Формула Тейлора для произвольной функции

2021-01-10T14:44:05Z

95.25.162.208: исправлена опечатка: t заменена на x_0

== Введение ==
''Пафос mode on''

Формула Тейлора для [[Отображения|функций]] является венцом развития классического анализа.
После её открытия анализ стал развиваться по-другому. Так-то!

''Пафос mode off''

Пусть функция <tex>y = f(x)</tex> <tex>\ n</tex> [[Производные и дифференциалы высших порядков|раз дифференцируема]] в точке <tex>x_0</tex>

{{Определение
|definition=
<tex dpi=150>T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k</tex> {{---}} полином
Тейлора функции <tex>f(x)</tex>
}}

Таким же способом, каким была найдена формула для <tex>b_k</tex>, легко проверить основное свойство
полинома Тейлора:

<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)</tex>. Однако, в общем случае, при <tex>x \approx x_0</tex>, <tex>T_n(x) \ne f(x)</tex>

{{Определение
|definition=
<tex>f(x) = T_n(x) + r_n(x)</tex>, где <tex>r_n(x)</tex> {{---}} остаток формулы Тейлора.
}}

Сейчас мы получим ряд свойств этого остатка при <tex>x \to x_0</tex>.

Если <tex>f(x) = P_n(x)</tex>, то, по теореме Тейлора, <tex>f(x) = T_n(x)</tex>, <tex>r_n(x) = 0</tex>

== Теорема Пеано ==

{{Теорема
|about=
Пеано
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n</tex> раз дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>. Тогда <tex dpi=150>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>.
где <tex>o(a)</tex> {{---}} такая величина, что <tex dpi=150>\frac{o(a)}{a} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.

<tex>o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n</tex>, где <tex>\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
Иначе говоря, порядок малости величины слева больше <tex>n</tex>.
|proof=
<tex>r_n(x) = f(x) - T_n(x)</tex>

Нужно доказать, что <tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>

<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}</tex>

<tex>\left[(x-x_0)^n \right]^{(k)} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)(x - x_0)^{n - k}, \quad k = \overline{0, n}</tex>

<tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)}</tex> {{---}} неопределённость <tex>\frac00</tex>. Раскроем по правилу Лопиталя:

<tex dpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00</tex>.
Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная
числителя существует только в <tex>x_0</tex>, но не в её окрестности. Воспользуемся тем, что <tex> r_n^{(n - 1)}(x_0) = 0 </tex>:

<tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} =</tex>
<tex dpi=150>\frac{r_n^{(n - 1)}(x) - r_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0</tex>
Это отношение приращения функции к приращению аргумента {{---}} по определению проиизводная.
}}

== Теорема Лагранжа ==

Если потребовать чего-то большего, чем существование <tex>f^{(k)}(x)</tex>, то остаток можно уточнить.
В этом нам поможет теорема Лагранжа.

{{Теорема
|about=
Лагранж
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема в окрестности точки <tex>x_0</tex>.
Тогда <tex dpi=140>\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)</tex> <tex dpi=140>= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k +
\frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}
</tex>

<tex>c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)</tex>

<tex>f(x)</tex> {{---}} формула Тейлора с остатком по Лагранжу.
|proof=
Введём вспомогательную функцию <tex dpi=150>g(t) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k</tex>, причём <tex>t</tex> находится
между <tex>x</tex> и <tex>x_0</tex>

<tex>g(x) = 0</tex>
Заметим, что <tex>g(x_0)</tex> {{---}} остаток в формуле Тейлора.

Найдём <tex>g'</tex>: <tex dpi=150>g' = - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = </tex>

<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{k - 1} = </tex>

<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = </tex>

(суммы сокращаются) <tex dpi=150>= -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!} (x - t)^n</tex>

<tex>g(x) = 0</tex>,
<tex>g(x_0) = r_0(x)</tex>,
<tex>g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n</tex>

Обозначим за <tex>\varphi(t) = (x - t)^{n + 1}</tex>. Тогда <tex>\varphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n</tex>. При <tex>t = x_0</tex>, <tex>\varphi'(t) \ne 0</tex>.

Рассмотрим дробь
<tex dpi=150>\frac{g(x)- g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} =</tex> (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) <tex dpi=150>\frac{g'(c_x)}{\varphi'(c_x)} = </tex>
<tex dpi=150> \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}</tex>

Но, с другой стороны, <tex dpi=150>\frac{g(x) - g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}</tex>

Тогда получим
<tex dpi=150>\frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!} = \frac{+r_n(x)}{+(x - x_0)^{n + 1}}</tex>, что и требовалось.
}}

== Исследование функции на экстремум ==

Покажем, как использовать формулу Тейлора для исследования функции на экстремум.
<tex>y = f(x), \quad f'(x_0) = 0</tex>. Нужно определить, является ли точка <tex>x_0</tex> точкой эктремума.

Будем считать, что функция дифференцируема любое нужное нам число раз.

<tex>f'(x_0) = 0</tex>. Пусть <tex>f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(x_0) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0</tex>.
<tex>p</tex> {{---}} первое такое число, что производная <tex>f</tex> такого порядка в этой точке не равна 0.
По формуле Тейлора с остатком по Пеано, <tex>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p + o((x - x_0)^p)</tex>

<tex dpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))</tex>. При <tex>x \approx x_0, \quad 1 + o(1) > \frac12</tex>.

<tex>\operatorname{sign}(f(x)- f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)</tex>

Заметим, что <tex>\operatorname{sign}(f^{(p)}) = \mathrm{const}</tex>, а <tex>\operatorname{sign}((x - x_0)^p)</tex> {{---}} изменяется.
Тогда возможны два случая:

* <tex>p</tex> {{---}} чётное:

<tex>\operatorname{sign}(x - x_0)^p = 1</tex>

Тогда <tex>\operatorname{sign}(f(x) - f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0))</tex>

Если <tex> f^{(p)}(x_0) </tex> больше <tex>0</tex>, то в <tex>x_0</tex> минимум, если меньше {{---}} то максимум.

* <tex>p</tex> {{---}} нечётное:

<tex>\operatorname{sign}(x - x_0)^p = \pm 1</tex> в зависимости от того, с какой стороны <tex>x</tex> находится от <tex>x_0</tex> на числовой оси. Значит, экстремума в точке <tex>x_0</tex> нет.

== Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора ==

Разложим ряд элементарных функций в точке <tex>0</tex> по формуле Тейлора:

=== y = e^x ===
<tex>y = e^x</tex>

<tex>y' = e^x, \ y^{(k)} = e^x</tex>

<tex>\left. (e^x)^{(k)} \right|_0 = 1</tex>

<tex dpi=150>e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!}x^k + o(x^n)</tex>

=== y = ln(x + 1) ===
<tex>y = \ln(x + 1)</tex>

<tex>y(0) = 0, \ y' = (1 + x)^{-1}</tex>

<tex>y^{(k + 1)}(x) = [(1 + x)^{-1}]^{(k)} = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k}</tex>

<tex>\left. y^{(k + 1)}(0) = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k} \right|_0 = (-1)(-1 -1)\ldots(-k) = (-1)^kk!</tex>

<tex>y = \ln(x + 1) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^k\frac1k x^k + o(x^n)</tex>

=== y = (x + 1)^α ===
<tex>y = (x + 1)^{\alpha}</tex>

<tex>((x+1)^\alpha)^{(k)} = [(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k}</tex>

<tex>\left.((x+1)^\alpha)^{(k)}\right|_0 = \left.[(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k} \right|_0 = \binom{\alpha}k</tex>

<tex>(1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \binom{\alpha}k x^n + o(x^n)</tex>

=== y = sin x ===
<tex>y = \sin x</tex>

<tex dpi=150>\sin x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n + 1})</tex>

=== y = cos x ===
<tex>y = \cos x</tex>

<tex dpi=150>\cos x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac1{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n})</tex>

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Формула Тейлора для произвольной функции