Поиск k-ой порядковой статистики

2019-10-14T19:38:14Z

95.55.138.25: запятые

{{Определение
|definition=
'''<tex>k</tex>-ой порядковой статистикой''' набора элементов линейно упорядоченного множества называется такой его элемент, который является <tex>k</tex>-ым элементом набора в порядке сортировки
}}

== Модификация QuickSort ==
=== Описание алгоритма ===

Будем использовать процедуру рассечения массива элементов из алгоритма сортировки [[Быстрая сортировка|QuickSort]]. Пусть нам надо найти <tex>k</tex>-ую порядковую статистику, а после рассечения опорный элемент встал на позицию <tex>m</tex>. Возможно три случая:

* '''k = m'''. Порядковая статистика найдена.
* '''k < m'''. Рекурсивно ищем <tex>k</tex>-ую статистику в первой половине массива.
* '''k > m'''. Рекурсивно ищем <tex>(k - m - 1)</tex>-ую статистику во второй половине массива.

=== Код алгоритма ===

Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде считаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается), и возвращает индекс опорного элемента. Также считается, что массив индексируется с нуля.

'''int''' findOrderStatistic('''int[]''' array, '''int''' k) {
'''int''' left = 0, right = array.length;
'''while''' ('''true''') {
'''int''' mid = partition(array, left, right);

'''if''' (mid == k) {
'''return''' array[mid];
}
'''else if''' (k < mid) {
right = mid;
}
'''else''' {
left = mid + 1;
}
}
}

=== Анализ времени работы ===

Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худший случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.

Будем оценивать количество сравнений. При поиске статистики в массиве размера <tex>n</tex> функция '''partition''' (точнее, одна из распространённых вариаций) совершает не более <tex>n - 1</tex> сравнений. Далее, в зависимости от <tex>k</tex> выбирается левая или правая половины (или вообще алгоритм завершает работу). Оценку проводим сверху, то есть, будем считать, что каждый раз выбирается большая половина.

:<tex>T(n) \le \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n \left ( T \left ( \max \left \{k - 1; n - k \right \} \right ) + n - 1 \right ) =</tex>
:<tex>= n - 1 + \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n T(\max \{k - 1; n - k\}) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} T(k)</tex>

Предположим, что <tex>T(k) \le ck</tex> для некоторой константы <tex>c</tex> и всех <tex>k < n</tex> (будем доказывать оценку по индукции). Тогда верно неравенство:

:<tex>T(n) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck</tex>

Преобразуем сумму из правой части равенства по формуле суммы арифметической прогрессии и оценим преобразованное выражение:

:<tex>\sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck = \frac 12 \left (\left \lceil \frac n2 \right \rceil - 1 \right) \left( c \left \lfloor \frac n2 \right \rfloor + c(n - 1) \right ) \le \frac c2 \left (\frac{n + 1}2 - 1\right) \frac{3n - 2}2 = c \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2</tex>

Воспользуемся полученной оценкой для оценки исходного выражения. Также, предположим, что <tex>c \ge 4</tex>:

:<tex>T(n) \le n - 1 + \frac{2c}n \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2 = n - 1 + c\frac{n - 1}{2n} \frac{3n - 2}2 \le \frac c4 (n - 1) + \frac c4\left (\frac{n - 1}n (3n - 2)\right) \le</tex>
:<tex>\le \frac c4 (n - 1 + 3n - 2) = \frac c4 (4n - 3) \le cn</tex>

Для довершения доказательства необходима проверка базы индукции, но она тривиальна: для выборки порядковой статистики из одного элемента сравнений не требуется: <tex>T(1) = 0 < 4</tex>. Итого, мы доказали, что <tex>T(n) \le 4n</tex>, следовательно, <tex>T(n) = O(n)</tex>

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/BFPRT Selection algorithm — Wikipedia]
* Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89685-0. Section 5.3.3: Minimum-Comparison Selection, pp.207–219.

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Поиск k-ой порядковой статистики