Алгоритм A*

2019-05-06T19:59:58Z

95.83.188.227: /* Реализация */

Алгоритм '''А*''' (англ. ''A star'') {{---}} алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.
==Описание==
[[Файл:Astar_progress_animation.gif|right|frame|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]
В процессе работы алгоритма для вершин рассчитывается функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где
*<tex>g(v)</tex> {{---}} наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины,
*<tex>h(v)</tex> {{---}} эвристическое приближение стоимости пути от <tex>v</tex> до конечной цели.

Фактически, функция <tex>f(v)</tex> {{---}} длина пути до цели, которая складывается из пройденного расстояния <tex>g(v)</tex> и оставшегося расстояния <tex>h(v)</tex>. Исходя из этого, чем меньше значение <tex>f(v)</tex>, тем раньше мы откроем вершину <tex>v</tex>, так как через неё мы предположительно достигнем расстояние до цели быстрее всего.
Открытые алгоритмом вершины можно хранить в очереди с приоритетом по значению <tex>f(v)</tex>. А* действует подобно [[Алгоритм Дейкстры | алгоритму Дейкстры]] и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации (эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими.
 
==Свойства==
Чтобы A* был оптимален, выбранная функция <tex>h(v)</tex> должна быть '''допустимой''' эвристической функцией.
{{Определение
|definition=Говорят, что эвристическая оценка <tex>h(v)</tex> '''допустима''', если для любой вершины <tex>v</tex> значение <tex>h(v)</tex> меньше или равно весу кратчайшего пути от <tex>v</tex> до цели.
}}

Допустимая оценка является оптимистичной, потому что она предполагает, что стоимость решения меньше, чем оно есть на самом деле. 
Второе, более сильное условие {{---}} функция <tex>h(v)</tex> должна быть '''монотонной'''.

{{Определение
|definition=Эвристическая функция <tex>h(v)</tex> называется '''монотонной''' (или '''преемственной'''), если для любой вершины <tex>v_1</tex> и ее потомка <tex>v_2</tex> разность <tex>h(v_1)</tex> и <tex>h(v_2)</tex> не превышает фактического веса ребра <tex>c(v_1, v_2)</tex> от <tex>v_1</tex> до <tex>v_2</tex>, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.
}}

{{Теорема
|statement=Любая монотонная эвристика допустима, однако обратное неверно.
|proof=Пусть <tex>k(v)</tex> {{---}} длина кратчайшего пути из вершины <tex>v</tex> до цели.
Докажем индукцией по числу шагов до цели, что <tex>h(v) \leqslant k(v)</tex>. 
Если до цели расстояние <tex>0</tex>, то <tex>v</tex> {{---}} цель и <tex>h(v) = 0 \leqslant k(v)</tex>. 
Пусть <tex>v</tex> находится на расстоянии <tex>i</tex> от цели. Тогда существует потомок <tex>v'</tex>, который находится на кратчайшем пути от <tex>v</tex> до цели и <tex>v'</tex>лежит на расстоянии <tex>i - 1</tex> шагов до цели. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + h(v')</tex>. 
По предположению, <tex>h(v') \leqslant k(v')</tex>. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + k(v') = k(v)</tex>. Таким образом, монотонная эвристика <tex>h(v)</tex> допустима.
}}

{{Утверждение
|statement=Если <tex>h(v)</tex> монотонна, то последовательность значений <tex>f(v)</tex> на любом пути неубывает.
|proof=Доказательство следует из определения монотонности. 
Пусть <tex>v'</tex> {{---}} потомок <tex>v</tex>, тогда <tex>g(v') = g(v) + c(v, v')</tex>. Следовательно, <tex>f(v') = g(v') + h(v') = g(v) + c(v, v') + h(v') \geqslant g(v) + h(v) = f(v)</tex>.
}}

{{Утверждение
|statement=Алгоритм A* является оптимальным, если функция <tex>h(v)</tex> монотонна.
|proof=Последовательность вершин "развёрнутых" во время работы алгоритма находится в неубывающем порядке значений <tex>f</tex>. Поэтому очередная выбираемая вершина должна представлять собой оптимальное решение, поскольку все дальнейшие узлы будут, по меньшей мере, столь же дорогостоящими.
}}

==Примеры эвристик==
Поведение алгоритма сильно зависит от того, какая эвристика используется. В свою очередь, выбор эвристики зависит[[Файл:Diagonal.png|thumb|right|Пример А* на сетке с возможностью ходить в восьми напрвлениях]] от постановки задачи. Часто А* используется для моделирования перемещения по поверхности, покрытой координатной сеткой.

* Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance Wikipedia {{---}} Manhattan distance]</ref> <tex>h(v) = |{v.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|</tex>.

* Расстояние Чебышева<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Чебышева Википедия {{---}} Расстояние Чебышева]</ref> применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: <tex>h(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}</tex>.

* Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: <tex>h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}</tex>.

Также стоит обратить внимание на то как соотносятся <tex>f(v)</tex> и <tex>h(v)</tex>. Если они измеряются в разных величинах (например, <tex>g(v)</tex> {{---}} это расстояние в километрах, а <tex>h(v)</tex> {{---}} оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат.

==Реализация==
В приведённой реализации:
* <tex>Q</tex> {{---}} множество вершин, которые требуется рассмотреть,
* <tex>U</tex> {{---}} множество рассмотренных вершин,
* <tex>f[x]</tex> {{---}} значение эвристической функции "расстояние + стоимость" для вершины <tex>x</tex>,
* <tex>g[x]</tex> {{---}} стоимость пути от начальной вершины до <tex>x</tex>,
* <tex>h(x)</tex> {{---}} эвристическая оценка расстояния от вершины <tex>x</tex> до конечной вершины.
На каждом этапе работы алгоритма из множества <tex>Q</tex> выбирается вершина с наименьшим значением эвристической функции и просматриваются её соседи. Для каждого из соседей обновляется расстояние, значение эвристической функции и он добавляется в множество <tex>Q</tex>. 
Псевдокод:
'''bool''' A*(start, goal)''':'''
U = <tex> \varnothing </tex>
Q = <tex> \varnothing </tex>
Q.push(start)
g[start] = 0
f[start] = g[start] + h(start)
'''while''' Q.size() != 0
current = вершина из <tex>Q</tex> с минимальным значением <tex>f</tex>
'''if''' current == goal
'''return''' ''true'' // нашли путь до нужной вершины
Q.remove(current)
U.push(current)
'''for''' v : смежные с current вершины
tentativeScore = g[current] + d(current, v) // d(current, v) {{---}} стоимость пути между current и v
'''if''' <tex>v \in U</tex> '''and''' tentativeScore >= g[v]
'''continue'''
'''if''' <tex>v \notin U</tex> '''or''' tentativeScore < g[v]
parent[v] = current
g[v] = tentativeScore
f[v] = g[v] + h(v)
'''if''' <tex>v \notin Q</tex>
Q.push(v)
'''return''' ''false''

==См. также==
* [[Эвристики для поиска кратчайших путей]]
* [[Алгоритм Флойда]]
* [[Алгоритм Дейкстры]]
* [[Алгоритм Форда-Беллмана]]

==Примечания==
<references/>

==Источники информации==
* С. Рассел, П. Норвиг {{---}} Искусственный интеллект. Современный подход, 2е издание
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_поиска_A* Википедия {{---}} Алгоритм поиска A*]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm Wikipedia {{---}} A* search algorithm]
* [http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей]
* [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Generalized best-first search strategies and the optimality of A*]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм A*