Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список заданий по теории сложности 2021

2021-04-19T10:32:56Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2021

2021-04-11T14:49:03Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности lite 2021

2021-04-11T14:40:57Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2021

2021-02-27T11:32:06Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2к 2020 осень

2020-12-03T10:15:48Z

94.19.233.169:

# Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
# Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
# Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
# Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
# Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
# Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
# Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
# Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
# Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
# Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
# Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
# Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
# Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
# Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
# Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
# Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем нечётных простых циклов.
# Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем чётных простых циклов.
# Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
# Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Докажите, что если $v$ точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
# Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
# Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
# Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
# Диаметром графа называют максимальное значение кратчайшего пути между двумя его вершинами. Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
# Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
# Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
# Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
# Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
# Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
# Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
# Обобщение формулы Кэли. Дан лес, компоненты связности которого имеют размеры $c_1, c_2, \ldots, c_k$. Докажите, что число способов добавить ребра, чтобы получилось дерево, равно $c_1c_2\ldots c_k(c_1+c_2+\ldots+c_k)^{k-2}$.
# Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
# Порожденным (также индуцированным) подграфом называется подграф, полученный удалением некоторого множества вершин и всех инцидентных ребер. Докажите или опровергните, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями произвольной длины), то $G$ не гамильтонов.
# Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
# Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$, если непосещенных соседей нет. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
# Будем называть последовательность $(d_1, \ldots, d_n)$ степенной последовательностью, если существует граф с такими степенями вершин. Приведите критерий, проверяемый за полиномиальное время, что заданная последовательность является степенной.
# Теорема "Антихватала". Докажите, что если для степенной последовательности не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
# Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
# Реберным графом для графа $G$ называется граф $G_E$, множество вершин которого совпадает с множеством ребер исходного графа, два ребра $e$ и $f$ соединены ребром в реберном графе, если у них есть общая инцидентная вершина. Докажите или опровергните, что если $G$ является эйлеровым, то реберный граф является гамильтоновым.
# Докажите или опровергните, что если $G_E$ является гамильтоновым, то граф $G$ является эйлеровым.
# В каком случае ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
# Выразите число треугольников в реберном графе $G_E$ через число треугольников графа $G$ и набор его степеней.
# В каком случае связный граф $G$ имеет регулярный реберный граф?
# Постройте связный граф $G$ с $n \ge 4$ вершинами, для которого граф $G_E$ не эйлеров, а граф $(G_E)_E$ эйлеров.
# Докажите, что если $G$ содержит $n \ge 5$ вершин, то если $(G_E)_E$ эйлеров, то и $((G_E)_E)_E$ эйлеров.
# Постройте минимальный по числу ребер граф, в реберном графе которого нет гамильтонова цикла.
# Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий для каждого ребра графа $G$ хотя бы одну вершину, ему инцидентную.
# Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
# Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
# Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и $7$ ребрами.
# Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
# Графы $G_1$, содержащий $n_1$ вершин и $m_1$ ребер, и $G_2$, содержащий $n_2$ вершин и $m_2$ ребер, гомеоморфны. Докажите, что $n_1+m_2 = n_2+m_1$.
# Рассмотрим параметрически заданную замкнутую кривую $\phi(t)$, будем говорить, что она имеет самопересечение, если есть точка на кривой, которая порождается двумя различными значениями параметра $t_1$ и $t_2$, причем в окрестности этой точки фрагменты кривой в окрестности параметра $t_2$ лежат по разную сторону от кривой в окрестности параметра $t_1$. Докажите, что планарный эйлеров граф содержит эйлеров цикл, не имеющий самопересечений.
# Приведите пример вершинно двухсвязного планарного графа, который не является гамильтоновым.
# Докажите, что планарный четырехсвязный граф гамильтонов.
# Пусть $G$ - планарный граф, в котором каждый треугольник ограничивает область, не содержащую ребер, причем добавление любого ребра нарушает это свойство. Докажите, что $G$ гамильтонов.
# Докажите, что любой трехсвязный планарный граф имеет остов, у которого наибольшая степень равна 3.
# Докажите, что все колеса самодвойственны.
# Уложите четырехмерный куб на поверхности тора
# Уложите $K_7$ на поверхности тора
# Докажите, что $K_8$ нельзя уложить на поверхности тора
# Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на сфере с двумя ручками.
# Докажите, что для любого $m$ существует $k$, такое что граф с $K_k$ нельзя уложить на сфере с $m$ ручками.
# Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
# Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
# Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
# Приведите пример двух связных графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
# Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
# Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
# Конъюнкцией $G_1 \wedge G_2$ графов называется граф с $V = V_1 \times V_2$, $(u_1, u_2)-(v_1, v_2) \in E$, если $u_1v_1 \in E_1$ и $u_2v_2\in E_2$. Доказать, что хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетны. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
# Докажите, что в любой раскраске реберного графа каждая вершина смежна не более чем с двумя вершинами одного цвета
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
# Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
# Граф называется однозначно раскрашиваемым, если любые две его раскраски в $\chi(G)$ цветов совпадают с точностью до переименования цветов. Приведите пример однозначно раскрашиваемого связного графа и связного графа, который не является однозначно раскрашиваемым
# Какое минимальное число вершин может быть в однозначно раскрашиваемом в 3 цвета графе, отличном от полного графа?
# Какое минимальное число ребер может быть в однозначно раскрашиваемом в $k$ цветов графе с $n$ вершинами?
# Доказать или опровергнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
# Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
# Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
# Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
# Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
# Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
# Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
# Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все компоненты $D(G)$ являются подмножествами нечетных компонент связности графа $G\setminus B$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
# Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
# Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
# Докажите, что если связный граф $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
# Найдите математическое ожидание степени вершины в биномиальной модели $G(n, p)$.
# Рассмотрим равномерную модель: $G(n, m)$, в которой случайный граф выбирается равновероятно из всех графов, содержащих $n$ вершин и $m$ ребер. Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является деревом ($m = n - 1$).
# Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является деревом.
# Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является гамильтоновым циклом ($m = n$).
# Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является гамильтоновым циклом.
# (для 34-35) Докажите, что если $p = o(\frac{1}{n^2})$, то случайный граф $G(n, p)$ а.п.н. не имеет ребер (а.п.н. = асимптотически почти наверное = с вероятностью, стремящейся к 1).
# (для 34-35) Докажите, что если $p = \omega(\frac{1}{n^2})$, то случайный граф $G(n, p)$ а.п.н. имеет хотя бы одно ребро.
# (для 34-35) Пусть $p = \frac{c}{n^2}$ для некоторого $c$. Найдите вероятность того, $G(n, p)$ имеет хотя бы одно ребро.
# Оцените центральный биномиальный коэффициент ${2n \choose n}$ снизу величиной порядка $c \frac {4^n}{\sqrt{n}}$. Указание: используйте формулу Стирлинга.
# Рассмотрим число ребер $m$, такое что $m(n) \to \infty$ и ${n \choose 2} - m(n) \to \infty$, а также $p(n) = \frac {m(n)}{n \choose 2}$. Докажите, что вероятность того, что $G(n, p)$ имеет ровно $m$ ребер есть $\Omega(m^{-0.5})$.
# Рассмотрим свойство $A$, а и такие же $m(n)$ и $p(n)$, как в предыдущей задаче. Докажите, что $P(G(n, m) \in A) \le C \sqrt{m} P(G(n, p) \in A)$.
# Рассмотрим следующую модель генерации случайного графа. Сначала проведем каждое ребро с вероятностью $\frac 12$. Затем, для каждой пары вершин, между которыми не было проведено ребро на первом шаге, проведем ребро с вероятностью $\frac 13$. Предложите более простое описание этой модели в терминах моделей Эрдёша-Реньи.
# Свойство случайного графа называется, монотонным, если оно сохраняется при добавлении ребра. Рассмотрим монотонное свойство $A$ при фиксированном размере графа $n$. Докажите, что $P(G(n, p) \in A)$ возрастает при возрастании $p$.
# Придумайте такое свойство, что вероятность, что $G(n, \frac 12)$ обладает этим свойством, стремится к $\frac 14$.
# Придумайте такое свойство, что вероятность, что $G(n, \frac 12)$ обладает этим свойством, стремится к $\frac 13$.
# Пусть для некоторого свойства $A$ существует две функции $p_1(n)$ и $p_2(n)$, что для графа $G(n, p_1(n))$ свойство $A$ а.п.н. не выполняется, а для $G(n, p_2(n))$ свойство $A$ а.п.н. выполняется. Докажите, что существует функция $\tilde p(n)$, что для случайного графа $G(n, \tilde p(n))$ свойство $A$ выполняется с вероятностью, стремящейся к $\frac 12$.
# Докажите, что $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ а.п.н. не содержит вершин степени 0.
# Рассмотрим модель случайного двудольного графа $G(n, n, p)$: из полного двудольного графа $K_{n,n}$ каждое ребро удаляется с вероятностью $1 - p$. Пусть $X$ -- количество изолированных вершин первой доли. Найдите $EX$ и $DX$.
# Докажите, что если $p = o(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. является объединением компонент связности размера 1 и 2.
# Докажите, что если $p = \omega(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. содержит путь длины 2.
# Пусть $p = o(n^{-\frac 23})$. Докажите, что а.п.н. $G(n, p)$ не содержит $K_4$.
# Пусть $p = o(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит цикл длины $k$.
# Пусть $p = \omega(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл длины $k$.
# Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.
# Покажите, что матожидание количества остовных деревьев у графа $G(n, \frac {\ln n}{2n})$ стремится к бесконечности.
# Покажите, что матожидание количества остовных деревьев у графа $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ стремится к бесконечности. Можно ли это считать доказательством а.п.н. связности графа $G(n, \frac {2\ln n}n)$?
# Найдите матожидание количества индуцированных подграфов $G(n, \frac dn), d > 1$, которые являются путем длины $k = \sqrt{\log n}$.
# Подберите $p(n)$ и приведите последовательности случайных величин $X_n$ для $G(n, p)$, что $EX_n \to \infty$, но $\mathcal{P}(X_n = 0) \nrightarrow 0$.
# Для каких $p$ граф $G(n, p)$ а.п.н. не содержит $K_k$ (надо привести пороговую асимптотику)?
# Пусть $p = \frac dn$. Докажите, что в $G(n, p)$ каждая вершина а.п.н. принадлежит не более, чем одному треугольнику.
# Докажите, что в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. не существует независимого множества размера $2 \log_2 n$
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ матожидание количества независимых множеств размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$ стремится к $\infty$.
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
# Пусть $p = \omega(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл.
# Пусть $p = \frac dn$. Что можно сказать про наличие циклов в $G(n, p)$ в зависимости от $d$?
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
# Пусть $p = \frac{\ln n + c}{n}$. Какой предел вероятности, что у $G(n,p)$ ровно $k$ изолированных вершин?
# Докажите, что если $p = \frac{d}{n}$, $d > 1$, то все компоненты связности, кроме гигантской, а.п.н. являются деревьями.
# Докажите, что если $p = \frac{d}{n}$, $d > 1$, то в графе а.п.н. нет компоненты связности ровно с одним циклом.
# Пусть $C$ компонента связности графа $G(n, m)$ в равномерной модели, причем размер $C$ это $k = O(1) $, а $m = o(n)$. Найдите предел вероятности, что $C$ останется компонентой связности после добавления в граф $\alpha n$ случайных ребер, которых там еще нет (то есть при переходе к графу $G(n, m+\alpha n)$).
# Докажите, что любой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами содержит двудольный подграф с как минимум $\frac m2$ ребрами.
# Пусть граф $G$ с $n$ вершинами и $m \ge 4n$ ребрами изображен на плоскости, причем никакие три ребра не пересекаются в одной точке, и никакое ребро не содержит вершину как свою внутреннюю точку. Обозначим как $c$ число попарных пересечений ребер вне вершин. Докажите, что $c \ge \frac{m^3}{64n^2}$.
# Пусть на плоскости выбрано $n$ точек, обозначим как $l$ число прямых, каждая из которых содержит хотя бы $k+1$ из заданных точек ($1 \le k \le 2\sqrt{2n}$). Докажите, что $l \le 32n^2/k^3$.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$ с помощью вероятностного метода.
# Постройте матроид с 4 элементами и 5 базами. Укажите множество циклов этого матроида.
# Постройте матроид с 5 элементами и 12 базами.
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
# Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
# Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
# Докажите, что отношение "быть параллельными" является транзитивным.
# Как устроено замыкание в графовом матроиде?
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
# Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
# Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
# Докажите, что если $p \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую конструкцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
# Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовым.
# Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовым.
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
# Доказать, что $M^{**}=M$
# Один студент считает, что xor двух циклов обязательно содержит цикл. Доказать или опровергнуть.

Список заданий по ДМ 2020 осень

2020-12-03T10:10:19Z

94.19.233.169:

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Напомним, что композиция отношений $R$ и $S$ это отношение $T=RS$, где $xTy$, если найдется $z$, такой что $xRz$ и $zSy$. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивной их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричной их композиция?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: $yR^{-1}x$ тогда и только тогда, когда $xRy$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример отношения, которое не симметрично и не антисимметрично
# Постройте пример отношения, которое симметрично и антисимметрично
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $a + d = b + c$ на ${\mathbb N} \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
# Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предложите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
# В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
# Стрелка Пирcа (NOR) - булева функция $a \downarrow b = \neg (a \vee b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через стрелку Пирса
# Штрих Шеффера (NAND) - булева функция $a \uparrow b = \neg (a \wedge b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через штрих Шеффера
# Функция $f$ называется самодвойственной, если $f(\neg x_1, \ldots, \neg x_n) = \neg f(x_1, \ldots, x_n)$. Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргументов?
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что ""и"", ""или"", ""не"" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}\}$?
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
# Можно ли выразить ""и"" через ""или""?
# Можно ли выразить $\oplus$ через $=$?
# Медиана $2n+1$ булевского значения равна 1 если и только если среди ее аргументов больше единиц, чем нулей. Выразите медиану 5 через медиану 3
# Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
# Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
# Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
# Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
# Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
# Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Говорят, что формула находится в 2-КНФ (или форме Крома). если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
# Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
# Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$, используя не более 8 элементов. Элемент для "не" также считается.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(n2^n)$ элементов.
# Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Докажите формулу разложения Шеннона по переменной $x$: $f(x, y_2, y_3, \ldots, y_n)=x\wedge f(1, y_2, y_3, \ldots, y_n)\vee \neg x\wedge f(0, y_2, y_3, \ldots, y_n)$
# Для булевых векторов $\alpha$ и $\beta$ обозначим как $\alpha\vee\beta$ побитовое $\vee$ этих векторов, аналогично введём $\alpha \wedge \beta$. Обозначим как $\succeq$ отношение доминирования на булевых векторах, $\alpha\succeq\beta$, если для всех $i$ выполнено $a_i\ge b_i$. Докажите, что $\alpha \wedge \beta$ удовлетворяет свойству, что $(\alpha \succeq\gamma)\wedge(\beta \succeq \gamma) \Leftrightarrow (\alpha\wedge\beta)\succeq \gamma$. Докажите, что $\alpha \vee \beta$ удовлетворяет свойству, что $\left((\gamma \succeq \alpha) \wedge (\gamma \succeq \beta)\right) \Leftrightarrow \gamma\succeq(\alpha\vee\beta)$.
# Докажите равенства $\alpha \wedge(\beta\vee\gamma)=(\alpha \wedge\beta)\vee(\alpha\wedge\gamma)$ и $\alpha \vee(\beta\wedge\gamma)=(\alpha \vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma)$.
# Будем говорить, что булевый вектор $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ префиксно мажорирует вектор $\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$, если для любого $k$ выполнено $a_1+\ldots+a_k \ge b_1+\ldots+b_k$ и писать $\alpha \ge_p \beta$. Докажите, что отношение $\ge_p$ является частичным порядком.
# Докажите. что $\alpha$ префиксно мажорирует $\beta$ тогда и только тогда, когда $\overline{\beta}$ префиксно мажорирует $\overline{\alpha}$ ($\overline{\alpha}$ означает побитовую инверсию).
# Докажите, что для любых двух векторов $\alpha$ и $\beta$ существует и единственный вектор $\alpha \curlywedge \beta$, такой что $((\alpha \ge_p \gamma) \wedge (\beta \ge_p \gamma)) \Leftrightarrow (\alpha\curlywedge\beta)\ge_p\gamma$. Предложите алгоритм построения такого вектора.
# Докажите, что для любых двух векторов $\alpha$ и $\beta$ существует и единственный вектор $\alpha \curlyvee \beta$, такой что $((\gamma \ge_p \alpha) \wedge (\gamma \ge_p \beta)) \Leftrightarrow \gamma\ge_p(\alpha\curlyvee\beta)$. Предложите алгоритм построения такого вектора.
# Докажите равенства $\alpha \curlywedge(\beta\curlyvee\gamma)=(\alpha \curlywedge\beta)\curlyvee(\alpha\curlywedge\gamma)$ и $\alpha \curlyvee(\beta\curlywedge\gamma)=(\alpha \curlyvee\beta)\curlywedge(\alpha\curlyvee\gamma)$.
# Будем называть функцию $f$ регулярной, если из $x \le_p y$ следует, что $f(x) \le f(y)$. Как связаны регулярные и монотонные функции?
# Докажите, что если функция $f$ является пороговой и $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_n \ge 0$, то $f$ является регулярной.
# Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(3^n)$.
# Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(2^n n)$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для дешифратора.
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# Будем интерпретировать битовые строки длины $n$ как целые числа с соответствующей двоичной записью. Заданы $n$-битные числа $v_0 < v_1 < \ldots < v_{m-1}$. Предложите алгоритм за $O(m)$, который по заданным числам и числу $j$ находит все такие пары индексов $i, k$, что $v_i \oplus 2^j = v_k$. Считайте, что операции с числами выполняются за $O(1)$.
# Приведите пример формулы, которая одновременно (а) равна тождественному нулю (б) находится в форме Хорна (в) находится в форме Крома (г) содержит хотя бы 3 переменные
# Докажите, что $(x \oplus 3x) \wedge ((x \oplus 3x) >> 1)=0$, где $>>$ означает битовый сдвиг вправо.
# Предложите алгоритм, который для заданного $d \ge 3$ вычисляет $x^y\bmod 2^d$ для заданных $x$ и $y$, где $x$ нечетен, используя $O(d)$ сложений и битовых операций и одно умножение на $y$.
# Предложите алгоритм, который по заданной своей таблицей истинности $n$-арной булевой функции строит за полином от $2^n$ монотонную булеву функцию, которая одновременно (а) мажорирует заданную на каждом входном наборе (б) имеет минимальное число входных наборов, на которых она равна 1.
# Формулы с кванторами. Рассмотрим формулу с кванторами $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n f(x_1, \ldots, x_n)$, где $Q$ может быть квантором "существует" или "для любого". Докажите, что если если $f(x_1,\ldots,x_n)$ имеет ровно $k$ удовлетворяющих её назначений переменных, то существует ровно $k$ (из $2^n$ возможных) формул с кванторами в указанной форме, которые являются истинными.
# Дана формула в КНФ. Можно каждое вхождение переменной x заменить на её отрицание. Необходимо добиться, чтобы формула после этих преобразований оказалась в форме Хорна. Предложите алгоритм, который сводит эту задачу к задаче 2SAT.
# Свести 3SAT к проверке существования удовлетворяющего назначения для формулы, которая является конъюнкцией клозов, каждый из которых является либо клозом Хорна, либо клозом Крома
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды (коды, использующие алфавит не из двух символов, а из $k \ge 2$).
# Обобщите неравенство Крафта-Макмиллана на $k$-ичные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за $O(n)$, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более $L$ бит
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# Изучите коды Шеннона-Фано https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A8%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A4%D0%B0%D0%BD%D0%BE. Приведите пример текста, для которого код Шеннона-Фано хуже кода Хаффмана.
# Обобщите коды Шеннона-Фано на $k$-ичные коды.
# Предложите алгоритм проверки того, что заданный двоичный код является однозначно декодируемым. Алгоритм должен работать за полином от суммы длин кодовых слов.
# Верно ли, что если длины кодовых слов некоторого кода удовлетворяют неравенству Крафта-МакМиллана, то это код является однозначно декодируемым?
# При арифметическом кодировании может повезти и у достаточно длинной строки код получится коротким, хотя длина строки большая, и оценка на длину кода тоже большая. Приведите пример такой строки.
# Для предыдущего задания приведите пример бесконечной последовательности строк возрастающей длины, для которых проявляется описанный эффект.
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# Пусть вероятности символов упорядочены по убыванию ($p_1 \ge p_2 \ge \ldots \ge p_n$) и являются дробями, у которых знаменатель - степень двойки. Что можно сказать про арифметическое кодирование в этом случае?
# Проанализируйте время работы алгоритма арифметического кодирования (с учетом длинной арифметики).
# Троичное арифметическое кодирование. Пусть при арифметичском кодировании мы используем в качестве знаменателя не $2^q$, а $3^q$, а числитель записываем как троичное число, дополненное ведущими нулями до длины $q$. Затем запишем числитель в двоичной записи, а ведущие нули заменим на нули в двоичной записи. Приведите пример строки, когда описанный метод через степени тройки будет лучше классического арифметического кодирования.
# Приведите пример строки, когда такой метод будет хуже классического арифметического кодирования.
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует строка, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше кода Хаффмана.
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в среднем тратит в $c$ раз меньше бит на символ строки, чем код Хаффмана.
# Докажите, что при оптимальном кодировании с помощью LZ не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера.
# Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера за $O(n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n \log n)$.
# Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код ""антигрея"" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код ""антигрея"" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k-1$, $n$ и $k$.
# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k$, $n$ и $k$.
# Докажите, что ${n \choose m}{m \choose k}={n \choose k}{n-k \choose m - k}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {m+k \choose k}={m+n+1 \choose n}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {k \choose m}={n+1 \choose m+1}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {r \choose k}{s \choose n - k}={r+s \choose n}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}\left(\frac{r}{2} - k\right)=\frac{m+1}{2}{r \choose m+1}$. // Забавно, что нет простого выражения для $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}$.
# Обобщите формулу бинома Ньютона на степень суммы трёх: $(x+y+z)^n=?$
# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.
# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$
# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+n}{s-m \choose n-r}$
# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$
# Докажите, что $\sum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$
# Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
# Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).
# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
# Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Будем называть последовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Докажите, что число мультимножеств из $n$ чисел от $0$ до $n$, сумма которых делится на $n+1$, равно числу Каталана
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств (например, для $n = 3$, $k = 2$ есть следующие разбиения: $\{[1], [2, 3]\}$, $\{[1], [3, 2]\}$, $\{[1, 2], [3]\}$, $\{[1, 3], [2]\}$, $\{[2, 1], [3]\}$, $\{[2], [3, 1]\}$.
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками. Не пользуйтесь формулой для подсчета беспорядков, придумайте именно рекуррентную формулу.
# Докажите формулу $t^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^n\left[n\atop k\right]t^k$
# Докажите формулу $t^n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left\{n\atop k\right\}t^{\overline k}$
# Придумайте аналогичные двум предыдущим заданиям формулы для $t^{\underline{n}}$.
# Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ циклами без неподвижных точек
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые
# Докажите, что число разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые и число разбиений числа $n$ на различные слагаемые совпадает.
# Для каких $n$ число разбиений $n$ на чётное число различных слагаемых и число разбиений $n$ на нечётное число различных слагаемых различно?
# Есть две перестановки: первая меняет местами первые два элемента, а вторая делает циклический сдвиг на один. Покажите, что любую перестановку можно выразить, как композицию этих двух (возможно, используя каждую несколько раз).
# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция отражения и поворота является отражением.
# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция двух отражений является поворотом.
# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Зафиксируем конкретную прямую, относительно которой можно делать отражение. Докажите, что композиция любой последовательности отражений и поворотов является либо поворотом, либо композицией поворота и отражения относительно зафиксированной прямой.
# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок $k$ цветов с точностью до циклического сдвига и отражения.
# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно две белые бусины.
# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно $k$ белых бусин.
# Пусть $p$ простое. Найдите число ожерелий из $p^2$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
# Пусть $p$ и $q$ простые. Найдите число ожерелий из $pq$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
# Найдите число таких различных булевых функций от 2 переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
# Найдите число таких различных булевых функций от $n$ переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
# Выведите формулу для числа раскрасок $n$ шаров в $k$ цветов, порядок не важен.
# Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника $n \times m$ в $k$ цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
# Выведите формулу для числа раскрасок граней тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
# Выведите формулу для числа раскрасок ребер тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
# Выведите формулу для числа раскрасок граней куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
# Выведите формулу для числа раскрасок ребер куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
# Выведите формулу для числа раскрасок граней октаэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
# Почему мы не сделали задачу про вершины тетраэдра, вершины куба, вершины и ребра октаэдра? Неужели оставили на контрольную?

