Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Категория:Алгебра и геометрия 1 курс

2013-06-11T19:59:03Z

94.25.229.48:

Категория:Алгебра и геометрия 1 курс

2013-06-11T19:57:58Z

94.25.229.48:

[[Категория:Алгебра и геометрия 1 курс]]

{{main|Алгебра и геометрия 1 курс}}

Категория:Алгебра и геометрия 1 курс

2013-06-11T19:57:43Z

94.25.229.48: Новая страница: «Категория:Алгебра и геометрия 1 курс Конспекты лекций Н. Ю. Додонова {{main|Алгебра и геом...»

[[Категория:Алгебра и геометрия 1 курс]]
Конспекты лекций Н. Ю. Додонова

{{main|Алгебра и геометрия 1 курс}}

Обратная матрица

2013-06-11T19:51:54Z

94.25.229.48:

{{Определение
|definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на которую, исходная матрица <tex>A</tex> даёт в результате единичную матрицу <tex>E</tex>
: <math>\! AA^{-1} = A^{-1}A = E</math>
}}

{{Определение
|definition='''Критерий обратимости матрицы''': квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю.
}}

==Свойства обратной матрицы==
* <math dpi = "145">\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}</math>
* <math dpi = "145">\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>
* <math dpi = "145">\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math>
* <math dpi = "145">\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math>

== Методы нахождения обратной матрицы ==
=== Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы ===
Возьмём две матрицы: саму <tex>A</tex> и <tex>E</tex>. Приведём матрицу <tex>A</tex> к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной <tex>A^-1</tex>.

====Пример====
Найдем обратную матрицу для матрицы
:<math dpi = "145"> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>
*'''1)''' Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

*'''2)''' Справа от исходной матрицы припишем единичную.
:<math dpi = "145"> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right].
</math>

*'''3)''' Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.
:<math dpi = "145"> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt]
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{array} \right].
</math>

*'''4)''' <tex dpi = "145">A^{-1} = B</tex>

=== Метод присоединенной матрицы ===

<math dpi = "145">A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot \mbox{adj}\,A,</math>
где <math dpi = "145">\mbox{adj}\,A</math> — присоединенная матрица;
{{Определение
|definition= '''Присоединенная(союзная, взаимная) матрица''' — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.
}}

<math dpi = "145">{C}^{*}= \begin{pmatrix}
{A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\
{A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>

Исходная матрица:

<math dpi = "145">{A}= \begin{pmatrix}
{a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\
{a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>

Где:

* <math dpi = "145">{C}^{*}</math> — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;
* <math dpi = "145">{A}_{ij}</math> — алгебраические дополнения исходной матрицы;
* <math dpi = "145">{a}_{ij}</math> — элементы исходной матрицы.

'''Алгебраическим дополнением''' элемента <math dpi = "145">\ a_{ij}</math> матрицы <math dpi = "145">\ A</math> называется число

<math dpi = "145">\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}</math>,

где <math dpi = "145">\ M_{ij}</math> — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы <math dpi = "145">\ A</math> путем вычёркивания ''i'' -й строки и ''j'' -го столбца.
====Алгоритм получения обратной матрицы====
:*заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
:*транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
:*разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

==Ссылки==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Обратная_матрица Википедия {{---}} Обратная матрица]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Союзная_матрица Википедия {{---}} Союзная матрица]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическое_дополнение Википедия {{---}} Алгебраическое дополнение]

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix Wikipedia {{---}} Invertible matrix]

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]

Обратная матрица

2013-06-11T19:50:00Z

94.25.229.48:

Обратная матрица

2013-06-11T19:29:21Z

94.25.229.48: Новая страница: «{{Определение |definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на кото...»