Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритмы на деревьях

2017-06-08T13:09:56Z

Acherepkov: /* Определения */

__TOC__

== Диаметр дерева ==
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.
}}

Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.

=== Алгоритм ===
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, i)</tex>

* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i
'''return''' d[w]

=== Обоснование корректности ===
Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}

После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.

{{Теорема
|statement=
В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
|proof=
Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:
Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
}}

Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.

=== Оценка времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.

== Центр дерева ==
=== Определения ===
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]

=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.

==== Алгоритм для дерева за O(n) ====

{{Теорема
|statement=
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
|proof=
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
}}

Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.

* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.
* Обрежем помеченные вершины.
* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.
* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.

Оставшиеся листья являются центром дерева.

Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.

== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Алгоритмы на деревьях

2017-06-08T13:05:29Z

Acherepkov: /* Алгоритм */

__TOC__

== Диаметр дерева ==
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.
}}

Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.

=== Алгоритм ===
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, i)</tex>

* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i
'''return''' d[w]

=== Обоснование корректности ===
Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}

После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.

{{Теорема
|statement=
В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
|proof=
Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:
Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
}}

Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.

=== Оценка времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.

== Центр дерева ==
=== Определения ===
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]

=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.

==== Алгоритм для дерева за O(n) ====

{{Теорема
|statement=
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
|proof=
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
}}

Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.

* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.
* Обрежем помеченные вершины.
* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.
* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.

Оставшиеся листья являются центром дерева.

Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.

== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]