Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Метрические, нормированные и евклидовы пространства

2013-06-15T15:37:05Z

94.25.229.65: /* Вещественное евклидово пространство */

=Метрическое пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

<tex>1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;

<tex>2)\:\rho(x,y)=\rho(y,x)</tex> - аксиома симметрии;

<tex>3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
}}
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
\rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c}
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>

2) <tex>M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex> (по всем i)

=Нормированное пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}(\mathbb{C})</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:

<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость

<tex>2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert</tex>

<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
}}
==Примеры==
<tex>X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
|proof= Очевидно, <tex>\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert</tex>
}}
=Вещественное псевдоевклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:

<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>

<tex>2)G(x,y)=G(y,x)</tex> - симметричность

<tex>3)</tex> При <tex>x=0: G(x,y)=0</tex> при любых <tex>y \in E</tex> - невырожденность

Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
==Примеры==
Пространство Минковского: <tex>E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным

=Вещественное евклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,x)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
==Примеры=
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>

<tex>\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt </tex>

{{Определение
|definition=
<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}</tex> называется скалярным произведением x и y (в E)}}
{{Определение
|definition=
<tex>\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}</tex> называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E}}
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое вещественное пространство является нормированным.
|proof= Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Обратная матрица

2013-06-12T17:42:12Z

94.25.229.65:

{{Определение
|definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на которую, исходная матрица <tex>A</tex> даёт в результате единичную матрицу <tex>E</tex>
: <math>\! AA^{-1} = A^{-1}A = E</math>
}}
==Критерий обратимости матрицы==
{{Теорема
|statement=
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю.
|proof =
*Если матрица <tex>A</tex> обратима, то <tex>AB = E</tex> для некоторой матрицы <tex>B</tex>. Тогда в силу теоремы(если квадратные матрицы одного и того же порядка, то <tex>det(AB) = detA * detB</tex>):
<tex>1 = det E = det(AB) = detA * detB</tex>, следовательно, <tex>detA \ne 0</tex>.
*Теперь докажем обратное утверждение. Пусть <tex>det A \ne 0</tex>. Положим <tex>B = \frac{1}{detA}A^{*}</tex>
Тогда <tex>AB = A(\frac{1}{detA}A^{*}) = \frac{1}{detA}(AA^{*})</tex> то есть, <tex>A</tex> обратима справа.
*Поскольку для квадратной матрицы одно и двусторонняя обратимость эквивалентны (Квадратная матрица <tex>A</tex> обратима справа тогда и только тогда, когда она обратима слева.), получаем, что <tex>A</tex> обратима и <tex>A^{-1} = B = \frac{1}{detA}A^{*}</tex>
''<tex>A^{*}</tex> - присоединенная матрица''
}}

==Свойства обратной матрицы==
* <math dpi = "145">\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}</math>
* <math dpi = "145">\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>
* <math dpi = "145">\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math>
* <math dpi = "145">\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math>

== Методы нахождения обратной матрицы ==
=== Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы ===
Возьмём две матрицы: саму <tex>A</tex> и <tex>E</tex>. Приведём матрицу <tex>A</tex> к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной <tex>A^-1</tex>.

====Пример====
Найдем обратную матрицу для матрицы
:<math dpi = "145"> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>
*'''1)''' Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).

*'''2)''' Справа от исходной матрицы припишем единичную.
:<math dpi = "145"> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right].
</math>

*'''3)''' Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.
:<math dpi = "145"> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt]
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{array} \right].
</math>

*'''4)''' <tex dpi = "145">A^{-1} = B</tex>

=== Метод присоединенной матрицы ===

<math dpi = "145">A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot \mbox{adj}\,A,</math>
где <math dpi = "145">\mbox{adj}\,A</math> — присоединенная матрица;
{{Определение
|definition= '''Присоединенная(союзная, взаимная) матрица''' — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.
}}

<math dpi = "145">{C}^{*}= \begin{pmatrix}
{A}_{11} & {A}_{12} & \cdots & {A}_{1n} \\
{A}_{21} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{A}_{n1} & {A}_{n2} & \cdots & {A}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>

Исходная матрица:

<math dpi = "145">{A}= \begin{pmatrix}
{a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\
{a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>

Где:

* <math dpi = "145">{C}^{*}</math> — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;
* <math dpi = "145">{A}_{ij}</math> — алгебраические дополнения исходной матрицы;
* <math dpi = "145">{a}_{ij}</math> — элементы исходной матрицы.

'''Алгебраическим дополнением''' элемента <math dpi = "145">\ a_{ij}</math> матрицы <math dpi = "145">\ A</math> называется число

<math dpi = "145">\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}</math>,

где <math dpi = "145">\ M_{ij}</math> — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы <math dpi = "145">\ A</math> путем вычёркивания ''i'' -й строки и ''j'' -го столбца.

<math dpi="145">M_{ij} = det\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\
a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>
====Алгоритм получения обратной матрицы====
:*заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
:*транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
:*разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

<tex dpi="145">A^{-1} = (C^*)^T \times \frac{1}{det A}</tex>

==Ссылки==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Обратная_матрица Википедия {{---}} Обратная матрица]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Союзная_матрица Википедия {{---}} Союзная матрица]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическое_дополнение Википедия {{---}} Алгебраическое дополнение]

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix Wikipedia {{---}} Invertible matrix]

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]