Сортировка кучей

2014-06-15T14:00:14Z

Ftk: немного изменено описание, добавлена анимация с примером

'''Сортировка кучей''', '''пирамидальная сортировка''' (англ. '''Heapsort''') {{---}} алгоритм сортировки, использующий структуру данных [[Двоичная куча|двоичная куча]]. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы <tex>O(n\log{n})</tex> , где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки, и использующий <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.

== Алгоритм ==
Необходимо отсортировать массив <tex>A</tex>, размером <tex>n</tex>. Построим на базе этого массива за <tex>O(n)</tex> невозрастающую кучу. Так как по свойству кучи максимальный элемент находится в корне, то, поменявшись его местами с <tex>A[n - 1]</tex>, он встанет на свое место. Далее вызовем процедуру <tex>sift\_down(0)</tex>, предварительно уменьшив <tex>heap\_size</tex> на <tex>1</tex>. Она за <tex>O(\log{n})</tex> просеет <tex>A[0]</tex> на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили ее размер, то куча располагается с <tex>A[0]</tex> по <tex>A[n - 2]</tex>, а элемент <tex>A[n-1]</tex> находится на своем месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с <tex>A[n - 1]</tex>, а с <tex>A[n-2]</tex>. Делая аналогичные действия, пока <tex>heap\_size</tex> не станет равен <tex>1</tex>, мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.

== Реализация ==
<tex>A</tex> {{---}} массив, который необходимо отсортировать; <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в нем; <tex>build\_heap(A)</tex> - процедура, которая строит из передаваемого массива невозрастающую кучу в этом же массиве; <tex>sift\_down(A, i, len)</tex> {{---}} процедура, которая просеивает вниз элемент <tex>A[i]</tex> в куче из <tex>len</tex> элементов, находящихся в начале массива <tex>A</tex>.
<pre>
heapsort(A)
build_heap(A);
heap_size = A.size;
for i = 0 to n - 2
swap(A[0], A[n - 1 - i]);
heap_size--;
sift_down(A, 0, heap_size);
</pre>

== Сложность ==
Операция <tex>sift\_down</tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Всего цикл выполняется <tex>(n - 1)</tex> раз. Таким образом сложность сортировки кучей является <tex>O(n\log{n})</tex>.

== Пример ==

{|align="right"
|-valign="top"
|[[Файл:heap1.png|155px|thumb|Строим кучу]]
|[[Файл:heap2.png|155px|thumb|Первый проход]]
|[[Файл:heap3.png|155px|thumb|Строим новую кучу]]
|-
|[[Файл:heap4.png|155px|thumb|Второй проход]]
|[[Файл:heap5.png|155px|thumb|Третий проход]]
|[[Файл:heap6.png|155px|thumb|Четвертый проход]]
|}

Пусть дана последовательность из <tex>5</tex> элементов <tex>3, 2, 4, 1, 5</tex>.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Массив
!style="background-color:#EEE"| Описание шага
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 5 3 4 1 2
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из исходного массива
|-
|colspan=3|''Первый проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 3 4 1 '''5'''
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и последний элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''4''' 3 2 1 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых четырех элементов
|-
|colspan=3|''Второй проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' 3 2 '''4''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и четвертый элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''3''' 1 2 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых трех элементов
|-
|colspan=3|''Третий проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 1 '''3''' 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и третий элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''2''' 1 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из двух элементов
|-
|colspan=3|''Четвертый проход''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' '''2''' 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и второй элементы
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 1 2 3 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Массив отсортирован
|}

= JSort =
'''JSort''' является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (''Jason Morrison'').
Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нем два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо.
Досортировав массив [[Сортировка вставками|сортировкой вставками]], можно получить временную сложность <tex>O(n)</tex> в лучшем случае.

=== Алгоритм ===

Необходимо отсортировать массив.
Построим невозрастающую кучу на этом массиве.
Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи.
Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть неубывающей и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы ее корень соответствовал последнему элементу массива.
Получившийся почти отсортированный массив досортируем сортировкой вставками.

=== Сложность ===

Постройка кучи занимает <tex>O(n)</tex>.
Сортировка вставками может отсортировать массив за <tex>O(n)</tex> в лучшем случае, и за <tex>O(n^2)</tex> в худшем.

Таким образом временная сложность JSort является <tex>O(n^2)</tex>.

=== Пример ===

[[Файл:JSort.gif]]

== Ссылки ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Пирамидальная сортировка - Википедия]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Heapsort - Wikipedia]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/JSort JSort - Wikipedia]
*[http://habrahabr.ru/post/221095/ Описание сортировки кучей и JSort - Хабрахабр]

== Литература ==
*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]

Файл:JSort.gif

2014-06-15T13:56:25Z

Ftk: загружена новая версия «Файл:JSort.gif»: Демонстрация алгоритма сортировки JSort

Демонстрация алгоритма сортировки JSort

Файл:JSort.gif

2014-06-15T13:55:54Z

Ftk: Демонстрация алгоритма сортировки JSort

Демонстрация алгоритма сортировки JSort

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка кучей

Файл:JSort.gif

Файл:JSort.gif