Контактная схема

2019-10-09T22:11:48Z

94.25.228.234: Опечатка

Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются ''контактные схемы''. С помощью ''контактных схем'' можно представить любую булеву функцию.
{{Определение
|definition =
'''Контактная схема''' (англ. ''contact circuit'') представляет собой [[Основные определения теории графов|ориентированный ациклический граф]], на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.
}}
{{Определение
|definition =
'''Контакт''' (англ. ''contact'') {{---}} ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро)
}}

==Принцип работы==

{{Определение
|definition =
'''Замкнутый контакт''' (англ. ''closed contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написана <tex>1</tex> или значение переменной равно <tex>1</tex>.
}}

{{Определение
|definition =
'''Разомкнутый контакт''' (англ. ''open contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написан <tex>0</tex> или значение переменной равно <tex>0</tex>.
}}

Пусть <tex>u</tex> и <tex>v</tex> {{---}} два полюса контактной схемы (из вершины <tex>u</tex> ребра только выходят, в вершину <tex>v</tex> ребра только входят), определяющую функцию <tex>g(x_1, x_2 \dots, x_n)</tex>. Тогда <tex>g(x_1, x_2 \dots, x_n)</tex> принимает значение <tex>1</tex> при таком наборе значений переменных, если можно добраться из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> только по замкнутым контактам.

==Построение контактных схем==
===Представление одного из базисов в контактных схемах===

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к [[ДНФ|ДНФ]] или [[КНФ|КНФ]], а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:
{| cellpadding="0"
| [[Файл:multiply.png | 250px | thumb | Конъюнкция]] || [[Файл:disjunction.png | 250 px | thumb | Дизъюнкция]] || [[Файл:contactnot.png |200px | thumb | Отрицание]]
|}

===Построение контактных схем===

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует.
В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f=(\neg x \land y \land z) \lor (x \land \neg y \land z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже.

[[Файл:example10.png|320px]]

=== Примеры построения некоторых функций ===

{| cellpadding="0"
| [[Файл:xor.png |200 px| thumb | исключающее "или"]] || || [[Файл:median.png |200 px|thumb | медиана]]
|-
| <tex>x \oplus y = (\neg x \land y) \lor (x \land \neg y)</tex> || || <tex> \langle x,y,z \rangle = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)</tex>
|}

==Задача о минимизации контактной схемы==
{{Определение
|definition =
Две контактные схемы называются '''эквивалентными''' (англ. ''equivalent contact circuits)'', если они реализуют одну и ту же булеву функцию.
}}

{{Определение
|definition =
'''Сложностью контактной схемы''' (англ. ''the complexity of the contact circuit'') называется число
ее контактов.
}}

{{Определение
|definition='''Минимальная контактная схема''' (англ. ''minimal contact circuit'') {{---}} схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.
}}

{{Определение
|definition =
'''Дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных''' {{---}} двоичное ориентированное дерево глубиной <tex>n</tex>, такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной <tex>x_k (k \leqslant n)</tex>, а правое помечено символом отрицания переменной <tex>x_k</tex>.
}}

Задача минимизации контактных схем состоит в том, чтобы по данной схеме <tex>S</tex> найти схему <tex>T</tex> , эквивалентную <tex>S</tex> и имеющую наименьшую сложность.
Один из путей решения этой задачи состоит в следующем:
* Осуществляем переход от контактной схемы <tex>S</tex> к её булевой функции <tex>F(S)</tex>.
* Упрощаем <tex>F(S)</tex>, то есть отыскиваем функцию <tex>G</tex> (на том же базисе, что и <tex>F(S)</tex>, равносильную <tex>F(S)</tex> и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать [[Сокращенная_и_минимальная_ДНФ| карты Карно]].
* Строим схему <tex>T</tex>, реализующую функцию <tex>G</tex>.

{{Теорема
|statement = Любую булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью <tex>O(2^n)</tex>
|proof =
Пусть дана функция <tex>f(x_1,x_2 \dots, x_n)</tex> и она представлена в [[ДНФ|ДНФ]]
[[Файл:tree_for_two.png | 250px | thumb | Дерево конъюнктов для 2-х переменных]]

Возьмем дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины <tex>u</tex> до "нижних" вершин дерево можно добраться за <tex>O(n)</tex>, а ребер у такого дерева <tex>O(2^n)</tex>

Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной <tex>v</tex> контактами, над которыми написана <tex>1</tex>. От этого в схему добавится не более, чем <tex>2^n</tex> ребер и тогда сложность останется <tex>O(2^n)</tex>.

В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью <tex>O(2^n)</tex>
}}

==См также==
* [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|Построение функциональной схемы]]

==Источники информации==
* [http://pgap.chat.ru/zap/zap116.htm Контактные схемы]
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Contact_scheme Encyclopedia of Math {{---}} Contact sheme]
* Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике
* М. А. Айзерман, Л. А. Гусев, Л. И. Розоноэр И. М. Смирнова, А. А. Таль. Логика, автоматы, алгоритмы.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Контактная схема