Список заданий по ДМ 2020 осень

2020-10-11T10:56:08Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 осень

2020-09-11T07:16:41Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-04T12:14:36Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NPC$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NPC$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Протокол большого множества можно модифицировать, чтобы если множество большое, Prover мог добиться, чтобы Verifier принимал с вероятностью 1. Из каких компонент сложить решение: пусть $S \subset \mathbb{B}^n$, $|S| = a$ или $|S| = a/c$, где $c$ - параметр, который выберем позже, $H$ - универсальное семейство попарно независимых хеш-функций из $\mathbb{B}^n$ в $\mathbb{B}^k$. Можно выбрать такое $c$ и такое $t$, полиномиальное от $n$, что если $|S| = a$, то существуют $t$ хеш-функций $h_1, \ldots, h_t$, что $\cup h_i(S) = \mathbb{B}^k$, а если $|S| = a/c$, то для любых $t$ хеш-функций $|\cup h_i(S)| < 2^{k-1}$. При этом $c$ можно менять, рассматривая вместо $S$ множество $S^z$ для целого $z$. Совет: вспомнить доказательство теоремы Лаутемана.
# Изоморфизм графов скорее всего не является $NP$-полным. Пусть $GI \in NPC$, тогда $GNI \in coNPC$. Докажите, что из этого следует, что $\Sigma_2 = \Pi_2$. Указание: используйте факт, что для $GNI$ существует $AM$-доказательство с нулевой вероятностью ошибки, если $x \in GNI$ (предыдущее задание).
# Докажите, что если любой язык из $NP$ является самосводимым, то $P = NP$.

