http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=IvanKozhevnikov 2026-06-16T21:05:19Z Вклад участника MediaWiki 1.30.0 http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&diff=17996 2012-02-05T17:09:50Z

<p>IvanKozhevnikov: Новая страница: «== Формулировка == Пусть треугольник задан двумя векторам &lt;tex&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;\overrightarrow{AC}&lt;/t...»</p> <hr /> <div>== Формулировка ==<br /> Пусть треугольник задан двумя векторам &lt;tex&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;\overrightarrow{AC}&lt;/tex&gt;. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности<br /> == Решение == <br /> [[Файл:Безымянный.GIF|200px|right|]]<br /> Сначала найдем радиус окружности. Площадь треугольника &lt;tex&gt;ABC&lt;/tex&gt; мы можем найти из векторного произведения векторов &lt;tex&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;\overrightarrow{AC}&lt;/tex&gt;. С другой стороны, &lt;tex&gt;S_{ABC} = S_{AOB} + S_{AOC} + S_{BOC}&lt;/tex&gt;. А площадь маленьких треугольников равна половине произведения радиуса окружности на основание. Например, &lt;tex&gt;S_{AOC} = \frac{1}{2} * R * AC&lt;/tex&gt;. Отсюда получаем выражение, из которого можно найти радиус окружности. &lt;tex&gt;R = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}&lt;/tex&gt;<br /> <br /> Теперь будем искать центр окружности. Как известно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Вектор, коллиниарный вектору &lt;tex&gt;\overrightarrow{AO}&lt;/tex&gt;, можно найти следующим образом &lt;tex&gt;\overrightarrow{l} = \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC}&lt;/tex&gt;. Обозначим вектор &lt;tex&gt;\overrightarrow{l_1} = \frac{\overrightarrow{l}}{|\overrightarrow{l}|} &lt;/tex&gt;. Теперь необходимо найти длину вектора &lt;tex&gt;\overrightarrow{AO}&lt;/tex&gt;. &lt;tex&gt; AO = \frac{OH}{sin\frac{\alpha}{2}}&lt;/tex&gt;, где &lt;tex&gt;\alpha = \angle{BAC}&lt;/tex&gt;. По формуле понижения степени &lt;tex&gt; sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}&lt;/tex&gt;. Найти &lt;tex&gt;cos\alpha&lt;/tex&gt; можно из скалярного произведения. &lt;tex&gt;cos\alpha = \frac{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}&lt;/tex&gt;. Заметим, что &lt;tex&gt;OH = R&lt;/tex&gt;, и можем выразить длину &lt;tex&gt;AO = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}\frac{\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}&lt;/tex&gt;. Задача почти решена, осталось только отметить, что &lt;tex&gt;AB = |\overrightarrow{AB}|, AC = |\overrightarrow{AC}|, BC = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|&lt;/tex&gt;, а радиус-вектор точки центра окружности совпадает с радиус-вектором &lt;tex&gt;\overrightarrow{AO} &lt;/tex&gt;, a &lt;tex&gt;\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{l_1} * AO &lt;/tex&gt;</div>

IvanKozhevnikov http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9.GIF&diff=17980 2012-02-05T16:17:52Z

<p>IvanKozhevnikov: Рисунок к задаче о вписанной окружности</p> <hr /> <div>Рисунок к задаче о вписанной окружности</div>

IvanKozhevnikov http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:IvanKozhevnikov&diff=17979 2012-02-05T15:47:05Z

<p>IvanKozhevnikov: Новая страница: «== Формулировка == Пусть треугольник задан двумя векторам &lt;tex&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;\overrightarrow{AC}&lt;/t...»</p> <hr /> <div>== Формулировка ==<br /> Пусть треугольник задан двумя векторам &lt;tex&gt;\overrightarrow{AB}&lt;/tex&gt; и &lt;tex&gt;\overrightarrow{AC}&lt;/tex&gt;.</div>

IvanKozhevnikov