http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=94.142.19.85&*Викиконспекты - Вклад участника [ru]2026-04-25T16:44:25ZВклад участникаMediaWiki 1.30.0http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0&diff=62792Барицентр дерева2017-12-19T22:15:12Z<p>94.142.19.85: </p>
<hr />
<div>{{Определение<br />
|id = tree_barycenter<br />
|definition = '''Барицентром дерева''' (англ. ''Tree barycenter'') называется вершина <tex> x </tex>, у которой величина <tex>d(x) = \sum\limits_v dist(x, v) </tex> минимальна, где <tex> dist(x, v) -</tex> расстояние между вершинами <tex> x </tex> и <tex> v </tex> в рёбрах.<br />
}}<br />
<br />
== Основные свойства ==<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id = lem1<br />
|statement = Пусть существуют вершины <tex> y, z -</tex> соседи вершины <tex> x </tex>. Тогда <tex> 2d(x) < d(y) + d(z) </tex>.<br />
|proof = Подвесим дерево за вершину <tex> x </tex>. Тогда дерево можно представить в виде объединения трёх непересекающихся множеств: <tex> Y, Z </tex> (поддеревья с корнем в вершинах <tex> y, z </tex> соответственно) и <tex> X - </tex> остальных вершин (заметим, что все эти множества не пустые, так как содержат вершины <tex> y, z, x </tex> соответственно). Найдём <tex> d(x) </tex>:<br />
<tex> d(x) = d(y) + |Y| - |Z| - |X| </tex>. Это верно, так как все вершины из множества <tex> Y </tex> находятся от <tex> x </tex> на одно ребро дальше, чем от <tex> y </tex>, а вершины из множеств <tex> Z, X </tex> наоборот. Аналогично <tex> d(x) = d(z) + |Z| - |Y| - |X| </tex>. Сложим эти уравнения и получим: <tex> 2d(x) = d(y) + d(z) - 2|X| </tex>. При этом <tex> |X| > 0 </tex>. Таким образом, <tex> 2d(x) < d(y) + d(z) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id = lem2<br />
|statement = Функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла (вниз) на любом пути дерева.<br />
|proof = Очевидно из характеристического признака строго выпуклой функции: <tex> 2f(\frac{x+y}{2}) < f(x) + f (y) </tex>. <br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id = theor1<br />
|about = о числе барицентров<br />
|statement= В дереве не более <tex> 2 </tex> барицентов<br />
|proof= Пусть в дереве есть хотя бы <tex> 3 </tex> барицентра: <tex> a, b, c </tex>. Тогда рассмотрим путь, начинающийся в <tex> a </tex> и заканчивающийся в <tex> b </tex>. Так как <tex> d(a) = d(b) = d_{min} </tex>, и функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла, вершины <tex> a, b </tex> являются соседями. В противном случае, или в этом пути есть вершина <tex> v: d(v) < d_{min} </tex>, или для всех вершин <tex> u </tex> в пути <tex> d(u) = d_{min} </tex>. Первое предположение противоречит тому, что <tex> a, b \ - </tex> барицентры, а второе <tex> - </tex> тому, что функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла. Таким образом, вершины <tex> a, b </tex> являются соседями. Аналогично доказывается, что вершины <tex> b, c </tex> и <tex> a, c \ -</tex> соседи. Но в таком случае в дереве образовался цикл, что противоречит определению дерева. Таким образом, более <tex> 2 </tex> барицентров в дереве быть не может.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|id = tree_center<br />
|definition = '''Центром дерева''' (англ. ''Tree center'') называется вершина <tex> x </tex>, для которой величина <tex> \max\limits_v dist(x, v) </tex> минимальна.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id = theor2<br />
|statement= Для любого числа <tex> k </tex> существует дерево, в котором расстояние между центром и барицентром дерева не меньше <tex> k </tex><br />
|proof= Рассмотрим дерево, построенное следующим образом: к вершине дерева <tex> x </tex> проводим <tex> n + 1 </tex> ребро, <tex> n </tex> из которых проведено в листья дерева, а одно ребро продолжим достраивать как бамбук, расстояние в котором от листа до <tex> x </tex> назовём числом <tex> l </tex>. Докажем, что существуют такие <tex> m, l </tex>, что расстояние между центром и барицентром не меньше <tex> k </tex>.<br />
Назовём лист бамбука вершиной <tex> a </tex>, а центр дерева <tex>- \ c </tex>. Тогда <tex> dist(a, c) = \frac{l+1}{2} </tex>. Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные <tex> l. </tex> Теперь будем искать, какое <tex> n </tex> стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина <tex> x </tex>. Найдём <tex> d(x): d(x) = n + 1 + 2 + ... + l = n + \frac{(l+1)l}{2} </tex>. Рассмотрим вершину <tex> v \neq x </tex>. Очевидно, что <tex> d(v) > 2(n-1) </tex>, так как все вершины, кроме <tex> x </tex> удалены хотя бы на расстояние <tex> 2 </tex> от <tex> n-1 </tex> вершины. В таком случае, <tex> d(x) < d(v) \Leftrightarrow n > \frac{(l+1)l}{2} + 2 </tex>. Мы получили, что <tex> dist(c, x) = \frac{l-1}{2} </tex>, и <tex> x </tex> является барицентром. Найдём такие <tex> l ,</tex> что <tex> \frac{l-1}{2} \geq k</tex>. Для этого можно взять любое <tex> l \geq 2k + 1 </tex>. Таким образом, искомые <tex> m, l </tex> существуют, и теорема доказана.<br />
}}</div>94.142.19.85