Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей

2013-06-14T23:55:45Z

94.25.228.47: /* Теорема умножения определителей */

{{Лемма
|about = *
|statement=
<tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {e_{i_1}} \land {e_{i_2}} \land ... \land {e_{i_p}} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{A}{e_{i_1}} \land \mathcal{A}{e_{i_2}} \land... \land \mathcal{A}{e_{i_p}} </tex>
}}

{{Лемма
|about = **
|statement=
Если <tex> {x_1} \land {x_2} \land... \land {x_p} \in {\wedge_p} </tex>, то <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {x_1} \land {x_2} \land ... \land {x_p} = \mathcal{A}{x_1} \land \mathcal{A}{x_2} \land... \land \mathcal{A}{x_p} </tex>
}}

{{Лемма
|about = ***
|statement=
<tex> \mathcal{A}^{\wedge_n} z = \det \mathcal{A} \cdot z </tex>
}}

==Теорема умножения определителей ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B} \colon X \to X</tex> (автоморфизм). Тогда <tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) = \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B}</tex>
|proof =
<tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex> <tex>
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = ^{(*)}</tex> <tex>
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} = ^{(def\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})}</tex> <tex>
\mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) = ^{(**)}</tex> <tex>
\mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})= ^{(***)}</tex> <tex>
\det \mathcal{A} \cdot (\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) = ^{(***)}</tex> <tex>
\det \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}^{\wedge_n}({e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}) = </tex> <tex>
\det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} </tex> 
т.е. <tex> \det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex> <tex>
\det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}
</tex>

}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей