Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения

2018-03-13T16:06:46Z

Andreikkaa: Неправильная обработка вершины-корня дерева dfs

{{Задача
|definition=Дан [[Отношение связности, компоненты связности|связный]] [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex> G </tex>. Найти все [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точки сочленения]] в <tex> G </tex> за время <tex> O(|V| + |E|).</tex>
}}

== Алгоритм ==

=== Описание алгоритма ===
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из произвольной вершины графа; обозначим её через <tex>root</tex>. Заметим следующий факт:

* Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <tex>v</tex>. Тогда, если текущее ребро (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) таково, что из вершины <tex>to</tex> и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину <tex>v</tex> или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из <tex>v</tex> в <tex>to</tex>, кроме как спуск по ребру (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) дерева обхода в глубину.)

Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.

[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left| Красным цветом обозначены точки сочленения Синим — ребра по которым идет DFS]]
Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.

Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>.

Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.

 

=== Псевдокод ===

'''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе 
visited = array[n, ''false'']

'''function''' dfs(v: '''int''', p: '''int'''):
time = time + 1
up[v] = tin[v] = time
visited[v] = ''true''
count = 0
'''for''' u: (v, u) '''in''' G
'''if''' u == p
'''continue'''
'''if''' visited[u]
up[v] = min(up[v], tin[u])
'''else'''
dfs(u, v)
count = count + 1
up[v] = min(up[v], up[u])
'''if''' p != -1 '''and''' up[u] >= tin[v]
v — cutpoint
'''if''' p == -1 '''and''' count >= 2
v — cutpoint

'''for''' i = 1 '''to''' n
'''if''' '''not''' visited[i]
dfs(i, -1)

=== Доказательство корректности ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T</tex> — дерево [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], <tex>root</tex> — корень <tex>T</tex>.
* Вершина <tex>u \ne root</tex> — точка сочленения <tex>\Leftrightarrow \exists v \in T</tex> — сын <tex>u</tex> : из <tex>v</tex> или любого потомка вершины <tex>v</tex> нет обратного ребра в предка вершины <tex>u</tex>.
* <tex>root</tex> — точка сочленения <tex>\Leftrightarrow root</tex> имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
|proof=
[[Файл:Joint_point_1.png|48px |thumb|‎ | Рисунок к <tex>\Leftarrow</tex>]]
<tex>\Leftarrow</tex>

#Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что не существует пути из <tex>v</tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> — предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> — предпоследняя вершина на этом пути, <tex>w</tex> — потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> — не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> — обратное ребро, что противоречит условию.
#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> — точка сочленения.

<tex>\Rightarrow</tex>
#Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G' \Rightarrow G \backslash u</tex> — связный <tex>\Rightarrow u</tex> — не точка сочленения.
#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения.
}}

 

=== Асимптотика ===
Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>. Такое же, как у [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].

== См. также ==
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
* [[Обход в глубину, цвета вершин]]
* [[Обход в ширину]]

== Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-1068-2
* [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints MAXimal :: algo :: Поиск точек сочленения]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения