Пересечение матроидов, определение, примеры

2020-01-11T14:41:46Z

Irinagreen: /* Ориентированный лес опечатка */

{{Определение
|definition =
Пусть даны два матроида <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1\rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>.

'''Пересечением матроидов''' (англ. ''matroid intersection'') <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> называется пара <tex>M_1 \cap M_2 = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex>, где <tex>X</tex> {{---}} носитель исходных матроидов, а <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.

}}
* Пересечение матроидов не всегда является матроидом.
* Пересечение трех и более матроидов является [[Примеры NP-полных языков| NP-полной задачей]].

== Разноцветный лес ==

<tex>M_1</tex> {{---}} [[Примеры_матроидов|графовый матроид]], <tex>M_2</tex> {{---}} '''разноцветный матроид''' (англ. ''multicolored matroid'') (Множество независимо, если в нём нет двух ребер одного цвета). Тогда их пересечение {{---}} это '''разноцветный лес''' (англ. ''rainbow forests'').
[[Файл:Rainbow_forest_DY.png|500px|thumb|center|Пересечение матроидов, [[Алгоритм_построения_базы_в_пересечении_матроидов|база]] матроида]]

{{Утверждение
|statement =
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
|proof =
Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} ребра разноцветного леса, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.
Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть <tex>\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| > |B| </tex> и <tex>\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}</tex> (См. пример <tex>1</tex>)
[[Файл:Example2_DY.png|300px|thumb|left|Пример 1]]

}}

== Двудольный граф ==
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные_графы_и_раскраска_в_2_цвета|двудольный граф]] и заданы два матроида <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, где <tex>X</tex> {{---}} множество ребёр графа, <tex>\mathcal{I}_1 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in L \}</tex>, <tex>\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in R \}</tex>. Тогда их пересечение {{---}} это множество всевозможных паросочетаний графа.

{{Утверждение
|statement =
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
|proof =
Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} носитель, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.
Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть <tex>\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| > |B| </tex> и <tex>\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}</tex> (См. пример 2)
[[Файл:Example_DY.png|300px|thumb|left|Пример 2]]
}}

== Ориентированный лес ==
{{Определение
|definition=
'''Ориентированное дерево''' (англ. ''arborescence'') {{---}} ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода <tex>1</tex> (в них ведёт ровно по одной дуге).
}}
Пусть <tex>D = \langle V, X \rangle </tex> {{---}} ориентированнный граф.
Граф <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф, соответствующий графу <tex>D</tex>.
Тогда рассмотрим два матроида <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle, M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, где <tex>X</tex> {{---}} множество ребёр графа.
<tex>M_1</tex> {{---}} [[Примеры_матроидов|графовый матроид]] <tex>G</tex>,
<tex>\mathcal{I}_1 = \{X' \subseteq X: X'</tex> {{---}} лес в <tex>G \}</tex>.
<tex>M_2</tex> {{---}} [[Примеры_матроидов|матроид разбиений]] графа <tex>D</tex>,
<tex>\mathcal{I}_2 = \{X' \subseteq X: |\deg^-(v) \cap X'| \leqslant 1, \forall v \in V \}</tex>.
Пересечение данных матроидов являются множества ориентированных лесов.

{{Утверждение
|statement = Пересечение данных матроидов является матроидом.
|proof =
Рассмотрим матроид пересечения <tex>M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex>, <tex>A</tex> {{---}} множество ребер, <tex>\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>

Проверим выполнение аксиом независимости:

1) <tex>\varnothing \in \mathcal{I}</tex>

Пустое множество является ориентированным деревом, а значит входит в <tex>\mathcal{I}</tex>.

2) <tex>A \subset B, \ B \in \mathcal{I} \Rightarrow A \in \mathcal{I}</tex>
Любой подграф ориентированного леса также является ориентированным лесом, так как во-первых, степень захода каждой вершины в подграфе могла только уменьшится, во-вторых, подграф ацикличного графа {{---}} ацикличен.

3) <tex>A \in \mathcal{I}, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists \, x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in \mathcal{I}</tex>

Пусть количество вершин в множестве <tex>A</tex> равно <tex>k</tex>.
Тогда количество ребер в <tex>A</tex> равно <tex>k - 1</tex>.
Так как <tex>|B| > |A|</tex>, следовательно количество ребер в множестве <tex>B</tex> не меньше <tex>k</tex>.
Пусть все ребра из множества <tex>B</tex> ведут в вершины множества <tex>A</tex>, значит в каждую вершину множества <tex>A</tex> входит по одному ребру множества <tex>B</tex>.
Тогда возьмем то ребро, которое указывает в корень (в вершину с нулевой степенью захода), получим ориентированное дерево с новым корнем.
Пусть не все ребра множества <tex>B</tex> указывают в вершины множества <tex>A</tex>, тогда возьмем то ребро <tex>uv</tex>, которое указывает в вершину не принадлежащую <tex>A</tex>. Покажем, что оно нам подойдет.
Если <tex>u \in V(A)</tex>, тогда наше текущее ориентированное дерево пополнится еще одной вершиной и ведущем к ней ребру.
Если <tex>u \notin V(A)</tex>, то мы получим еще одно ориентированное дерево.
Таким образом, мы нашли ребро в множестве <tex>B \setminus A</tex>, которое можем добавить в множество <tex>A</tex> с сохранением независимости.

}}

== См. также==
* [[Примеры матроидов]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]
* [[Алгоритм построения базы в объединении матроидов]]

==Источники информации ==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
* [http://www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/matroid-intersect-notes.pdf Lecture notes on matroid intersection]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Пересечение матроидов, определение, примеры