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:39:46Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Протокол большого множества можно модифицировать, чтобы если множество большое, Prover мог добиться, чтобы Verifier принимал с вероятностью 1. Из каких компонент сложить решение: пусть $S \subset \mathbb{B}^n$, $|S| = a$ или $|S| = a/c$, где $c$ - параметр, который выберем позже, $H$ - универсальное семейство попарно независимых хеш-функций из $\mathbb{B}^n$ в $\mathbb{B}^k$. Можно выбрать такое $c$ и такое $t$, полиномиальное от $n$, что если $|S| = a$, то существуют $t$ хеш-функций $h_1, \ldots, h_t$, что $\cup h_i(S) = \mathbb{B}^k$, а если $|S| = a/c$, то для любых $t$ хеш-функций $|\cup h_i(S)| < 2^{k-1}$. При этом $c$ можно менять, рассматривая вместо $S$ множество $S^z$ для целого $z$. Совет: вспомнить доказательство теоремы Лаутемана.
# Изоморфизм графов скорее всего не является $NP$-полным. Пусть $GI \in NPC$, тогда $GNI \in coNPC$. Докажите, что из этого следует, что $\Sigma_2 = \Pi_2$. Указание: используйте факт, что для $GNI$ существует $AM$-доказательство с нулевой вероятностью ошибки, если $x \in GNI$ (предыдущее задание).

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:39:20Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Протокол большого множества можно модифицировать, чтобы если множество большое, Prover мог добиться, чтобы Verifier принимал с вероятностью 1. Из каких компонент сложить решение: пусть $S \subset \mathbb{B}^n$, $|S| = a$ или $|S| = a/c$, где $c$ - параметр, который выберем позже, $H$ - универсальное семейство попарно независимых хеш-функций из $\mathbb{B}^n в $\mathbb{B}^k$. Можно выбрать такое $c$ и такое $t$, полиномиальное от $n$, что если $|S| = a$, то существуют $t$ хеш-функций $h_1, \ldots, h_t$, что $\cup h_i(S) = \mathbb{B}^k$, а если $|S| = a/c$, то для любых $t$ хеш-функций $|\cup h_i(S)| < 2^{k-1}$. При этом $c$ можно менять, рассматривая вместо $S$ множество $S^z$ для целого $z$. Совет: вспомнить доказательство теоремы Лаутемана.
# Изоморфизм графов скорее всего не является $NP$-полным. Пусть $GI \in NPC$, тогда $GNI \in coNPC$. Докажите, что из этого следует, что $\Sigma_2 = \Pi_2$. Указание: используйте факт, что для $GNI$ существует $AM$-доказательство с нулевой вероятностью ошибки, если $x \in GNI$ (предыдущее задание).

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:37:08Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Протокол большого множества можно модифицировать, чтобы если множество большое, Prover мог добиться, чтобы Verifier принимал с вероятностью 1. Из каких компонент сложить решение: пусть $S \subset \mathbb{B}^n$, $|S| = a$ или $|S| = a/c$, где $c$ - параметр, который выберем позже, $H$ - универсальное семейство попарно независимых хеш-функций из $\mathbb{B}^n в $\mathbb{B}^k$. Можно выбрать такое $c$ и такое $t$, полиномиальное от $n$, что если $|S| = a$, то существуют $t$ хеш-функций $h_1, \ldots, h_t$, что $\cup h_i(S) = \mathbb{B}^k$, а если $|S| = a/c$, то для любых $t$ хеш-функций $|\cup h_i(S)| < 2^{k-1}$. При этом $c$ можно менять, рассматривая вместо $S$ множество $S^z$ для целого $z$. Совет: вспомнить доказательство теоремы Лаутемана.

