Решение рекуррентных соотношений

2019-12-01T13:27:57Z

Rekek and drop: /*1 пример*/ добавление скобок при умножении на z^n

==Определения==
{{Определение
|definition=
'''Рекуррентная формула''' (англ. ''recurrence relation'') — формула вида <tex>a_n=f(n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-p} ) </tex>, выражающая каждый следующий член последовательности <tex>a_n</tex> через <tex>p</tex> предыдущих членов и номер члена последовательности <tex>n</tex>, вместе с заданными первыми p членами, где <tex>p</tex> — порядок рекуррентного соотношения.
}}
Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет последовательность <tex> \{ a_n \} </tex> мы часто хотим получить выражение для <tex>a_n</tex>. Например, для рекуррентного соотношения, задающего числа Фибоначчи:

<tex>
F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2, \quad n\in Z</tex>

<tex>a_n</tex> член может быть записан следующим образом: <tex>a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( \biggl( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \biggr)^n - \biggl( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \biggr)^n \right).</tex>

Для этого можно использовать метод производящих функций (англ. ''generating function method'').

==Метод производящих функций==
Алгоритм получения выражения для чисел <tex>a_{n}</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из <tex>4</tex> шагов.
#Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>):
#:<tex>a_{0} = …, \\ a_{1} = …, \\ a_{k-1} = …, \\ … \\ a_{n} = …, n\geqslant k</tex>
#Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени (<tex>z^{k} \cdot a_{k} = … \cdot z^{k}</tex>) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где <tex>n \in [k, +\infty)</tex>. В левой части получится сумма <tex>\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n</tex> — это производящая функция, назовем ее <tex>G(z)</tex>. Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее <tex>G(z)</tex>.
#Решить полученное уравнение, получив для <tex>G(z)</tex> выражение в замкнутом виде.
#Разложить <tex>G(z)</tex> в степенной ряд, коэффициент при <tex>z_n</tex> будет искомым выражением для <tex>a_n</tex>.

==Примеры==
===<tex>1</tex> пример===
[[Производящая_функция| Производящие функции]] позволяют решать рекуррентные соотношение механически по одному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы.

Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка <tex>2</tex> с постоянными коэффициентами:
 <tex>\begin{array}{rcl}
a_0&{}={}&0,\\
a_1&{}={}&1,\\
a_n&{}={}&5a_{n-1}-6a_{n-2}, \quad n\geqslant2.\\
\end{array}
</tex> 

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>. В данном случае порядок равен <tex>2</tex>, так как для вычисления <tex>a_n</tex> требуется знать <tex>a_{n-1}</tex> и <tex>a_{n-2}</tex>.

Будем искать производящую функцию последовательности в виде
 <tex>
G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots,
</tex> 

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на <tex>z^0</tex>, следующую — на <tex>z^1</tex> и последнюю — на <tex>z^n</tex>:
 <tex>\begin{array}{rcl}
1\cdot a_0&{}={}&0\cdot 1,\\
z\cdot a_1&{}={}&1\cdot z,\\
z^n\cdot a_n&{}={}&(5a_{n-1}-6a_{n-2})\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\
\end{array}
</tex> 

Теперь сложим все уравнения для всех значений <tex>n</tex>:
 <tex>
\underbrace{a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n}_{G(z)} {=} z+5\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n-6\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n.
</tex> 

Левая часть уравнения в точности равна <tex>G(z)</tex>, а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию <tex>G(z)</tex>, но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду <tex>G(z)</tex>. Начнём с первой:
 <tex>
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n \stackrel{(1)}{=}z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^{n-1} \stackrel{(2)}{=}
z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^n \stackrel{(3)}{=}
z\biggr( \underbrace{ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^n+a_0}_{G(z)} - a_0\biggr)\stackrel{(4)}{=}zG(z).
</tex> 

Равенство <tex>(1)</tex> получатся вынесением <tex>z</tex> в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной <tex>z</tex> и индекс переменной a внутри суммы. Действие <tex>(2)</tex> — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от <tex>n-1</tex>. Равенство <tex>(3)</tex> получается, если прибавить и снова отнять значение <tex>a_0</tex>, чтобы получить полную сумму от <tex>n=0</tex> до <tex>∞</tex>. Равенство <tex>(4)</tex> справедливо в силу того, что <tex>a_0=0</tex>.

Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение
 <tex>
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n = z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^{n-2}
= z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=z^2G(z).
</tex> 

Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:
 <tex>
G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z),
</tex> 

откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:
 <tex>
G(z) = \dfrac{z}{1-5z+6z^2}.
</tex> 

Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>. Итак, разложим знаменатель функции на множители:
 <tex>
G(z) = \dfrac{z}{1-5z+6z^2} = \dfrac{z}{(1-3z)(1-2z)}.
</tex> 

Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:
 <tex>
\dfrac{z}{(1-3z)(1-2z)} = \dfrac{1}{1-3z} - \dfrac{1}{1-2z}.
</tex> 

Вспомним [[Производящая_функция#Приложения | разложение для простейшей рациональной функции]]:
 <tex>
\dfrac{1}{1-z} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots.
</tex> 

Из этого разложения следует, что
 <tex>
\dfrac{1}{1-3z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3z)^n \quad\mbox{ и }\quad \dfrac{1}{1-2z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(2z)^n.
</tex> 

Таким образом,
 <tex>
G(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}3^nz^n - \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3^n-2^n)z^n.
</tex> 

С другой стороны, мы искали <tex>G(z)</tex> в виде
 <tex>
G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n,
</tex> 
поэтому, в силу равенства рядов, <tex>a_n=3^n-2^n</tex> (для <tex>n\geqslant 0</tex>).

===<tex>2</tex> пример: числа Фибоначчи===
Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
 <tex>\begin{array}{rcl}
f_0&{}={}&0,\\
f_1&{}={}&1,\\
f_n&{}={}&f_{n-1}+f_{n-2}, \quad n\geqslant2.\\
\end{array}
</tex> 

Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:
 <tex>\begin{array}{rcl}
1\cdot f_0&{}={}&0\cdot 1,\\
z\cdot f_1&{}={}&1\cdot z,\\
z^n\cdot f_n&{}={}&(f_{n-1}+f_{n-2})\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\
\end{array}
</tex> 

Складываем все строчки:
 <tex>
f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_nz^n =
z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-1}z^n+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-2}z^n.
</tex> 

Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:
 <tex>\begin{array}{rcl}
G(z) &{}={}& z + z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-1}z^{n-1}+z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}f_{n-2}z^{n-2}, \\
G(z) &{}={}& z + z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}z^n+z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n, \\
G(z)&{}={}& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\
G(z)&{}={}& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\
\end{array}
</tex> 

откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
 <tex>
G(z) = \dfrac{z}{1-z-z^2}.
</tex> 

Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:
 <tex>\displaylines{
1-z-z^2 = 0 \cr
z_1=-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, z_2=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
}
</tex> 

Таким образом,
 <tex>
G(z) = \dfrac{z}{1-z-z^2}=\dfrac{-z}{(z_1-z)(z_2-z)}
=
\dfrac{z_1/(z_1-z_2)}{z_1-z} + \dfrac{z_2/(z_2-z_1)}{z_2-z}.
</tex> 

Нам известно разложение следующей рациональной функции:
 <tex>
\dfrac{1}{1-z} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots.
</tex> 

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на <tex>z_1</tex>:
 <tex>
\dfrac{z_1/(z_1-z_2)}{z_1-z} = \dfrac1{z_1-z_2}\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{z_1}} =
\dfrac1{z_1-z_2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{z_1^n}.
</tex> 

Аналогично (но с делением на <tex>z_2</tex>) поступим со второй дробью:
 <tex>
\dfrac{z_2/(z_2-z_1)}{z_2-z} = \dfrac1{z_2-z_1}\dfrac1{1-\dfrac{z}{z_2}} =
\dfrac1{z_2-z_1}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{z_2^n}.
</tex> 

Таким образом,
 <tex>
G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f_nz^n =
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\biggr(\dfrac{1}{z_1-z_2}\dfrac{1}{z_1^n} + \dfrac{1}{z_2-z_1}\dfrac{1}{z_2^n} \biggr)z^n,
</tex> 

и, следовательно,
 <tex>
f_n = \dfrac1{z_1-z_2}\dfrac{1}{z_1^n} + \dfrac1{z_2-z_1}\dfrac{1}{z_2^n}.
</tex> 

Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что <tex>1/z_1=-z_2</tex>, <tex>1/z_2=-z_1</tex> и <tex>z_1-z_2=√5</tex>. Подставим <tex>z_1</tex> и <tex>z_2</tex> в предыдущее выражение:
 <tex>
f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( \biggl( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \biggr)^n - \biggl( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \biggr)^n \right).
</tex> 

===<tex>3</tex> пример===
Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$.

По определению последовательности Фибоначчи выполняется:
 <tex>
\left\{ \begin{array}{ll}
f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \\
f_{n-1} = f_{n+1} - f_n
\end{array} \right.
</tex> 
Возведя в квадрат и сложив, получим:
 <tex>
\begin{array}{rcl}
f_{n+2}^2 + f_{n-1}^2 = 2f_{n+1}^2 + 2f_n^2, \\
f_{n+2}^2 = 2f_{n+1}^2 + 2f_n^2 - f_{n-1}^2, \\
f_{n}^2 = 2f_{n-1}^2 + 2f_{n-2}^2 - f_{n-3}^2.\\
\end{array}
</tex> 
Обозначим рассматриваемую последовательность <tex>A</tex>, а её члены <tex>a_n</tex>, тогда:
 <tex>a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3}</tex> 

Рекуррентное соотношение:
 <tex>
\begin{array}{ll}
a_0 = f_0^2 = 1 \\
a_1 = f_1^2 = 1 \\
a_2 = f_2^2 = 4 \\
a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3}, \quad n\geqslant3.\\
\end{array}
</tex> 

Приведём суммы к замкнутому виду:
 <tex>
\begin{array}{ll}
A(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}(2a_{n-1} + 2a_{n-2} - a_{n-3})z^n, \\
A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-1}z^n + 2\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-2}z^n - \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-3}z^n, \\
A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n - z^3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, \\
A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) - 1 - z) + 2z^2(A(z) - 1) - z^3A(z), \\
A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) - 2z - 2z^2 + 2z^2A(z) - 2z^2 - z^3A(z), \\
A(z)(1 - 2z - 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 - 2z - 2z^2 - 2z^2 = 1 - z, \\
\end{array}
</tex> 
откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
 <tex>G(z) = \dfrac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}.</tex> 

===<tex>4</tex> пример===
Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
 <tex>\begin{array}{rcl}
a_0&{}={}&1,\\
a_1&{}={}&2,\\
a_n&{}={}&6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, \quad n\geqslant2.\\
\end{array}
</tex> 

Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:
 <tex>\begin{array}{rcl}
\displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_n}{z^n} &{}={}& 1+2z+6\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-1}}{z^n}-8\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-2}}{z^n}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\
G(z) &{}={}& 1+2z+6z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-1}}{z^{n-1}}-8z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{a_{n-2}}{z^{n-2}}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\
G(z) &{}={}& 1+2z+6z\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}{z^{n}}-8z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}{z^{n}}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n, \\
G(z) &{}={} & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n.\\
G(z) &{}={} & 1 - 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n.\\
\end{array}
</tex> 

Вспомним, что
 <tex>
(z^n)' = nz^{n-1},
</tex> 

поэтому
 <tex>
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^n=z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}nz^{n-1}=z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(z^n)'=z\biggl(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n\biggr)'.
</tex> 

Последняя сумма может быть свёрнута:
 <tex>
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}.
</tex> 

Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,
 <tex>
z\biggl(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}z^n\biggr)' = z \biggl(\dfrac{z^2}{1-z}\biggr)'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}.
</tex> 

Таким образом, наше последнее уравнение примет вид
 <tex>
G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}.\\
</tex> 

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>:
 <tex>
G(z) = \dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}.
</tex> 

Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей:
 <tex>
G(z) = \dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}.
</tex> 

Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:
 <tex>
\dfrac{1}{(1-z)^2} =(1-z)^{-2} =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-2}{n}(-z)^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{n+1}{1}(-z)^n =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n.
</tex> 

Теперь соберём ответ:
 <tex>
G(z) = \dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n+
\dfrac{7}{9}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^n+\dfrac{7}{18}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}4^nz^n.
</tex> 

Значит,
 <tex>
a_n=
\dfrac{n+1}{3}
+\dfrac{7}{9}
-\dfrac{2^n}{2}
+\dfrac{7\cdot4^n}{18}=
\dfrac{7\cdot4^n+6n+20}{18} - 2^{n-1}.
</tex> 

==См. также==
* [[Производящая функция]]
* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]

== Источники информации ==
* [http://www.genfunc.ru/theory/rsol/ Решение рекуррентных соотношений]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Производящая функция]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Решение рекуррентных соотношений