Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину

2017-06-23T18:55:28Z

93.92.207.27: /* Оценка производительности */

'''Алгоритм Форда-Фалкерсона''' — алгоритм, решающий задачу нахождения максимального [[Определение сети, потока #Определение потока | потока]] в транспортной сети.

== Идея ==
Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение <tex>0</tex>: <tex> f(u,v) = 0 </tex> для всех <tex> u, v </tex> из <tex> V </tex>. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника s к стоку t, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину (dfs)]]. Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.

== Реализация ==
'''int''' dfs('''int''' u, '''int''' Cmin): <span style="color:Green">// Cmin {{---}} пропускная способность в текущем подпотоке</span>
'''if''' (u = t)
'''return''' Cmin
visited[u] = ''true''
'''for''' (v '''in''' u.children)
'''int''' uv = edge(u, v)
'''if''' ('''not''' visited[v]) '''and''' (uv.f < uv.c)
'''int''' delta = dfs(v, min(Cmin, uv.c - uv.f))
'''if''' (delta > 0)
uv.f += delta
uv.backEdge.f -= delta
'''return''' delta
'''return''' 0

== Оценка производительности ==
Добавляя поток увеличивающего пути к уже имеющемуся потоку, максимальный поток будет получен, когда нельзя будет найти увеличивающий путь. Тем не менее, если величина пропускной способности — иррациональное число, то алгоритм может работать бесконечно. В целых числах таких проблем не возникает и время работы ограничено <tex>O(|E|f)</tex>, где <tex>E</tex> — число рёбер в графе, <tex>f</tex> — максимальный поток в графе, так как каждый увеличивающий путь может быть найден за <tex>O(E)</tex> и увеличивает поток как минимум на <tex>1</tex>.

=== Пример несходящегося алгоритма ===
[[Файл:F-f.5.png|300px|thumb|right|Рис. 1]]
Рассмотрим приведённую справа сеть с источником <tex>\ s</tex>, стоком <tex>\ t</tex>, пропускными способностями рёбер <tex>\ e_1</tex>, <tex>\ e_2</tex> и <tex>\ e_3</tex> соответственно <tex>\ 1</tex>, <tex>r=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}</tex> и <tex>\ 1</tex> и пропускной способностью всех остальных рёбер, равной целому числу <tex>M \geqslant 2</tex>. Константа <tex>\ r</tex> выбрана так, что <tex>\ r^2 = 1 - r</tex>. Мы используем пути из остаточного графа, приведённые в таблице, причём <tex>\ p_1 = \{ s, v_4, v_3, v_2, v_1, t \}</tex>, <tex>\ p_2 = \{ s, v_2, v_3, v_4, t \}</tex> и <tex>\ p_3 = \{ s, v_1, v_2, v_3, t \}</tex>.

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! valign="top" rowspan=2 | Шаг !! valign="top" rowspan=2 | Найденный путь !! valign="top" rowspan=2 | Добавленный поток !! colspan=3 | Остаточные пропускные способности
|-
! <tex>e_1</tex> !! <tex>e_2</tex> !! <tex>e_3</tex>
|-
| <tex>0</tex> || <tex>-</tex> || <tex>-</tex> || <tex>r^0=1</tex> || <tex>r</tex> || <tex>1</tex>
|-
| <tex>1</tex> || <tex>\{ s, v_2, v_3, t \}</tex> || <tex>1</tex> || <tex>r^0</tex> || <tex>r^1</tex> || <tex>0</tex>
|-
| <tex>2</tex> || <tex>p_1</tex> || <tex>r^1</tex> || <tex>r^2</tex> || <tex>0</tex> || <tex>r^1</tex>
|-
| <tex>3</tex> || <tex>p_2</tex> || <tex>r^1</tex> || <tex>r^2</tex> || <tex>r^1</tex> || <tex>0</tex>
|-
| <tex>4</tex> || <tex>p_1</tex> || <tex>r^2</tex> || <tex>0</tex> || <tex>r^3</tex> || <tex>r^2</tex>
|-
| <tex>5</tex> || <tex>p_3</tex> || <tex>r^2</tex> || <tex>r^2</tex> || <tex>r^3</tex> || <tex>0</tex>
|}

Заметим, что после шага <tex>1</tex>, как и после шага <tex>5</tex>, остаточные способности рёбер <tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex> и <tex>e_3</tex> имеют форму <tex>r^n</tex>, <tex>r^{n+1}</tex> и <tex>0</tex>, соответственно, для какого-то натурального <tex>n</tex>. Это значит, что мы можем использовать увеличивающие пути <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex>, <tex>p_1</tex> и <tex>p_3</tex> бесконечно много раз, и остаточные пропускные способности этих рёбер всегда будут в той же форме. Полный поток после шага <tex>5</tex> равен <tex>1 + 2(r^1 + r^2)</tex>. За бесконечное время полный поток сойдётся к <tex>\textstyle 1 + 2\sum\limits_{i=1}^\infty r^i = 3 + 2r</tex>, тогда как максимальный поток равен <tex>2M + 1</tex>. Таким образом, алгоритм не только работает бесконечно долго, но даже и не сходится к оптимальному решению.

=== Пример медленной работы алгоритма Форда-Фалкерсона с использованием поиска в глубину по сравнению с реализацией, использующей поиск в ширину ===
При использовании поиска в ширину алгоритму потребуется всего лишь два шага.
Дана сеть (Рис. 2).
[[Файл:F-f.1.png|thumb|300px|center|Рис. 2]]
Благодаря двум итерациям (Рис. 3 и Рис. 4)
[[Файл:F-f.2.png|thumb|300px|center|Рис. 3]]
[[Файл:F-f.3.png|thumb|300px|center|Рис. 4]]
рёбра <tex>AB, AC, BD, CD</tex> насытились лишь на <tex>1</tex>.
Конечная сеть будет получена ещё через 1998 итераций (Рис. 5).
[[Файл:F-f.4.png|thumb|300px|center|Рис. 5]]

== См. также ==
* [[Теорема Форда-Фалкерсона]]

== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Форда_—_Фалкерсона Википедия: Алгоритм Форда — Фалкерсона] <br>
* Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о максимальном потоке ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину