Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Обсуждение:Подсчет деревьев

2020-06-24T10:27:03Z

Egor Ba:

{{Утверждение
|statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> вершинами, у которых номер предка меньше номера вершины, есть <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex>. 
|proof =
База утверждения <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex> 
Рассмотрим каждое слагаемое в данной формуле <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex> : 
1) <tex>k\cdot P_{m-1,k}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любому из <tex>k</tex> листьев. Тогда количество листьев не изменится, а количество вершин увеличится на одну. 
2) <tex>(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любой вершине, не являющийся листом. Таких вершин <tex>(m-k)</tex>. Тогда количество листьев и количество вершин увеличится на один. 
Так как мы рассмотрели все возможные варианты присоединения новой вершины, то данная формула <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> верна. 
}}
Комбинаторное представление можно записать так : <tex>P_{m} = z\times P_{m-1}</tex> , где <tex>P_{i}</tex> - количество деревьев с <tex>i</tex> вершинами, причем <tex>P_{0} = \varepsilon</tex>. 
Пример 
[[Файл:0List.png|100px]] <tex>m=1</tex> [[Файл:1List.png|100px]] <tex>m=2</tex> [[Файл:2List.png|400px]] <tex>m=3</tex> [[Файл:3List.png|600px]] <tex>m=4</tex> 
Вершина <tex>1</tex> является корнем. 
<tex>P_{1,0} = 1</tex> 
<tex>P_{2,1} = 1\cdot P_{1,1}+(2-1)\cdot P_{1,0} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} = 1\cdot P_{2,1}+(3-1))\cdot P_{2,0} = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,2} = 2\cdot P_{2,2}+(3-2))\cdot P_{2,1} = 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} + P_{3,2} = 2</tex> 
<tex>P_{4,1} = 1\cdot P_{3,1}+(4-1))\cdot P_{3,0} = 1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,2} = 2\cdot P_{3,2}+(4-2))\cdot P_{3,1} = 2\cdot 1 + 2\cdot 1 = 4 </tex> 
<tex>P_{4,3} = 3\cdot P_{3,3}+(4-3))\cdot P_{3,2} = 3\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,1} + P_{4,2} + P_{4,3}= 6</tex>

Обсуждение:Подсчет деревьев

2020-06-21T18:37:29Z

Egor Ba:

{{Утверждение
|statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> вершинами есть <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex>. 
Причем номер предка всегда меньше номера вершины. 
'''не очень понятно. это ограничение или тебе так удобнее считать? базу утверждения лучше вынести в другое место'''
'''Базу вынес. То что номер предка всегда меньше номера вершины - это ограничение.'''
|proof =
База утверждения <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex> 
Рассмотрим каждое слагаемое в данной формуле <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex> : 
1) <tex>k\cdot P_{m-1,k}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любому из <tex>k</tex> листьев. Тогда количество листьев не изменится, а количество вершин увеличится на одну. 
2) <tex>(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любой вершине, не являющийся листом. Таких вершин <tex>(m-k)</tex>. Тогда количество листьев и количество вершин увеличится на один. 
Так как мы рассмотрели все возможные варианты присоединения новой вершины, то данная формула <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> верна. 
}}

'''то есть получается, что это просто реккурента? А нет более интересных результатов, типа комбинаторного представления\производящей функции?''' 
'''Да, это реккурента, но по ней же можно посчитать количество таких объектов.''' 
'''Комбинаторное представление можно так записать : <tex>P_{m} = z\times P_{m-1}</tex> , где <tex>P_{i}</tex> - количество деревьев с <tex>i</tex> вершинами, причем <tex>P_{0} = \varepsilon</tex>.''' 
'''А вот ПФ с двумя переменными не знаю как вывести.''' 
Пример 
[[Файл:0List.png|100px]] <tex>m=1</tex> [[Файл:1List.png|100px]] <tex>m=2</tex> [[Файл:2List.png|400px]] <tex>m=3</tex> [[Файл:3List.png|600px]] <tex>m=4</tex> 
Вершина <tex>1</tex> является корнем. 
<tex>P_{1,0} = 1</tex> 
<tex>P_{2,1} = 1\cdot P_{1,1}+(2-1)\cdot P_{1,0} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} = 1\cdot P_{2,1}+(3-1))\cdot P_{2,0} = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,2} = 2\cdot P_{2,2}+(3-2))\cdot P_{2,1} = 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} + P_{3,2} = 2</tex> 
<tex>P_{4,1} = 1\cdot P_{3,1}+(4-1))\cdot P_{3,0} = 1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,2} = 2\cdot P_{3,2}+(4-2))\cdot P_{3,1} = 2\cdot 1 + 2\cdot 1 = 4 </tex> 
<tex>P_{4,3} = 3\cdot P_{3,3}+(4-3))\cdot P_{3,2} = 3\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,1} + P_{4,2} + P_{4,3}= 6</tex>

Обсуждение:Подсчет деревьев

2020-06-18T15:15:29Z

Egor Ba: Новая страница: «{{Утверждение |statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> верши…»

{{Утверждение
|statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> вершинами есть <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex>. 
Причем номер предка всегда меньше номера вершины. <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex> 
|proof =
Рассмотрим каждое слагаемое в данной формуле: 
1) <tex>k\cdot P_{m-1,k}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любому из <tex>k</tex> листьев. Тогда количество листьев не изменится, а количество вершин увеличится на одну. 
2) <tex>(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любой вершине, не являющийся листом. Таких вершин <tex>(m-k)</tex>. Тогда количество листьев и количество вершин увеличится на один. 
Так как мы рассмотрели все возможные варианты присоединения новой вершины, то данная формула <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> верна. 
}}
Пример 
[[Файл:0List.png|100px]] <tex>m=1</tex> [[Файл:1List.png|100px]] <tex>m=2</tex> [[Файл:2List.png|400px]] <tex>m=3</tex> [[Файл:3List.png|600px]] <tex>m=4</tex> 
Вершина <tex>1</tex> является корнем. 
<tex>P_{1,0} = 1</tex> 
<tex>P_{2,1} = 1\cdot P_{1,1}+(2-1)\cdot P_{1,0} = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} = 1\cdot P_{2,1}+(3-1))\cdot P_{2,0} = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,2} = 2\cdot P_{2,2}+(3-2))\cdot P_{2,1} = 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{3,1} + P_{3,2} = 2</tex> 
<tex>P_{4,1} = 1\cdot P_{3,1}+(4-1))\cdot P_{3,0} = 1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,2} = 2\cdot P_{3,2}+(4-2))\cdot P_{3,1} = 2\cdot 1 + 2\cdot 1 = 4 </tex> 
<tex>P_{4,3} = 3\cdot P_{3,3}+(4-3))\cdot P_{3,2} = 3\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 </tex> 
<tex>P_{4,1} + P_{4,2} + P_{4,3}= 6</tex>

Файл:3List.png

2020-06-18T12:30:27Z

Egor Ba: Egor Ba загрузил новую версию Файл:3List.png

Three Lists

Файл:3List.png

2020-06-18T12:30:02Z

Egor Ba: Egor Ba загрузил новую версию Файл:3List.png

Three Lists

Файл:3List.png

2020-06-18T12:25:58Z

Egor Ba: Three Lists

Three Lists

Файл:2List.png

2020-06-18T12:25:39Z

Egor Ba: Two Lists

Two Lists

Файл:1List.png

2020-06-18T12:24:32Z

Egor Ba: One List

One List

Файл:0List.png

2020-06-18T12:21:28Z

Egor Ba: Zero list

Zero list