Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T18:57:05Z

ArtemZholus:

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последний ненулевой член этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический.

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]
* [[Основная_теорема_арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wikipedia {{---}} Greatest common divisor]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm Wikipedia {{---}} Binary GCD Algorithm]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T17:56:51Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последний ненулевой член этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический.

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]
* [[Основная_теорема_арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wikipedia {{---}} Greatest common divisor]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm Wikipedia {{---}} Binary GCD Algorithm]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T17:56:13Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический.

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]
* [[Основная_теорема_арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wikipedia {{---}} Greatest common divisor]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm Wikipedia {{---}} Binary GCD Algorithm]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:49:47Z

ArtemZholus: /* См. также */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]
* [[Основная_теорема_арифметики | Основная теорема арифметики]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wikipedia {{---}} Greatest common divisor]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm Wikipedia {{---}} Binary GCD Algorithm]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:47:06Z

ArtemZholus: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wikipedia {{---}} Greatest common divisor]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm Wikipedia {{---}} Binary GCD Algorithm]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:44:01Z

ArtemZholus: /* См. также */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==
* [[Разложение_на_множители_(факторизация) | Разложение на множители]]
* [[Простые_числа | Простые числа]]

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:41:58Z

ArtemZholus:

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.
== См. также==

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]
==Источники информации==

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:39:19Z

ArtemZholus: /* Расширенный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T01:38:26Z

ArtemZholus: /* Расширенный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===
В стандартном алгоритме, мы использовали следующее свойство: <tex>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)</tex>. Воспользуемся им для того, чтобы решить следующую задачу: найти <tex>x</tex> и <tex>y</tex> такие, что <tex>ax + by = \gcd(a, b)</tex>. Пусть мы нашли пару <tex>x_1, y_1: \: bx_1 + (a \bmod b)y_1 = \gcd(a, b)</tex>.
Очевидно, что <tex>a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b</tex>. Получаем: <tex>bx_1 + (a \bmod b)y_1 = b x_1 + \left(a - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor b\right)y_1 =
b\left(x_1 - \lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\right) + a y_1</tex>. Следовательно, приходим к расширенному алгоритму Евклида:
// Алгоритм возвращает тройку <tex>\gcd, x, y</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{extendedGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} == 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}, 0, 1</tex>
<tex>\mathtt{gcd, x_1, y_1} \leftarrow \mathtt{extendedGcd(b, a} \bmod \mathtt{b)} </tex>
<tex>\mathtt{x} \leftarrow \mathtt{y_1}</tex>
<tex>\mathtt{y} \leftarrow \mathtt{x_1} - (\mathtt{a} \text{ div } \mathtt{b}) \cdot \mathtt{y_1}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd, x, y}</tex>
Такое представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с диофантовыми уравнениями ====

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:51:43Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается третий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с диофантовыми уравнениями ====
==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:50:12Z

ArtemZholus: /* Расширенный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается ретий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с диофантовыми уравнениями ====
==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:48:36Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается ретий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

Можно показать<ref>http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/rpb183pr.pdf Twenty years' analysis of the Binary Euclidean Algorithm</ref>, что этот алгоритм, в среднем на 60% более эффективен, чем классический. Но, к сожалению, в худшем случае он работает за <tex>O(\log^2\min(a, b))</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:42:17Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается ретий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД(это следует из утверждений [[#l3 | о НОДе четных и нечетных]] и [[#l2 | о НОДе нуля]]).

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:40:34Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается ретий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

Корректность данного алгоритма следует из того, что он на каждом шаге делает эквивалентные преобразования НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:37:31Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|id=l3
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):
'''function''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b)}:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{b}</tex> '''or''' <tex>\mathtt{b}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{a}</tex> == <tex>\mathtt{0}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{b}</tex>
// первые два случая
'''if''' <tex>\mathtt{a} \bmod 2 = 0:</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b\: /\: 2)} \cdot 2</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a\: /\: 2, b)}</tex>
// второй случай, только <tex>a</tex> и <tex>b</tex> поменяли местами
'''if''' <tex>\mathtt{b} \bmod 2 = 0:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd(a, b\: /\: 2)}</tex>
// остается ретий случай. На самом деле, мы можем оставлять справа и <tex>a</tex>, и <tex>b</tex>
// поэтому давайте всегда оставлять меньшее
'''if''' <tex>\mathtt{a} > \mathtt{b}:</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((a - b)\: /\: 2, b)}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{binaryGcd((b - a)\: /\: 2, a)}</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:14:17Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
* <tex>\gcd(2a + 1, 2b + 1) = \gcd(\left|a - b\right|, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида (ниже будет дана рекурсивная реализация, для лучшей читаемости):

