Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-01T16:06:08Z

94.25.229.74:

<tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен на <tex>[0;1]^2</tex>

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>

A — комплексный оператор (<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>)

Интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

X — B-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - a</tex>

Задача: когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае комплексного A ответ даёт теория Шаудера.

Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.
<tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = Ker~T</tex> — подпространство X. <tex>dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Но так как A — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в Y, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если A — компактный, то <tex>dim~Ker(I-A) < + \infty</tex>.

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, A компактен <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>
|proof=Ранее (пятый семестр же?) мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\|<=a\|y\|</tex>), то R(T) замкнуто. Нужно доказать, что у T есть априорная оценка.

<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

<tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> *Из конспекта немного непонятно, почему {{TODO| t=доказать}}* Эта функция непрерывна <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через y.
}}

{{Теорема
|statement=Спектр компактного оператора не более чем счётен
|proof=На отрезке <tex>[\alpha\ldots|A|]</tex> должно быть конечное число точек спектра. Пусть обратное, тогда занумеруем их: <tex>\lambda_n \neq \lambda_m</tex>. <tex>x_n</tex>— собственные вектора.
<tex>\lambda_n \geq \alpha > 0</tex>
<tex>L_n = \mathcal{L} \{ x_1,\ldots, x_n \}</tex>. Очевидно, что <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex>. Проверим, что включения строгие.
Пусть проверено, что <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ. Докажем тогда, что <tex>x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ. Пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Подействуем на это равенство A : <tex>A x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k A x_k</tex>. Так как <tex>x_k</tex> — собственные вектора, <tex>\lambda_{n+1} x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \lambda_k x_k \Rightarrow x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac {\alpha_k \lambda_k} {\lambda_{n+1}} x_k</tex>, но <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Но <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ, поэтому разложение <tex>x_{n+1}</tex> через их комбинацию единственно. Значит, <tex>\alpha_k = \alpha_k \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}</tex>. <tex>x_{n+1} \neq 0</tex>, поэтому <tex>\exists \alpha_{k_0} \neq 0 \Rightarrow \alpha_{k_0} = \alpha_{k_0} \frac {\lambda_{k_0}} {\lambda_{n+1}}</tex> и <tex>\lambda_{k_0} = \lambda_{n+1}</tex>, но <tex>\lambda_n \neq \lambda_m</tex> — мы получили противоречие, поэтому <tex>x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> строгое.

Применим к цепи подпространств лемму Рисса о почти перпендикуляре:

<tex>y_n \in L_n, \|y_n\| = 1, \forall y \in L_{n+1}~\|y_{n+1} - y_n\| \geq \frac 1 2</tex>

Система <tex>\{y_n\}</tex> ограничена. Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности A из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя; противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha;\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>. Если это так, то <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. По построению <tex>y_n</tex>, <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex>, в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac 1 2</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности.

Осталось проверить, что <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера