Дискретная случайная величина

2020-02-19T15:33:24Z

94.25.228.28: /* Функция распределения */

{{Определение
|definition =
'''Случайная величина''' (англ. ''random variable'') {{---}} отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел.
<tex> \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</tex>}}

== Дискретная случайная величина ==
{{Определение
|definition =
'''Дискретной случайной величиной''' (англ. ''discrete random variable'') называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.
}}

===Примеры===

Проще говоря, дискретные случайные величины {{---}} это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:
# Число попаданий в мишень при <tex>n</tex> выстрелах. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>
# Количество выпавших орлов при <tex>n</tex> бросков монетки. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>
# Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{1,2,3,4,5,6\}</tex>

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

==Функция распределения==

{{Определение
|definition =
'''Функция распределения случайной величины''' (англ. ''cumulative distribution function (CDF)'') {{---}} функция <tex>F(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi\leqslant x)</tex>, т.е. выражающая вероятность того, что <tex>\xi</tex> примет значение меньшее или равное <tex>x</tex> }}

Если случайная величина <tex>\xi</tex> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией <tex>\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</tex>

Функция распределения <math>F(x)</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как <tex>F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i</tex>.

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

*<tex>F(x_1)\leqslant F(x_2)</tex> при <tex>x_1 \leqslant x_2;</tex>

*<tex>F(x)</tex> непрерывна во всех точках <tex>x\in \mathbb{R}</tex>, таких что <tex>\forall i ~ x \ne x_i </tex>, и имеет разрыв первого рода в точках, таких что <tex>\forall i ~ x = x_i</tex>.

*<tex>\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>.

===Примеры===
#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>k \leqslant 0 ~ F(k) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k > 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \rceil - 1) }\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}</tex>
#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>.
#Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k \leqslant 1 ~ F(k) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k > 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \rceil - 1) }p_{i}</tex>

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например <tex>
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
\dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\
1, & x > 3
\end{cases}</tex>

==Функция плотности распределения вероятностей==

{{Определение
|definition =
'''Функция плотности распределения вероятностей''' (англ. ''Probability density function'') {{---}} функция <tex>f(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как первая производная функции распределения.

:<tex>f(x) = F'(x)</tex> }}

Свойства функции плотности вероятности:

*Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

:<math>\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1</math>.

*Плотность вероятности определена почти всюду.
:Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

Для примера выше <tex>
f(x)=F'(x) = \begin{cases}
(0)', & x < 0 \\
\left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\
(1)', & x > 3
\end{cases} =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
\dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\
0, & x > 3
\end{cases}
</tex>

Для дискретной случайной величины '''не''' существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

== См. также ==
* [[Математическое ожидание случайной величины]]

== Источники информации ==
* [http://kek.ksu.ru/EOS/TerVer/par7.html КГУ {{---}} Определение дискретной случайной величины]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дискретная случайная величина]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Википедия {{---}} Плотность вероятности]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Теория вероятности ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Дискретная случайная величина