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-31T00:03:27Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}
Пользуясь этим, и утверждением [[#l2 | о НОДе нуля]], определим двоичный алгоритм Евклида:

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:57:20Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|id=l2
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:55:51Z

ArtemZholus: /* Двоичный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.
===Двоичный алгоритм Евклида===
Идея улучшения: давайте вместо долгого деления ограничимся вычитаниями и битовыми сдвигами.

Для начала, опишем еще несколько свойств <tex>gcd</tex>:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа, тогда
* <tex>\gcd(2a, 2b) = 2\cdot\gcd(a, b)</tex>
* <tex>\gcd(2a, 2b + 1) = \gcd(a, 2b + 1)</tex>
|proof=
Тривиальным образом следует из определения
}}

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:33:45Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.
===Двоичный алгоритм Евклида===

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:33:09Z

ArtemZholus: /* Алгоритм Вычисления */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>
Мы получили очень простой алгоритм, который считает НОД за логарифмическое время. However, we can do better.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:29:58Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \min (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:28:25Z

ArtemZholus: /* Наивный алгоритм */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает пересечение двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:27:49Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает слияние двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Таким образом, реализация стандартного алгоритма Евклида, достаточно проста:
'''function''' <tex>\mathtt{euclideanGcd}(\mathtt{a, b}):</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{b} \neq 0:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{b} \leftarrow \mathtt{a} \bmod \mathtt{b}</tex>
<tex>\mathtt{a} \leftarrow \mathtt{t}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{a}</tex>

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:14:35Z

ArtemZholus:

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

==Свойства НОД==

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

===Связь с наименьшим общим кратным===

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает слияние двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:09:25Z

ArtemZholus: /* Наивный алгоритм */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает слияние двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>. Асимптотика равна минимуму из длин массивов <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T23:07:36Z

ArtemZholus: /* Наивный алгоритм */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{t} \leftarrow \min(\alpha_i, \beta_j)</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\mathtt{t}}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

Корректность алгоритма следует из того, что он по сути просто делает слияние двух упорядоченных массивов (<tex>p</tex> и <tex>q</tex>), только результат записывает не в массив, а агрегирует в переменной <tex>\gcd</tex>

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T22:57:15Z

ArtemZholus: /* Наивный алгоритм */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

В наивном методе, мы считаем, что нам известны разложения чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на простые множители.
// <tex>p</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>q</tex> {{---}} множество простых чисел в разложении <tex>b</tex>
// <tex>\alpha</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>a</tex>
// <tex>\beta</tex> {{---}} степени простых чисел в разложении <tex>b</tex>
'''function''' <tex>\mathtt{naiveGcd}(p, q, \alpha, \beta):</tex>
<tex>\mathtt{gcd} \leftarrow 1</tex>
<tex>\mathtt{i, j} \leftarrow 0, 0</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{i} < p\mathtt{.length()}</tex> '''and''' <tex>\mathtt{j} < q\mathtt{.length()}:</tex>
'''if''' <tex>p_i</tex> == <tex> q_j:</tex>
<tex>\mathtt{gcd} = \mathtt{gcd} \cdot p_i^{\alpha_i}</tex>
'''else if''' <tex>p_i < q_j:</tex>
<tex>\mathtt{i} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''else''':
<tex>\mathtt{j} \mathrel{+}\mathrel{\mkern-2mu}= 1</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{gcd}</tex>

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T22:31:16Z

ArtemZholus: /* Определение */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Разложим <tex>a</tex> и <tex>b</tex> на множители: пусть <tex dpi="140">a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\alpha_k}, \:
b = q_1^{\beta_1} \cdot q_2^{\beta_2} \cdot \dotso \cdot q_k^{\beta_k}</tex>, где <tex>p_j, q_j</tex> {{---}} простые, а <tex>\alpha_j, \beta_j</tex> {{---}} натуральные
(такие разложения существуют, по [[Основная_теорема_арифметики | основной теореме арифметики]]). Без ограничения общности, можно считать, что <tex>p_j = q_j, k = n</tex> (если это не так, сделаем соответствующие <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> равными нулю).
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>. Значит, такого <tex>q</tex> не существует.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T22:11:44Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

===Стандартный алгоритм Евклида===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда <tex>\gcd(a, b) = r_n</tex> {{---}} последнему ненулевому члену этой последовательности.
}}
'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T22:05:51Z

ArtemZholus:

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

== Примечания==
<references />
[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T22:04:21Z

ArtemZholus: /* Стандартный алгоритм Евклида */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}
Далее, оценим асимптотику работы алгоритма.
{{Теорема
|statement=
Алгоритм Евклида работает за <tex>O(\log \max (a, b))</tex>
}}
Доказательство этого факта<ref>[http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html Wolfram MathWorld {{---}} алгоритм Евклида]</ref> достаточно громоздкое, поэтому не будем приводить его здесь.

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T21:35:49Z

ArtemZholus: /* Алгоритм Евклида */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Вычисления==

===Наивный алгоритм===

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T17:06:37Z

ArtemZholus: /* Связь с наименьшим общим кратным */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем нашу лемму.
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T17:05:17Z

ArtemZholus: /* Определение */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необходимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем наше утверждение
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T17:04:19Z

ArtemZholus: /* Связь с наименьшим общим кратным */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необхолимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> на <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем наше утверждение
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T17:03:42Z

ArtemZholus: /* Определение */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольшее натуральное <tex>d</tex>, такое что <tex>a</tex> делится на <tex>d</tex> и <tex>b</tex> делится на <tex>d</tex>. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необхолимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем наше утверждение
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T16:59:23Z

ArtemZholus:

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольший из их общих делителей. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

Существует определение НОД через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:

{{Утверждение
|id=l001
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\gcd(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex>a</tex> и на <tex>b</tex> делятся на <tex dpi="140">p = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} </tex>. Проверим его максимальность.
Пусть существует <tex>q > p</tex>, такое что <tex>a</tex> и <tex>b</tex> делятся на <tex>q</tex>. Тогда оно необхолимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \min(\alpha_j, \beta_j) < \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j > \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j > \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> не окажется делителем <tex>a</tex>, а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через [[Разложение_на_множители_(факторизация) | разложение числа на простые множители]]:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Доказательство полностью аналогично доказательству [[#l001 | утверждения о НОД]], с той лишь разницей, что мы заменяем <tex>\min</tex> <tex>\max</tex>, а знаки неравенств {{---}} на противоположные.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем наше утверждение
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T15:57:12Z

ArtemZholus: /* Связь с наименьшим общим кратным */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольший из их общих делителей. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==

{{Определение
|definition=
'''Наименьшим общим кратным''' (англ. <tex>\text{lcm}</tex> {{---}} ''least common multiple'') для двух чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex> называется наименьшее натуральное число, которое делится на <tex>a</tex> и <tex>b</tex> без остатка. Более формально
<tex>\text{lcm}(a, b) = \min \left\{ d \mid d \equiv 0 \left( \bmod a\right), d \equiv 0 \left( \bmod b\right) \right\}</tex>
}}
Существует представление НОК через разложение числа на простые множители:
{{Утверждение
|id=l002
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - натуральные числа. Тогда <tex dpi="140">\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}</tex>
|proof=
Очевидно, что в таком случае <tex dpi="140">p = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \dotso \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)} </tex> делится на <tex>a</tex> и на <tex>b</tex>. Проверим его минимальность.
Пусть существует <tex>q < p</tex> {{---}} кратное <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Тогда оно необхолимо будет раскладываться на те же простые множители, что и <tex>p</tex>.
Пусть <tex dpi="140">q = p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2} \cdot \dotso \cdot p_k^{\gamma_k} </tex>. Значит, существует <tex>j \leqslant k : \max(\alpha_j, \beta_j) > \gamma_j</tex>. Из этого следует, что либо <tex>\gamma_j < \alpha_j</tex>, либо <tex>\gamma_j < \beta_j</tex>. Но в первом случае, <tex>q</tex> окажется некратным <tex>a</tex>,
а во втором {{---}} <tex>b</tex>.
}}

Наибольший общий делитель связан с наименьшим общим кратным следующим равенством:

{{Лемма
|id=l01
|statement=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} целые числа. Тогда <tex>\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b</tex>.
|proof=
По [[#l001 | утверждению о НОД]] и [[#l002 | утверждению о НОК]], пользуясь тем, что <tex>\max(\alpha, \beta) + \min(\alpha, \beta) = \alpha + \beta</tex>, получаем наше утверждение
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T13:30:45Z

ArtemZholus: /* Определение */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольшим общим делителем''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольший из их общих делителей. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==
==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T13:27:15Z

ArtemZholus: /* Алгоритм Евклида */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольший из их общих делителей. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

==Связь с наименьшим общим кратным==
==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]

Наибольший общий делитель

2017-01-30T13:25:31Z

ArtemZholus: /* Наибольший общий делитель как максимальное число, делящее два данных числа */

==Определение==

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' (англ. <tex>\gcd</tex> {{---}} ''greatest common divisor'') для двух целых чисел <tex>m</tex> и <tex>n</tex> называется наибольший из их общих делителей. Более формально,
<tex>\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}</tex>
}}

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел <tex>m</tex> или <tex>n</tex> не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

{{Определение
|definition=
'''Наибольший общий делитель''' для целочисленного множества <tex>A</tex> определяется как
<tex>\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}</tex>
}}

==Алгоритм Евклида==

===Стандартный алгоритм Евклида===

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
: <tex> a,\, b,\,r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n</tex>
определена тем, что каждое <tex>r_k</tex> — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
: <tex>a = bq_0 + r_1</tex>
: <tex>b = r_1q_1 + r_2</tex>
: <tex>r_1 = r_2q_2 + r_3</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>r_{n-1} = r_n q_n</tex>

Тогда НОД(''a'',''b''), наибольший общий делитель <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, равен
<tex>r_n</tex>, последнему ненулевому члену этой последовательности.

'''Существование''' таких <tex>r_1, r_2, ...</tex>, то есть возможность деления с остатком <tex>m</tex> на <tex>n</tex> для любого целого <tex>m</tex> и целого <tex>n\ne 0</tex>, доказывается индукцией по ''m''.

'''Корректность''' этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
{{Лемма
|id=l1
|statement=Пусть <tex>a = bq + r</tex>, тогда <tex>\gcd (a,b) = \gcd (b,r).</tex>
|proof=Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда <tex> a = t_1 k </tex> ; <tex> b = t_2 k; </tex> где <tex> t_1 </tex> и <tex> t_2 </tex> — целые числа из определения.
# Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а <tex>r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k </tex> (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
# Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
# Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
# В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.
}}
{{Лемма
|statement=<tex>\gcd (0,r) = r</tex> для любого ненулевого <tex>r.</tex>
}}

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex> и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

===Расширенный алгоритм Евклида===

Формулы для <tex>r_i</tex> могут быть переписаны следующим образом:

: <tex>r_1 = a + b(-q_0)</tex>
: <tex>r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)</tex>
: <tex>\cdots</tex>
: <tex>\gcd (a,b) = r_n = as + bt</tex>
здесь ''s'' и ''t'' целые. Это представление наибольшего общего делителя называется '''соотношением Безу''', а числа ''s'' и ''t'' — '''коэффициентами Безу'''. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

==== Связь с цепными дробями ====

Отношение <tex>a/b</tex> допускает представление в виде цепной дроби:
: <tex>\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]</tex>.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу <tex>t/s</tex>, взятому со знаком минус:
: <tex>[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts</tex>.

[[Категория: Классы чисел]]