Удаление бесполезных символов из грамматики

2015-11-06T19:56:22Z

95.55.96.38: /* Пример */

== Порождающие и непорождающие нетерминалы ==
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''порождающим''' (''generating''), если из него может быть выведена конечная терминальная цепочка. Иначе он называется '''непорождающим'''.
}}

Очевидно, что если и только если все нетерминалы правой части правила являются порождающими, то порождающим является и нетерминал, стоящий в его левой части. Это позволяет обнаружить непорождающие нетерминалы с помощью следующей процедуры.
# Найти правила, не содержащие нетерминалов в правых частях. Составить множество нетерминалов, встречающихся в левых частях таких правил.
# Если найдено такое правило, что все нетерминалы, стоящие в его правой части, уже входят в множество, то добавить в множество нетерминалы, стоящие в его левой части.
# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.
# Получено множество всех порождающих нетерминалов грамматики, а все нетерминалы, не попавшие в него, являются непорождающими.

{{Лемма
|statement=
После удаления из грамматики правил, содержащих непорождающие нетерминалы, язык не изменится.
|proof=
Непорождающие нетерминалы по определению не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}

=== Время работы алгоритма ===
Данный алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>, однако используя [[Очередь|очередь]] можно ускорить его до <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.

=== Пример ===
Рассмотрим грамматику:
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow Ac\\
A\rightarrow SD\\
D\rightarrow aD\\
A\rightarrow a
\end{array}
</tex>
# Изначально множество порождающих нетерминалов состоит из одного элемента <tex>A</tex>.
# Добавим в множество нетерминал <tex>S</tex>, так как существует правило <tex>S\rightarrow Ac</tex>, в правой части которого стоят нетерминал <tex>A</tex>, который есть в множестве, и терминал <tex>c</tex>.
# После следующего обхода правил из грамматики множество не изменится.
# Теперь удалим правила <tex>A\rightarrow SD</tex> и <tex>D\rightarrow aD</tex>, так как они содержит нетерминалы, которых нет в полученном множестве.

== Достижимые и недостижимые нетерминалы ==
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''достижимым''' (''reachable'') в КС-грамматике <tex>\Gamma</tex>, если существует порождение <tex>S \Rightarrow^* \alpha A \beta</tex>. Иначе он называется '''недостижимым''' (''unreachable'').
}}

Очевидно, что если нетерминал в левой части правила является достижимым, то и все нетерминалы правой части являются достижимыми. Найти недостижимые нетерминалы можно с помощью следующей процедуры.
# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.
# Если найдено правило, в левой части которого стоит нетерминал, содержащийся в множестве, добавить в множество все нетерминалы из правой части.
# Если на шаге 2 множество изменилось, повторить шаг 2.
# Получено множество всех достижимых нетерминалов, а нетерминалы, не попавшие в него, являются недостижимыми.

{{Лемма
|statement=
После удаления из грамматики правил, содержащих недостижимые нетерминалы, язык не изменится.
|proof=
Недостижимые нетерминалы по определению не достижимы из стартового, следовательно они не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
}}

=== Время работы алгоритма ===
Данный алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>, однако используя [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обход в глубину]] можно ускорить его до <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.

=== Пример ===
Рассмотрим грамматику:
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow AB|CD\\
A\rightarrow EF\\
G\rightarrow AD\\
C\rightarrow c

\end{array}
</tex>
# Возьмём множество, состоящее из единственного элемента: <tex>\lbrace S \rbrace</tex>.
# Из <tex>S</tex> достижимы нетерминалы <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>D</tex>. Добавим их в множество и получим <tex>\lbrace S, A, B, C, D \rbrace</tex>.
# Множество изменилось. Переберём заново правила из грамматики. Из <tex>A</tex> можно вывести <tex>E</tex> и <tex>F</tex>, добавим их в множество.
# Снова переберём правила. Из <tex>C</tex> можно вывести только терминал, а <tex>G</tex> нету в множестве.
# После последнего обхода правил грамматики множество не изменилось, значит мы нашли все достижимые нетерминалы: <tex>\lbrace S, A, B, C, D, E, F \rbrace</tex>.
# Теперь удалим правило <tex>G\rightarrow AD</tex>, так как оно содержит в левой части нетерминал, которого нет в полученном множестве.

== Полезные и бесполезные нетерминалы ==
{{Определение
|definition=
Нетерминал <tex>A</tex> называется '''полезным''' (''useful'') в КС-грамматике <tex>\Gamma</tex>, если он может участвовать в выводе, то есть существует порождение вида <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* w</tex>. Иначе он называется '''бесполезным''' (''useless'').
}}

{{Теорема
|id=th1
|statement=
Грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит бесполезных нетерминалов тогда и только тогда, когда грамматика <tex>\Gamma</tex> не содержит ни недостижимых нетерминалов, ни непорождающих.
|proof=
''Необходимость.'' Очевидно, так как недостижимые и непорождающие нетерминалы являются бесполезными.

''Достаточность.'' Рассмотрим любой нетерминал <tex>A</tex>. Так как он достижим, существуют <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> такие, что <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta</tex>. Из того, что любой нетерминал является порождающим, следует, что из любой строки можно вывести строку из терминалов. Значит, существует <tex>\omega \in \Sigma ^ *</tex>: <tex>S \Rightarrow ^* \alpha A \beta \Rightarrow ^* \omega</tex>, и <tex>A</tex> {{---}} не бесполезный.
}}

== Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов ==
# Удалить из грамматики правила, содержащие непорождающие нетерминалы.
# Удалить из грамматики правила, содержащие недостижимые нетерминалы.

=== Корректность алгоритма ===
Достаточность данных действий следует из доказанной выше теоремы.

Докажем, что после выполнения второго шага не могут появиться новые непорождающие нетерминалы.

Допустим, что в грамматике появился непорождающий нетерминал <tex>A</tex>. Так как до удаления недостижимых нетерминалов существовал вывод из <tex>A</tex> некоторой конечной цепочки терминалов <tex>\omega</tex>, то было удалено хотя бы какое-то одно правило из этого вывода.

Пусть <tex>B\rightarrow\alpha</tex> {{---}} правило, первым из удалённых применяемое в выводе <tex>A \Rightarrow ^* \omega</tex>. Оно могло быть удалено только в том случае, если в <tex>\alpha</tex> присутствуют недостижимые нетерминалы. Но так как было выбрано первое удалённое правило из вывода, то <tex>B</tex> — достижим, следовательно достижимы и все нетерминалы из <tex>\alpha</tex>. Значит, это правило не могло быть удалено.

=== Пример ===

Пусть нам дана грамматика:
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow AS|BS|s \\
E\rightarrow EF|FF \\
A\rightarrow a \\
F\rightarrow f

\end{array}
</tex>.<br>
Удалим правила, содержащие непорождающие нетерминалы и получим грамматику
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow AS|s \\
E\rightarrow EF|FF \\
A\rightarrow a \\
F\rightarrow f

\end{array}
</tex>.<br>
Теперь удалим недостижимые нетерминалы и получим грамматику
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow AS|s \\
A\rightarrow a
\end{array}
</tex>.

=== Замечание ===
Шаги алгоритма нельзя менять местами.

Рассмотрим следующую грамматику:
<tex>
\begin{array}{l l}
S\rightarrow AB|a \\
A\rightarrow b
\end{array}.
</tex>
Все нетерминалы в этой грамматике достижимы. Однако, если удалить <tex>B</tex> как непорождающий, то нетерминал <tex>A</tex> станет недостижимым.
== См. также ==
* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]
* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Chomsky normal form]

== Литература ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Удаление бесполезных символов из грамматики