребра в паросочетании, а <tex>(L,R)</tex>-ребра {{---}} нет. В таком случае ребра пути <tex>p'</tex> можно пронумеровать так, чтобы нечетные ребра были свободными, а четные — покрытыми ребрами текущего паросочетания. Заметим, что путь может начинаться и заканчиваться только в свободной вершине, т. к. из <tex>s</tex> ведут ребра только в свободные вершины и только из свободных вершин ведут ребра в <tex>t</tex>. Итак, теперь ясно, что <tex>p'</tex> — дополняющая цепь для графа <tex>G</tex>.

Обратно, пусть существует дополняющая цепь в графе <tex>G</tex>. В одной из ориентаций она начинается в какой-то свободной вершине <tex>u \in L\</tex> и заканчивается в свободной вершине <tex>v \in R\</tex>, далее будем рассматривать именно эту ориентацию. Ребра поочередно то не лежат, то лежат в паросочетании, значит в нашей ориентации эти ребра поочередно ориентированы то <tex>(L, R)</tex>, то <tex>(R,L)</tex>. Заметим что эта ориентация совпадает с ориентацией ребер на пути, а значит в нашем ориентированом графе существует путь из свободной вершины <tex>u \in L</tex> в свободную вершину <tex>v \in R</tex>. Нo каждая свободная вершина из <tex>L</tex> связана ребром с <tex>s</tex> в графе <tex>G'</tex>, аналогично каждая свободная вершина из <tex>R</tex> связана ребром с <tex>t</tex>. Не сложно заметить, что, в таком случае, <tex>t</tex> достижим из <tex>s</tex>, а значит в процессе поиска в глубину будет найден некий <tex>s \rightarrow t</tex> путь <tex>p</tex> и соответствующий ему <tex>p'</tex>.

Утверждение доказано.

==Оценка производительности==

Поиск в глубину запускается от вершины <tex>s</tex> не более чем <tex>L</tex> раз, т.к. из <tex>s</tex> ведет ровно <tex>L</tex> ребер, и при каждом запуске одно из них инвертируется. Сам поиск работает за <tex>O(E)</tex>, каждая инвертация и перезапись паросочетания так же занимает <tex>O(E)</tex> времени. Тогда все время алгоритма ограничено <tex>O(VE)</tex>.

==Псевдокод==
* <tex>px[]</tex> {{---}} массив вершин <tex>y \in R</tex>, инцидентные <tex>x_i \in L</tex> в текущем паросочетании,
* <tex>py[]</tex> {{---}} массив вершин <tex>x \in L</tex>, инцидентные <tex>y_i \in R</tex> в текущем паросочетании,
* <tex>vis[]</tex> {{---}} массив, где помечаются посещенные вершины.
Максимальное паросочетание {{---}} такие ребра <tex>(x, y)</tex>, что <tex>x \in L, y \in R, px[x] = y</tex>.

Поиск в глубину, одновременно инвертирующий ребра:
'''bool''' dfs(x)''':'''
'''if''' vis[x]
'''return''' ''false''
vis[x] = ''true''
'''for''' <tex>(x, y) \in E</tex>
'''if''' py[y] == -1
py[y] = x
px[x] = y
'''return''' ''true''
'''else'''
'''if''' dfs(py[y])
py[y] = x
px[x] = y
'''return''' ''true''
'''return''' ''false''

Инициализация и внешний цикл:
'''func''' fordFulkerson()''':'''
fill(px, -1)
fill(py, -1)
isPath = ''true''
'''while''' isPath
isPath = ''false''
fill(vis, ''false'')
'''for''' <tex>x \in L</tex>
'''if''' px[x] == -1
'''if''' dfs(x)
isPath = ''true''

==См. также==
* [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]
* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]]

==Источники информации==
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн {{---}} "Алгоритмы: построение и анализ", 2-е издание, стр. 758 - 761.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Задача о паросочетании]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания