Типы дифференциальных уравнений

2016-02-23T18:55:55Z

95.55.9.242: /* y явно зависит от y' */

==Уравнение с разделенными переменными==
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>M(x)dx + N(y)dy = 0 \:\: (1)</tex> называется уравнением с разделенными переменными}}
Решение:
<tex>(1) \:\: \Leftrightarrow \:\: M(x)dx = -N(y)dy</tex> далее интегрируем правую и левую части
==Уравнение с разделяемыми переменными==
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>M_{1}(x)N_{1}(y)dx + M_{2}(x)N_{2}(y)dy = 0 \:\: (2)</tex> называется уравнением с разделяемыми переменными}}
Решение: (2) разделим на <tex>N_{1}(y)M_{2}(x) \neq 0</tex> и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

==Однородные уравнения==
{{Определение|definition = уравнение вида <tex>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (3)</tex>, где M и N - однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением}}
{{Определение | definition= <tex>f(x, y) - </tex> однородная функция измерения n <tex>\Leftrightarrow \: f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n}f(x, y)</tex> }}
Решение: произвести замену <tex>t = \frac{y}{x}</tex>

{{Определение | definition= <tex dpi=150>\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})</tex> - один из видов однородного уравнения. }}
==Уравнения приводящиеся к однородным==
{{Определение|definition= уравнение вида <tex dpi = 150>\frac{dy}{dx}= f(\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}) (4)</tex> называется уравнением приводящимся к однородному}}
{{Утверждение|statement =
Решением уравнения <tex>(4)</tex> является:
1) <tex>\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x = u + \alpha \\
y = v + \beta
\end{matrix}\right. </tex>

<tex> (\alpha, \beta) : \left\{\begin{matrix}
a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\
a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0
\end{matrix}\right.</tex>

Тогда получаем однородное уравнение.

2) <tex>\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
</tex> пусть <tex>a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = t
</tex>
 

Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

| proof = Докажем 1), второй доказывается аналогично.
Подставим замену: 
<tex>a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = a_{1}(u + \alpha) + b_{1}(v + \beta) + c_{1} = a_{1}\alpha + b_{1}\beta + c_{1} + a_{1}u + b_{1}v =</tex> <tex>a_{1}u + b_{1}v = 0 </tex>
Получили однородное уравнение.
}}

==Линейное уравнение первого порядка==
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x) y + q(x)(5)</tex> называется линейным уравнением <tex>I</tex> порядка}}

{{Определение|definition= Если <tex>q(x) = 0</tex>, то уравнение <tex>(5) </tex> называется однородным линейным уравнением <tex>I</tex> порядка}}

===Способ решения методом Бернулли===
Пусть <tex> y(x) = u(x) v(x)</tex>, тогда:

<tex> u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) </tex>

<tex>
u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) - p(x) v(x)] = q(x)
</tex>, назовем это уравнение <tex>(5a)</tex>

Пусть <tex> v(x) </tex> таково, что:

<tex> v'(x) - p(x) v(x) = 0 </tex>

Тогда:

<tex>\frac{dv(x)}{dx} - p(x) v(x) = 0 </tex>. Домножим на <tex> \frac{dx}{dv(x)} </tex>
<tex>\frac{dv}{v} - p(x) dx = 0 </tex>. Отсюда получаем:

<tex>ln(v) = \int p(x)dx + C</tex>

<tex>v(x) = e^{C+ \int p(x)dx} = C e^{\int p(x)dx}</tex>

Пусть <tex> C = 1</tex>. Тогда из <tex>(5a)</tex> получаем:

<tex> u'(x) e^{\int p(x)dx} = q(x) </tex>

<tex> u(x) = \int q(x) e^{\int -p(x)dx} dx + C_{1} </tex>. Тогда

<tex>y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int -p(x)dx} dx + C_{1}] </tex>

===Способ решения методом Лагранжа===
Рассмотрим:

<tex> \frac{dx}{dy} = p(x) y </tex>

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H):
<tex> y_{O.O} = C e^{\int p(x)dx}</tex> (из док-ва Бернулли)

Пусть:

<tex> y_{O.H} = C(x) e^{\int p(x)dx}</tex>

<tex> C'(x) e^{\int p(x)dx} + C(x) p(x) e^{\int p(x)dx} = p(x) C(x) e^{\int p(x)dx} + q(x) </tex>

<tex> C'(x) = q(x) e^{-\int p(x)dx} </tex>

<tex> C(x) = \int q(x) C(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1} </tex>

<tex>y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1}] </tex>

===Способ решения методом Владимира Красноцветова===
Запомнить формулу: 
<tex>y(x) = e^{\int p(x)\mathrm dx} \left[ \int q(x) e^{\int p(x)\mathrm dx} dx + C_{1} \right] </tex>

==Уравнение в полных дифференциалах==
{{Определение| definition= Уравнение вида: <tex>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (6)</tex> называется уравнением в полных дифференциалах, если <tex>(6) = du(x, y)</tex>}}
т.к. <tex>du(x, y) = 0 \Leftrightarrow u(x, y) = C \: -</tex> общий интеграл.
{{Теорема|statement = Пусть <tex>M(x, y), N(x, y) \in C(G)</tex>, где G - односвязная область, и <tex>\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}, \: \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} \in C(G)</tex>; Тогда <tex>Mdx + Ndy = du \: \Leftrightarrow \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} \equiv \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} </tex>| proof = Рассмотрим первоначальное уравнение: <tex> M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 </tex> Перепишем его в виде: <tex> M(x,y)dx + N(x,y)dy \equiv du(x,y) = \dfrac{\partial u}{\partial x}dx + \dfrac{\partial u}{\partial y}dy. </tex> Тогда видим, что <tex> \dfrac{\partial u}{\partial x} = M, \dfrac{\partial u}{\partial y} = N </tex> Т.к.<tex> M,N </tex> - непрерывные на <tex> C </tex>, то давайте рассмотрим <tex> \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial M}{\partial y} </tex> и <tex> \dfrac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial N}{\partial x} </tex> Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность. Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию: <tex> a(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(q, y)dq + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0}, z)dz </tex> Найдем для нее частные производные по <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> \dfrac{\partial a}{\partial x} = M(x,y) </tex>, а дифференцируя по <tex> y </tex> и учитывая условие <tex> \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} \equiv \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} </tex>, получаем : <tex> \dfrac{\partial a}{\partial y} = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial M(q, y)}{\partial y}dq + N(x_0, y) = N(x,y) - N(x_0,y) + N(x_0,y) = N(x,y) </tex> , достаточность доказана, т.к. <tex> a(x,y) = u(x,y) </tex> - общий интеграл . }}
Решение: <tex>u(x, y) = \int_{x_{0}}^{x}M(x, y)dx + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0}, y)dy = C \: - </tex> Общее решение.

==Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах==
в условиях предыдущего определения, но <tex>\frac{\partial M}{\partial y} \not\equiv \frac{\partial N}{\partial x}</tex>. Домножим (6) на <tex>\mu(x, y): \:</tex> <tex>M \frac{\partial \mu}{\partial y} + \mu \frac{\partial M }{\partial y} = N \frac{\partial \mu}{\partial x} + \mu \frac{\partial N}{\partial x} \: \Rightarrow \: M \frac{\partial \mu}{\partial y} - N \frac{\partial \mu}{\partial x} = \mu (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}) \: (*)</tex> 
{{Утверждение|statement= Пусть <tex>\exists \omega (x, y) \in C'(G): \:\:</tex> <tex dpi = "165"> \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{ N \frac{\partial \omega}{\partial x} - M \frac{\partial \omega}{\partial y}} = \psi(\omega) \: \Rightarrow \mu = e^{\int \psi(\omega)d\omega}</tex>|
proof= Пусть <tex dpi = "145">\mu = h(\omega) \: \Rightarrow \: M \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial x} = h(\omega)(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})</tex> перегруппируем: <tex dpi = "165">\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})}{M\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{\partial \omega}{\partial x}} \: \Rightarrow</tex> <tex dpi = "145">\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\psi(\omega)</tex>
<tex dpi = "145">\mu(x, y) = h(\omega) = e^{\int\psi(\omega)d\omega}</tex>}}
только как решать все равно не понятно. 
Но. 
Если <tex>\mu</tex> зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде: 
<tex dpi = "150"> \mu(x) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dx}</tex> 
<tex dpi = "150"> \mu(y) = e^{-\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{M} dy}</tex>

==Уравнение Бернулли==
{{Определение| definition= уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x) y + q(x)y^m, \: m \in \mathbb{R} \setminus \left \{ 0, 1 \right \}\:</tex>, называется уравнением Бернулли.}}
Решение: 
<tex>y^{-m}y' = p(x)y^{1-m}+q(x), y \neq 0</tex> 
<tex>(\frac{y^{1-m}}{1-m})' - p(x)y^{1-m}= q(x)</tex>, пусть <tex>z(x) = y^{1-m} \: \Rightarrow</tex> 
<tex>z'(x) - p(x)(1 - m)z(x) = (1 - m)q(x) \: - </tex>линейное относительно z уравнение.
==Уравнение Риккати==
{{Определение|definition= Уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x) + r(x)y^{2}\:\: (9)</tex>, где <tex>p, q, r \in C(a,b)\:</tex> называется уравнением Риккати}}
Решение: 
Пусть <tex>y_{1}(x)\: - </tex> частное решение уравнения (9), тогда <tex>y(x) = z(x) + y_{1}</tex> 
<tex>z' + y'_{1} = p(z + y_{1}) + q + r(z + y_{1})^{2}</tex> 
<tex>z' = pz + rz^{2} + 2rzy_{1}\: - </tex> уравнение (8)
==Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной==
===x явно зависит от y'===
Решение: 
Пусть <tex>x = \phi(y')\:\: (10)</tex>
 Перейдем к параметрической системе:
 <tex>
\left\{\begin{matrix}
x = \phi(t)
\\y' = t
\end{matrix}\right.</tex> 
<tex>dy = t dx = t \phi'(t)</tex> 
<tex>
\left\{\begin{matrix}
y = \int t\phi'(t)dt
\\x = \phi(t)
\end{matrix}\right.</tex>
 
===y явно зависит от y'===
Решение: 
Пусть <tex>y = \phi(y')\:\: (11)</tex>
 Переходим к системе:
<tex>
\left\{\begin{matrix}
y = \phi(t)
\\y' = t
\end{matrix}\right.</tex> 
<tex>dx = \frac{\phi'(t)dt}{t}</tex> 

<tex>
\left\{\begin{matrix}
x = \int \frac{\phi'(t)dt}{t}
\\y = \phi(t)
\end{matrix}\right.</tex>

===уравнение Лагранжа===
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>y = \phi(y')x + \psi(y')\:\: (12)</tex>, называется уравнением Лагранжа}}
Решение: 
Переходим к системе: 
<tex>
\left\{\begin{matrix}
y = \phi(t)x + \psi(t)
\\y' = t

\end{matrix}\right.</tex> 
<tex>dy = (\phi'(t)x + \psi'(t))dt + \phi(t)dx = tdx</tex> 
<tex>(\phi'(t)x+ \psi'(t))dt + (\phi(t) - t)dx = 0</tex> 
<tex>\Rightarrow \: ]x = F(t, C), \: \phi(t) - t \neq 0</tex> 
<tex>\left\{\begin{matrix}
x = F(t, C)
\\y = \phi(t)F(t, C) + \psi(t)
\end{matrix}\right.</tex> 
===Уравнение Клеро===
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>y = xy' + \psi(y')\:\: (13)</tex>, называется уравнением Клеро}}
Решение: 
Пусть <tex>y' = t \: \Rightarrow \: dy = tdx = (x + \psi'(t))dt + tdx \: \Rightarrow \: (x + \psi'(t))dt = 0 </tex>
 
Тогда либо <tex>dt = 0 \: (1)</tex>, либо <tex>x + \psi'(t) = 0 \: (2)</tex>
 
<tex>(1):\: t = C \Rightarrow y = xC + \psi(C)</tex> {{---}} общее решение.
 
<tex>(2):\: \left\{\begin{matrix}
x = -\psi'(t)\\y = -\psi'(t)t + \psi(t)
\end{matrix}\right.</tex>

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Типы дифференциальных уравнений