Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список заданий по ДМ 2018 весна

2018-03-11T17:48:59Z

94.25.228.160:

# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
# Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$?
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух одинаково распределенных нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Перемножим счетное число вероятностных пространств, соответствующих честным монетам. Что получится? Как бы вы ввели на результате вероятностную меру?
# Сколько байт в бите?
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для $n$ исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Зафиксируем любой язык программирования. Колмогоровской сложностью слова $x$ называется величина $K(x)$ - минимальная длина программы на зафиксированном языке программирования, которая на пустом входе выводит $x$. Обозначим длину слова $x$ как $|x|$. Докажите, что $K(x) \le |x| + c$ для некоторой константы $c$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(|x_i|)$.
# Предложите семейство слов $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$, где $|x_i|$ строго возрастает и выполнено $K(x_i) = o(\log_2 |x_i|)$.
# <strike>Колмогоровская сложность конкатенации. Докажите, что $K(xy) \le K(x) + K(y) + O(1)$.</strike>
# Колмогоровская сложность пары. Докажите, что $K(\langle x, y\rangle) \le K(x) + K(y) + O(\log |x|)$.
# Колмогоровская сложность и энтропия Шеннона. Для слова $x$, в котором $i$-й символ алфавита встречается $f_i$ раз обозначим как $H(x)$ величину, равную энтропии случайного источника с распределением $p_i = f_i/|x|$. Докажите, что $K(x) \le nH(x) + O(\log n)$.
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c n H(x)$
# Петя хочет пойти в кино с вероятностью ровно 1/13, а у него есть только честная монета. Может ли он осуществить свой замысел?
# Решите предудыщее задание для любой дроби $0 \le p/q \le 1$.
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Дана нечестная монета. Придумайте метод определения, какое значение выпадает с большей вероятностью. Вероятность того, что этот способ ошибся, должна быть не больше $0.01$. Оцените количество бросков, которое потребуется, в зависимости от того, насколько $p$ отличается от $1/2$.
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 11. Вася выигрывает, когда результаты последних двух бросков равны 00. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Вася выигрывает, когда результаты последних трех бросков равны 010. С какой вероятностью Петя выиграет?
# Можно ли сделать игру в предыдущем задании честной (чтобы вероятности выигрышей оказались равны $1/2$), используя нечестную монету?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке $p$ ($p$ - целое) и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Точка поглощается в точках 0 и $n$ ($n$ целое, больше $p$). Найдите вероятность поглощения в точке 0.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/2$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/3$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Для заданной рациональной дроби $p/q$ и целого $n$ постройте марковскую цепь, все переходы которой имеют вероятность $1/n$, которая имеет поглощающее состояние с вероятностью поглощения $p/q$.
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Чему равно математическое ожидание координаты точки после $n$ шагов?
# Рассмотрим случайное блуждание точки на прямой, пусть точка начинает в точке 0 и каждую секунду переходит равновероятно на 1 влево или вправо. Докажите, что математическое ожидание максимума координаты точки за $n$ шагов есть $O(\sqrt{n})$. Поясните разницу с предыдущим заданием.
# Дана марковская цепь с двумя состояниями и вероятностью перехода из 1 в 2 равной $a$, вероятностью перехода из 2 в 1 равной $b$. Найдите в явном виде $n$-ю степень матрицы переходов.
# Предложите алгоритм решения задачи 54 для произвольных выигрышных строк Васи и Пети (работающий за полином от суммы длин этих строк).
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних двух бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптмально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Пусть последовательно генерируется последовательность из 0 и 1 длины $n$. Каждый элемент последовательности определяется с помощью броска честной монеты. Определите, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на 3.
# Пусть последовательно генерируется последовательность из 0 и 1 длины $n$. Каждый элемент последовательности определяется с помощью броска честной монеты. Предложите алгоритм определния, с какой вероятностью некоторый префикс этой последовательности представляет собой запись двоичного числа, которое делится на $p$ для заданного целого $p$.
# Постройте регулярную Марковскую цепь с двумя состояниями и эргодическим распределением $[a, 1-a]$ для заданного $a$.
# Постройте регулярную Марковскую цепь с $n$ состояниями и заданным эргодическим распределением.

Список заданий по ДМ 2018 весна

2018-03-11T17:42:27Z

94.25.228.160: