Байесовская классификация

2020-04-03T22:10:38Z

94.19.76.159: Исправление опечатки

== Вероятностная постановка задачи классификации ==

Пусть $X$ множество объектов, $Y$ конечное множество имён классов,
множество $X \times Y$ является вероятностным пространством с плотностью распределения $p(x,y)=P(y)p(x|y)$.
Вероятности появления объектов каждого из классов $P_y=P(y)$ называются ''априорными вероятностями классов''.
Плотности распределения $p_y(x)=p(x|y)$ называются ''функциями правдоподобия классов''.

'''Вероятностная постановка задачи классификации разделяется на две независимые подзадачи:'''
* Имеется простая выборка $X^l=(x_i, y_i)^l_{i=1}$ из неизвестного распределения $p(x,y)=P_yp_y(x)$. Требуется построить ''эмпирические оценки'' априорных вероятностей $P'_y$ и функций правдоподобия $p'_y(x)$ для каждого из классов $y \in Y$.
* По известным плотностям распределения $p_y(x)$ и априорным вероятностям $P_y$ всех классов $y \in Y$ построить алгоритм $a(x)$, минимизирующий вероятность ошибочной классификации.

Априорные вероятности классов $P_y$ можно оценить согласно закону больших чисел,
тогда частота появления объектов каждого из классов равна $P'_y=\frac{l_y}{l}$ где $l_y=|X^l_y|, y \in Y$
сходится по вероятности к $P_y$ при $l_y \to \infty$. Чем больше длина выборки, тем точнее выборочная оценка $P'_y$.

== Оптимальный байесовский классификатор ==

Рассмотрим произвольный алгоритм $a:X \to Y$.
Он разбивает множество $X$ на не пересекающиеся области $A_y=\{x \in X | a(x) = y\}, y \in Y$.
Вероятность того,что появится объект класса $y$ и алгоритм $a$ отнесёт его к классу $s$, равна $P_yP(A_s|y)$.
Каждой паре $(y,s) \in Y \times Y$ поставим в соответствие величину потери $\lambda_{ys}$
при отнесении объекта класса $y$ к классу $s$.

{{Определение
|definition =
'''Функционал среднего риска''' {{---}} ожидаемая величина потери при классификации объектов алгоритмом $a$:
:<tex> R(a) = \displaystyle\sum_{y \in Y}\sum_{s \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y) </tex>
}}

{{Теорема
|about=
об оптимальности байесовского классификатора
|statement=
Если известны априорные вероятности $P_y$ и функции правдоподобия $p_y(x)$,
то минимум среднего риска $R(a)$ достигается алгоритмом
:<tex> a(x) = \displaystyle\arg\min_{s \in Y}\sum_{y \in Y}\lambda_{ys}P_yp_y(x) </tex>
|proof=

Для произвольного $t \in Y$ запишем функционал среднего риска:

:<tex> R(a)=\displaystyle\sum_{y \in Y}\sum_{s \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y) = \sum_{y \in Y}\lambda_{yt}P_yP(A_t|y) + \sum_{s \in Y\setminus\{t\} }\sum_{y \in Y}\lambda_{ys}P_yP(A_s|y).</tex>

Применив формулу полной вероятности, $P(A_t \mid y) = 1 −\displaystyle\sum_{ s \in Y \setminus \{t\} }P(A_s \mid y)$, получим:

:<tex> R(a) = \displaystyle\sum_{y \in Y}\lambda_{yt}P_y + \sum_{ s \in Y \setminus \{t\} } \sum_{y \in Y} (\lambda_{ys} - \lambda_{yt})P_yP(A_s|y) = </tex>

:<tex> = const(a) + \displaystyle\sum_{ s \in Y \setminus \{t\} } \int_{A_s}\sum_{y \in Y} (\lambda_{ys}−\lambda_{yt})P_yp_y(x)dx. </tex>

Введём для сокращения записи обозначение
$g_s(x) = \displaystyle\sum_{y \in Y}\lambda_{ys}P_yp_y(x)$, тогда
$R(a) = const(a) + \displaystyle\sum_{ s \in Y \setminus \{t\} }\int_{A_s}(g_s(x)−g_t(x))dx$.

Минимум интеграла достигается, когда $A_s$ совпадает с областью неположительности подынтегрального выражения.
:<tex> A_s=\{x \in X \mid g_s(x) \leq g_t(x), \forall t \in Y, t \leq s\}. </tex>

С другой стороны, $A_s=\{x \in X \mid a(x) = s\}$. Значит, $a(x) = s$ тогда и только тогда, когда
:$s= \displaystyle\arg\min_{t \in Y}g_t(x)$.
}}

== Наивный байесовский классификатор ==

Допустим, что объекты $x \in X$ описываются $n$ числовыми признаками $f_j:X→R,j= 1,...,n$.
Обозначим через $x = (\xi_1,...,\xi_n)$ произвольный элемент пространства объектов $X=R^n$, где $\xi_j=f_j(x)$.

Предположим, что признаки $f_1(x),...,f_n(x)$ являются независимыми случайными величинами.
Следовательно, функции правдоподобия классов представимы в виде:

:<tex> p_y(x) = \displaystyle\prod^n_{i=1}p_{yi}(\xi_i) </tex>

где $p_{yj}(\xi_j)$ плотность распределения значений $j$-го признака для класса $y$.
Алгоритмы классификации исходящие из этого предположения, называются ''наивными байесовскими''.

Подставим эмпирические оценки одномерных плотностей в байесовский классификатор. Получим алгоритм:

:<tex> a(x) = \displaystyle\arg\max_{y \in Y}(\ln\lambda_yP'_y + \sum^n_{j=1}\ln p'_{yj}(\xi_j)). </tex>

Основные его преимущества {{---}} простота реализации и низкие вычислительные затраты при обучении и классификации.
В тех редких случаях, когда признаки почти независимы, наивный байесовский классификатор близок к оптимальному.
Достаточно малое количество данных необходимо для обучения, оценки параметров и классификации.

Основной его недостаток {{---}} низкое качество классификации в общем случае.

== Применение ==

Из-за своего низкого качества классификации наивный байесовскими классификатор в основном он используется либо как эталон при экспериментальном сравнении алгоритмов,
либо как элементарный строительный блок в алгоритмических композициях.

Рассмотрим частое применение байесовского классификатора к задаче классификации документов по их содержимому,
а именно к классификации электронных писем на два класса {{---}} спам ($S$) и не-спам ($\displaystyle \neg S$),
предполагая что вероятность слов в тексте не зависит друг от друга:

Программные спам-фильтры, построенные на принципах наивного байесовского классификатора, делают «наивное» предположение о том, что события,
соответствующие наличию того или иного слова в электронном письме или сообщении, являются независимыми по отношению друг к другу.
Это упрощение в общем случае является неверным для естественных языков:

:<tex> P(a\ very\ close\ game) = P(a) \times P(very) \times P(close) \times P(game) </tex>

Исходя из такого предположения, для решения задачи классификации сообщений лишь на 2 класса:
$S$ (спам) и $H = \neg S$ («хэм», то есть не спам) из теоремы Байеса можно вывести следующую формулу оценки вероятности «спамовости» всего сообщения $D$,
содержащего слова $W_1, W_2, ... W_N$:

:<tex>\displaystyle p(S\mid D) = p(S\mid W_1, W_2, ... W_N) = \frac{p(W_1, W_2, ... W_N\mid S) \cdot p(S)}{p(W_1, W_2, ... W_N)} = </tex> [так как $W_i$ предполагаются независимыми] <tex>=</tex>

:<tex>= \displaystyle\frac{\prod_{i} p(W_i\mid S) \cdot p(S)}{p(W_1, W_2, ... W_N)} = \frac{\prod_{i}p(S\mid W_i)}{\prod_i(p(S\mid W_i)) + \left(\frac{p(\neg S)}{p(S)}\right)^{1-N} \cdot \prod_i p(\neg S\mid W_i)} </tex>

Результат $p$ обычно сравнивают с некоторым порогом (например, $0.5$), чтобы решить, является ли сообщение спамом или нет. Если $p$ ниже, чем порог, сообщение рассматривают как вероятный «ham», иначе его рассматривают как вероятный спам.

:<tex>\displaystyle\ln{p(S\mid D)\over p(\neg S\mid D)} > h</tex>.

==Примеры кода==
===Пример кода scikit-learn===

Классификатор [https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.naive_bayes.GaussianNB.html#sklearn.naive_bayes.GaussianNB GaussianNB] реализует наивный байесовский классификатор в предположении что изначальное распределение было гауссовым:

:<tex> P(x_i \mid y) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_y}}\exp(-\frac{(x_i - \mu_y)^2}{2\sigma^2_y}) </tex>

'''from''' sklearn '''import''' datasets
'''from''' sklearn.metrics '''import''' f1_score, accuracy_score
'''from''' sklearn.naive_bayes '''import''' GaussianNB
iris = datasets.load_iris()
gnb = GaussianNB()
pred = gnb.fit(iris.data, iris.target).predict(iris.data)
accuracy = accuracy_score(iris.target, pred)
f1 = f1_score(iris.target, pred, average="micro")
'''print'''(''"accruracy:"'', accuracy, ''"f1:"'', f1)

Вывод:
accruracy: 0.96 f1: 0.96

===Пример на языке Java===
Пример классификации с применением <code>weka.classifiers.bayes.NaiveBayes</code><ref>[http://weka.sourceforge.net/doc.dev/weka/classifiers/bayes/NaiveBayes.html/ Weka, Naive Bayes]</ref>

<code>Maven</code> зависимость:
<dependency>
<groupId>nz.ac.waikato.cms.weka</groupId>
<artifactId>weka-stable</artifactId>
<version>3.8.0</version>
</dependency>

'''import''' weka.classifiers.bayes.NaiveBayes;
'''import''' weka.classifiers.evaluation.Evaluation;
'''import''' weka.core.converters.ConverterUtils;
'''import''' java.util.Random;

// load dataset
'''var''' source = new DataSource("/iris.arff");
'''var''' dataset = source.getDataSet();
// set class index to the last attribute
dataset.setClassIndex(dataset.numAttributes() - 1);
// create and build the classifier
'''var''' nb = new NaiveBayes();
nb.buildClassifier(dataset);
// cross validate model
var eval = new Evaluation(dataset);
eval.crossValidateModel(nb, dataset, 10, new Random(41));
System.out.println("Estimated Accuracy: "+ Double.toString(eval.pctCorrect()));

==См. также==
*[[:Байесовские сети|Байесовские сети]]
*[[:Независимые события|Независимые события]]
*[[:Формула Байеса|Формула Байеса]]

== Источники информации ==

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B1%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80 Википедия {{---}} Наивный байесовский классификатор]
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/images/6/6d/Voron-ML-1.pdf К.В.Воронцов Математические методы обучения по прецедентам]
* [https://scikit-learn.org/stable/modules/naive_bayes.html Scikit-learn 1.9. Supervised learning - Naive Bayes]

[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Классификация и регрессия]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Байесовская классификация