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:17:42Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:11:41Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L|<n}$, (обозначение $|<n$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L|<n$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:11:21Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L|<n}}$, (обозначение $|<n$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.
# Докажите, что любой язык из $NP$ является самосводимым.
# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NP$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L|<n$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-06-01T11:04:11Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?
# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.
# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.
# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.
# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$
# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?
# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.
# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.
# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.
# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.
# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.
# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^L|_{<n}$, (обозначение $|_{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.
# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.
# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.
# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-31T10:09:42Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
# Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
# Односторонние исчисления. Рассмотрим конечный набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarrow \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)
# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$..
# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит палиндром.
# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит два слова одинаковой длины.
# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит два слова разной длины.
# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков не является перечислимым: все слова языка имеют различную длину.
# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков не является перечислимым: язык не содержит заданное слово $x$.
# Является ли что следующее свойство перечислимых языков перечислимым: язык содержит пару $(p, x)$, для которой $p(x) = 1$?
# Является ли что следующее свойство перечислимых языков перечислимым: язык содержит пару $(p, x)$, для которой $p(x) \ne 1$?
# Множество $A$ назвается эффективно бесконечным, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по числу $n$ выводит $n$ различных элементов множества $A$. Докажите, что если множество $A$ содержит бесконечное перечислимое подмножество, то оно эффективно бесконечно.
# Докажите, что если множество $A$ эффективно бесконечно, то оно содержит бесконечное перечислимое подмножество.
# Обозначим как $L(p)$ множество слов, которые допускается программой $p$. Множество $A$ назвается эффективно неперечислимым, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по программе $p$ указывает слово $x$, такое что $x \in L(p) \oplus A$. Докажите, что дополнение к диагонали универсального множества $\overline D$, где $D = \left\{p | \langle p, p\rangle \in U\right\}$, является эффективно неперечислимым.
# Докажите, что дополнение к универсальному множеству $\overline U$ является эффективно неперечислимым.
# Докажите, что любое эффективно неперечислимое множество является эффективно бесконечным.
# Докажите, что множество является иммунным тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных разрешимых подмножеств.
# Рассмотрим два множества $A$ и $B$. Назовём их вычислимо изоморфными, если существует всюду определенная вычислимая биекция $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такая что $x \in A$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x) \in B$. Приведите пример различных бесконечных вычислимо изоморфных множеств.
# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
# Существует ли множество натуральных чисел $A$, к которому m-сводится любой множество натуральных чисел?
# Множество называется m-полным, если к нему m-сводится любое перечислимое множество. Докажите, что универсальное множество является $m$-полным.
# Докажите, что диагональ универсального множества (множество $\{u | (u, u) \in U\}$ является m-полным.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-25T17:55:18Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-25T17:44:58Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-23T10:19:11Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок. В этом и следующих заданиях, после разработки КС грамматики необходимо выбрать в качестве примера слово и продемонстрировать его левосторонний вывод и дерево разбора.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^n1^n$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^*$.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Обозначим как $L^R$ язык, составленный из слов, которые, если их прочитать от конца к началу, принадлежат языку $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^R$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{(, )\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами (не имеют вид $xx$ для некоторого слова $x$).
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный.
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы одно слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$). Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-23T10:18:21Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок. В этом и следующих заданиях, после разработки КС грамматики необходимо выбрать в качестве примера слово и продемонстрировать его левосторонний вывод и дерево разбора.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^n1^n$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^*$.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Обозначим как $L^R$ язык, составленный из слов, которые, если их прочитать от конца к началу, принадлежат языку $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^R$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{(, )\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами (не имеют вид $xx$ для некоторого слова $x$).
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный.
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы одно слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$). Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-23T10:17:08Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок. В этом и следующих заданиях, после разработки КС грамматики необходимо выбрать в качестве примера слово и продемонстрировать его левосторонний вывод и дерево разбора.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^n1^n$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^*$.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Обозначим как $L^R$ язык, составленный из слов, которые, если их прочитать от конца к началу, принадлежат языку $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^R$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{(, )\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами (не имеют вид $xx$ для некоторого слова $x$).
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный.
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы одно слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$).
# Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-23T10:16:26Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок. В этом и следующих заданиях, после разработки КС грамматики необходимо выбрать в качестве примера слово и продемонстрировать его левосторонний вывод и дерево разбора.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^n1^n$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^*$.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Обозначим как $L^R$ язык, составленный из слов, которые, если их прочитать от конца к началу, принадлежат языку $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^R$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{(, )\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами (не имеют вид $xx$ для некоторого слова $x$).
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный.
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$).
# Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-23T10:16:06Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок. В этом и следующих заданиях, после разработки КС грамматики необходимо выбрать в качестве примера слово и продемонстрировать его левосторонний вывод и дерево разбора.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^n1^n$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод про КС языки.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^*$.
# Пусть задана КС-грамматика для языка $L$. Обозначим как $L^R$ язык, составленный из слов, которые, если их прочитать от конца к началу, принадлежат языку $L$. Укажите, как построить КС-грамматику для языка $L^R$.
# Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{(, )\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
# Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами (не имеют вид $xx$ для некоторого слова $x$).
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный."
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$).
# Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-23T10:15:51Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-23T10:15:29Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
# Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
# Односторонние исчисления. Рассмотрим конечный набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarrow \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)
# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$..
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$).
# Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BCD$, $A \to BC$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-21T10:25:41Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-05-20T10:45:02Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-18T20:16:40Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $L = NC^1$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: "$+$", "$-$" и "$\times$". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент "$\oplus$" на "$+$", а "$\wedge$" на "$\times$". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-18T20:15:45Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $L = NC^1$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?
# Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
# В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
# Загадано неотрицательное целое число $a \le 2^{2^n}$. Оракул умеет отвечать на вопрос $q(k) = a \bmod k$. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что $a = 0$, полиномиальный относительно $n$.
# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: <<$+$>>, <<$-$>> и <<$\times$>>. Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.
# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе $\oplus$, $\wedge$, $\mathbb{1}$. Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент <<$\oplus$>> на <<$+$>>, а $\wedge$ на <<$\times$>>. Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-17T12:52:43Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
# Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
# Односторонние исчисления. Рассмотрим rjytxysq набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarrow \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)
# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$..

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-17T12:52:11Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
# Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
# Односторонние исчисления. Рассмотрим rjytxysq набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarryw \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.
# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)
# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$..

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-14T09:27:35Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-13T16:47:45Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $L = NC^1$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что если для $L$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p > 0$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}$, то $L \in BPP$.
# Докажите, что если $L \in BPP$, то для любого полинома $p > 1$ найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы, такая что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-13T08:55:57Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-09T12:47:07Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-09T12:40:12Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для $d > 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-05-09T12:37:32Z

94.19.233.169:

# Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
# Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Формальный степенной ряд $\cos(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n}}{(2n)!}$, а $\sin(s)$ определен как $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {s^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Докажите, что $\sin^2(s) + \cos^2(s) = 1$.
# Докажите, что $\sin(2s) = 2 \sin(s) \cos(s)$.
# Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
# Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
# Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
# Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
# Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность # Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
# Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
# Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
# Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-1}-9a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.
# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для $d > 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.
# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.
# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?
# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.
# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.
# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-04T19:38:21Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $L = NC^1$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP$ совпадает с классом языков $L$, для которых найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}.$
# Докажите, что $BPP$ совпадает с классом языков $L$, для которых найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то $P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-05-04T19:37:08Z

94.19.233.169:

# Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
# Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
# Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Что можно сказать про аналогичную задачу, где ввод задается в двоичной системе счисления?
# В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
# Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
# Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
# Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.
# В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
# $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
# Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
# Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
# Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
# Докажите, что если существует язык $L \in NPC \cap P$, то $NP = P$.
# Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
# Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
# Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
# Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
# Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
# Пусть задан язык $L$, принадлежащий $NP$. Зафиксируем проверку сертификатов $R(x, y)$. Обозначим как $c(x)$ число сертификатов, которые подходят для данного $x$ (очевидно, если $x \not\in L$, то $c(x) = 0$, а если $x \in L$, то $c(x) \ge 1$). Сведение по Карпу $f$ одного языка к другому, для каждого из которых зафиксирована проверка сертификатов, называется честным (англ. parsimonious), если оно сохраняет $c$, то есть $c(f(x)) = c(x)$. Докажите, что сведение $BH_{1N}$ к $SAT$ в теореме Кука является честным, если в качестве сертификата использовать последовательность недетерминированных выборов, приводящих машину Тьюринга из входа для $BH_{1N}$ к допуску.
# Верно ли, что если $A \le B$, то $A \in P^B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Верно ли, что если $A \in P^B$, то $A \le B$? В случае, если вы не можете доказать свой ответ, можно привести разумные аргументы в его пользу.
# Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
# Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
# Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
# Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
# Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
# Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
# Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
# Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
# Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
# Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
# Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
# Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
# Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
# Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
# Юра дал такое определение класса $NP$: это задачи, который можно решить перебором. Прокомментируйте определение Юры.
# Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
# Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
# Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
# Докажите, что если $L$ является $NP$-полным, то $\overline{L}$ является $coNP$-полным.
# $TAUT$ - язык булевых формул, любое назначение переменных которым является удовлетворяющим. Докажите, что $TAUT$ является $coNP$-полным.
# Докажите, что если существует язык, который является одновременно $NP$-полным и $coNP$-полным, то $NP = coNP$.
# Докажите, что если $L \le \overline{L}$ и $L$ является $NP$-полным, то $NP = coNP$.
# Пусть языки $L_1$ и $L_2$ принадлежат $NP \cap coNP$. Докажите, что $L_1\oplus L_2$ также принадлежит $NP \cap coNP$.
# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в КНФ является $PS$-полным.
# Говорят, что булева формула с кванторами находится в 3-КНФ, если она находится в предваренной форме $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$, причём $\varphi$ находится в 3-КНФ. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в 3-КНФ является $PS$-полным.
# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.
# $PS$-трудность языка полных регулярных выражений. Докажите, что $FRE = \{\langle \varphi\rangle|$ любое слово подходит под регулярное выражение $\varphi\}$ является $PS$-трудным языком.
# Докажите, что $DSPACE(n) \ne NP$.
# Эффективная BGS. Докажите, что существует язык $B \in EXP$, такой что $P^B\ne NP^B$.
# Докажите, что найдется такой оракул $A$ и язык $L \in NP^A$, что $L$ не сводится к $3SAT$ за полином даже, если у сведения есть доступ к оракулу для $A$.
# Докажите, что если $L\in coNP$, то $L^* \in coNP$.
# Покажите, что $TQBF$ является $PS$-трудной даже для $LOG-Space$ сведений.
# Может ли выполняться $TQBF\in L$?
# Может ли выполняться $TQBF\in NL$?
# Разработайте алгоритм, который по матрице смежности графа выводит его матрицу инцидентности, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Разработайте алгоритм проверки, является ли неориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа. Алгоритм должен быть детерминированным.
# Разработайте недетерминированный алгоритм проверки, является ли ориентированный граф, заданный списками смежности, ациклическим, используя $O(\log V)$ дополнительной памяти, где $V$ --- количество вершин графа.
# Докажите, что $2SAT \in NL$
# $BH_{1N}$ является $NP$-полным. Определите по аналогии $P$-полный язык.
# Определим $polyL$ как $\cup_{c>0}DSPACE(\log^c n)$. $PATH = \{\langle G, s, t\rangle,$ в ориентированном графе $G$ есть путь из $s$ в $t\}$. Докажите, что $PATH \in polyL$.
# Определим $SC$ (расшифровывается как Stephen's Class в честь Стивена Кука) как класс языков, для которых существует программа, которая ''одновременно'' удовлетворяет ограничениям для $polyL$ и $P$. Неизвестно, принадлежит ли $PATH$ классу $SC$. Поясните, почему доказательство из предыдущего задания не подходит для $SC$.
# Обозначим как $DP$ множество языков $L$, для которых найдутся $L_1 \in NP$ и $L_2 \in coNP$, такие что $L = L_1 \cap L_2$. Докажите, что $NP \subset DP$.
# Будем считать, что $NP \ne coNP$, верно ли, что $coNP \subset DP$?
# Рассмотрим язык $EXACTINDSET = \{\langle G, k\rangle | \text{ максимальное}$ $\text{независимое множество в графе $G$ имеет размер $k$}\}$. Докажите, что $EXACTINDSET$ является полным для класса $DP$ относительно полиномиального сведения.
# Докажите, что $\Sigma_i = co\Pi_i$.
# Докажите, что $\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что $\Pi_i \subset \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Sigma_{i+1}$, то $\Sigma_{i+1} = \Sigma_{i+2}$.
# Докажите, что если $\Sigma_i = \Pi_i$, то $\Sigma_{i} = \Sigma_{i+1}$.
# Докажите, что в любом классе $\Sigma_i$ есть полная задача относительно сведения по Карпу за полином.
# Докажите, что $PH \subset PS$.
# Докажите, что если $P = NP$, то $P = PH$.
# Докажите, что если если у $PH$ существует полный относительно сведения по Карпу за полином язык, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $PH = PS$, то $PH = \Sigma_i$ для некоторого $i$.
# Докажите, что если $P^A = NP^A$, то $PH^A \subset P^A$.
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Sigma_2$
# Докажите, что $EXACTINDSET \in \Pi_2$
# Сделайте вывод про место $DP$ в полиномиальной иерархии.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $PH$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что для любого $k > 0$ в $\Sigma_2$ найдется язык, со схемной сложностью $\Omega(n^k)$.
# Докажите, что если $EXP \subset P/poly$, то $EXP = \Sigma_2$.
# Докажите, что если $P=NP$, то в $EXP$, есть язык со схемной сложностью $\Omega(2^n/n)$.
# Докажите, что $SPARSE \subset P/poly$ ($SPARSE$ - множество языков, которые имеют лишь полиномиальное число слов каждой длины).
# Докажите, что умножение матриц лежит в $\widetilde{NC}$ (напомним, что $\tilde{C}$ - множество функций, для которых существует программа/схема, удовлетворяющая оценкам для $C$).
# Выведите из предыдущего задания, что $PATH \in NC$.
# Выведите из предыдущего задания, что $NL \subset NC$.
# Докажите, что $L = NC^1$ ($L$ здесь log space).
# Докажите, что $RP \subset BPP$.
# Докажите, что $BPP \subset PS$.
# Докажите, что $RP \subset NP$.
# Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
# Докажите, что $NP \subset PP$.
# Докажите, что $RP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP \subset P/poly$.
# Докажите, что $BPP$ совпадает с классом языков $L$, для которых найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{p(|x|)}.$
# Докажите, что $BPP$ совпадает с классом языков $L$, для которых найдется программа $M$ с полиномиальным временем работы и полином $p$, такие что $P(M(x) = [x \in L]) \ge 1 - 2^{-p(|x|)}.$
# Определим класс $RL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log |w|)$ дополнительной памяти, такая что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) \ge 1/2$, если $x \notin L$, то P(M(x) = 1) = 0$. Докажите, что $RL \subset P$
# Докажите, что задача проверки того, что в неориентированном графе есть путь из $s$ в $t$, лежит в $RL$.
# Почему решение предыдущей задачи не удается распространить на ориентированные графы?

Список заданий по теории сложности 2020

2020-04-24T13:20:53Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-04-24T12:40:21Z

94.19.233.169:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц. Найдите асимптотическое поведение при $n \to \infty$
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Выразите $P(A|B \cap C)$ через $P(A|B)$, $P(A|C)$, $P(B)$ и $P(C)$, либо обоснуйте, что это невозможно сделать.
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$? Достаточно доказать для конечных вероятностных пространств.
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Рассмотрим игру. Колода из 52 карт, 26 красных и 26 черных, тасуется, так что все порядки следования карт оказываются равновероятными. Затем карты извлекаются по одной и колоды в открытую до того момента, пока не игрок не скажет "стоп". После этого открывается еще одна карта, если она красная, то игрок выигрывает. Какая стратегия максимизирует вероятность выигрыша игрока?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа пустых корзин?
# 10 шаров раскладываются по 5 корзинам. Для каждого шара равновероятно выбирается, в какую корзину он помещается. Какое математическое ожидание числа корзин, содержащих ровно один шар?
# Докажите, что минимум $E(X-\alpha)^2$ достигается при $\alpha = EX$.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Улучшить неравенство Чебышева нельзя даже для суммы. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такое семейство одинаково распределенных случайных величин $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, что $P(|\sum\xi_i - \sum E\xi_i| \ge c) = nD\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/3, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Сколько байт в бите? Можно ли ответить на этот вопрос с точки зрения теории информации? Какое определение нужно дать для байта в этом случае?
# Сравните количество информации в одном броске честной монеты и одном броске честной игральной кости.
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Найдите энтропию для геометрического распределения с $p = 1/2$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $1/2^i$).
# Найдите энтропию для геометрического распределения с произвольным $p$ (счетное число исходов, $i$-й исход происходит с вероятностью $(1-p)p^i$).
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Симуляция дискретного распределения непрерывным. Рассмотрим источник, который возвращает равномерно распределенное вещественное число от 0 до 1 (для решения этой задачи достаточно формального определения, что для любого отрезка вероятность попадания значения в этот отрезок пропорциональна его длине). Мы хотим просимулировать дискретное равновероятное распределение с $n$ исходами. Как это сделать за $O(1)$? Будем считать, что тип данных double имеет достаточно точности и что операции со значениями типа double выполняются за $O(1)$.
# Пусть теперь мы хотим просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(\log n)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Схема Уолкера. Требуется просимулировать с помощью непрерывного равномерного распределения дискретное распределение с распределением вероятностей $[p_1, \ldots, p_n]$. Как это сделать за $O(1)$? Разрешается провести предподготовку за $O(n)$.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до выпадения трех нулей подряд.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 011.
# Будем генерировать бесконечную последовательность из 0 и 1 с помощью бросков честной монеты. Найдите матожидание числа бросков до первого вхождения 010.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание модуля координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$.
# Предложите алгоритм решения задачи 48 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Будем генерировать последовательность из 0 и 1 длины $n$ с помощью бросков честной монеты. Предложите алгоритм определения, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# В Киндер-сюрпризах бывает $n$ различных игрушек. Вы покупаете по одному Киндер-сюрпризу со случайной игрушкой (может содержать игрушку, уже попадавшуюся ранее), пока не получите каждую из $n$ игрушек. Опишите процесс с помощью цепи Маркова. Посчитайте и оцените асимптотически матожидание количества купленных Киндер-сюрпризов.
# Посчитайте и оцените дисперсию для предыдущего задания.
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц кратно 3. Сделайте вывод.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых второй символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 8.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражения для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $O(k)$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Докажите нерегулярность языка палиндромов, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка тандемных повторов $L = \{ ww | w \in \Sigma^* \}$, если алфавит содержит хотя бы два символа. Что если алфавит унарный?
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
# Докажите нерегулярность языка $0^{n^2}$
# Докажите нерегулярность языка $0^p$, $p$ {{---}} простое
# Докажите нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
# Докажите нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
# Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
# Обозначим как $\min L$ множество слов $w \in L$, таких что никакой собственный префикс $w$ не является словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\min L$ регулярный.
# Обозначим как $\max L$ множество слов $w \in L$, таких что $w$ не является собственным префиксом никакого словом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\max L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{pref}\,L$ множество префиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{pref}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{suf}\,L$ множество суффиксов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{suf}\,L$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова равной длины $n$. Обозначим как $\mbox{alt}(a, b)$ слово $a_1b_2a_2b_2\ldots a_nb_n$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{alt}(R, S)$ множество всех слов, которые получаются как $\mbox{alt}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{alt}(R, S)$ регулярный.
# Пусть $a$ и $b$ - слова. Обозначим как $\mbox{shuffle}(a, b)$ множество слов, которые можно составить, вставив в слово $a$ все буквы слова $b$ в том порядке, в котором они идут в $b$. Например, $\mbox{shuffle}(01, 23)=\{0123, 0213, 0231, 2013, 2031, 2301\}$. Для языков $R$ и $S$ обозначим как $\mbox{shuffle}(R, S)$ объединение всех множеств $\mbox{shuffle}(a, b)$ где $a \in R$, $b \in S$. Докажите, что если $R$ и $S$ регулярные, то $\mbox{shuffle}(R, S)$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{cycle}\,L$ множество циклических сдвигов слов языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{cycle}\,L$ регулярный.
# Обозначим как $\mbox{half}\,L$ множество таких слов $a$, что существует слово $b$ такой же длины, как и $a$, что $ab \in L$. Докажите, что если $L$ регулярный, то и $\mbox{half}\,L$ регулярный.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-04-24T12:22:54Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-04-21T08:04:23Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-04-16T19:11:04Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-04-16T18:44:40Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-04-16T18:29:05Z

94.19.233.169:

Список заданий по теории сложности 2020

2020-04-09T19:26:51Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2к 2020 весна

2020-04-09T18:20:33Z

94.19.233.169:

Список заданий по ДМ 2020 весна

2020-04-09T18:05:45Z

94.19.233.169: