Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа

2014-01-07T00:50:51Z

Snopi:

Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности.
Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести
с помощью Леммы Бернсайда.

{{Определение
|definition=
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>,
для которого <tex>gx=x</tex>.
}}

== Лемма Бёрнсайда ==

{{Лемма
|id=lemmaBerns.
|author=Бёрнсайд
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:

<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.
|proof=
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.

Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:
<tex>|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>

Рассмотрим правую часть равенства:
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum\limits_{x \in X} |G_x| = \sum\limits_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum\limits_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex>
<tex>= |G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex>

Заметим, что <tex>\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</tex> Следовательно:

<tex>|G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum\limits_{P\in C} 1</tex>.

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</tex> Тогда получим:

<tex>|G|\sum\limits_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex>

Откуда следует, что

<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.</tex> ч.т.д.

}}

== Теорема Пойа ==

Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке.
В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.

{{Теорема
|id=teorPo.
|author=Пойа
|statement= <tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}</tex> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(k)</tex> - кол-во циклов в перестановке <tex>k</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.
|proof=Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex>

Рассмотрим некоторую перестановку <tex>k</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>k</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fk = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>k</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex>
}}

==Задача о числе раскрасок прямоугольника==
{{Определение
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
}}
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.

'''Решение'''

Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> {{---}} это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex>, и "отражение относительно вертикальной оси" {{---}} <tex>\beta</tex>.
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.

Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.

Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).
Данное множество фактов объясняется тем, что мы можем как бы "слить" вместе два столбика (и\или) столбца, при этом с точностью до нужного действия количество раскрасок не уменьшится.

Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно.

Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.

:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex>
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex>

==См. также==
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8 Теорема Кэли]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D1%85 Задача об Ожерельях]

==Cсылки==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 Лемма Бёрнсайда]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0 Теорема Пойа]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Теория групп]]

Задача об ожерельях

2014-01-07T00:13:28Z

Snopi:

{{Определение
|definition=
Требуется посчитать количество ожерелий из <tex>n</tex> бусинок, каждая из которых может быть покрашена в один из <tex> k </tex> цветов. При сравнении двух ожерелий их можно поворачивать, но не переворачивать (т.е. разрешается сделать циклический сдвиг).}}

Решение этой задачи опирается на [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа|лемму Бёрнсайда и теорему Пойа]].

== Алгоритм решения задачи про ожерелья ==

Пусть нам даны бусинки <tex>k</tex> различных цветов, а ожерелье должно состоять из <tex>n</tex> бусинок.

Для решения воспользуемся формулой из теоремы Пойа.

<tex>|C| =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{l \in G} k^{P(l)}</tex>

По условию, перестановкой инвариантной данной будет любая перестановка, полученная из данной циклическим сдвигом.
Очевидно, что для каждой перестановки длины <tex>n</tex> существует ровно <tex>n - 1</tex> инвариантная перестановка, то есть всего инвариантных перестановок в каждом классе <tex>n</tex>, теперь найдем <tex>P(i)</tex>. Заметим, что в <tex>i</tex>-ой перестановке на <tex>l</tex>-ой позиции стоит элемент <tex>(i + l)\bmod n</tex>. Также, заметим, что элемент <tex>a</tex> переходит в элемент <tex>a + in</tex>, где <tex>i = 1, 2, ... k</tex>. Из этого следует, что длина цикла для <tex>i</tex>-ой перестановки равна <tex> \mathrm{lcm}(n, i)/i = n/\mathrm{gcd}(i,n)</tex>. Откуда следует что:

<tex>|C| =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {n}</tex><tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} k^{\mathrm{gcd}(i,n)}</tex>.

где <tex>|C|</tex> - кол-во различных ожерелий,которые можно составить из <tex>n</tex> бусинок <tex>k</tex> различных цветов.

== Алгоритм решения задачи про ожерелья с отражениями==

[[Файл:axis_of_braclets.png|300px|thumb|right|слева пример оси для нечётного случая, справа для чётного]]
Пусть теперь ожерелья считаются одинаковыми, если они не только переходят друг в друга поворотом, но и отражением относительно некоторой оси (ось может проходить через две противоположные бусинки или через две противоположные пустоты в чётном случае и через бусинку и пустоту напротив неё в нечётном случае). Такие ожерелья называются [https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics) bracelets].
Будем пользоваться [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа|леммой Бёрнсайда]].
Разберём два случая.

Для начала покажем, что в качестве операций требуется рассматривать только повороты и отражения.
* Поворот и отражение - отражение.
Занумеруем наши бусинки по часовой стрелке. Поворот и отражение не меняют порядка (в каком-то направлении бусинки занумерованы по порядку). Нетрудно понять, что отражение меняет направление обхода наших бусинок и не меняет порядка. Если мы сначала сделаем поворот, а потом отразим относительно какой-нибудь оси, то мы то самое же можем получить и обыкновенным отражением относительно какой-то оси. Такая ось найдётся, потому что всегда можно выбрать ось, что поставит первую бусинку на своё изначальное место, поменяв направление обхода (если перебирать все оси подряд, начиная с оси, проходящей через нужную нам бусинку, то изначально она останется на своём месте, потом сместится на одно место, потом на два и.т.д.). Поэтому поворот и отражение не добавляет нам новой операции.

* Отражение и поворот - отражение.
Аналогичные рассуждения.

* Отражение и отражение - поворот.
Тут мы дважды меняем направление обхода, но не меняем порядка. Поэтому данная операция заменяется обычным поворотом.

Пусть число бусинок нечётное, тогда мы имеем <tex>n</tex> осей, проходящих через каждую бусинку. Рассмотрим одну ось. Возьмём половину бусинок с одной стороны от оси и ту бусинку, через которую проходит данная ось. Мы можем окрасить их в произвольные цвета, а остальная половина по ним однозначно восстановится. Таким образом количество неподвижных точек для одной оси будет <tex>k^{\frac{n + 1}{2}}</tex>.
Операций в группе будет в два раза больше, чем было: <tex>2n</tex> (<tex>n</tex> сдвигов и <tex>n</tex> отражений).

По Лемме Бёрнсайда:
<tex> |B| = </tex> <tex dpi = "140">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>

<tex> |G| = 2n</tex>. Первые <tex>n</tex> операций - повороты, и сумма количества их неподвижных точек, делённая на <tex>2n</tex>, принимает значение <tex>\frac{|C|} {2}</tex>, где <tex>|C|</tex> - количество ожерелий из <tex>n</tex> бусинок <tex>k</tex> различных цветов без отражений (задача выше) т.к. деление в задаче без отражений происходило на <tex>n</tex>, а здесь на <tex>2n</tex>. Следующие <tex>n</tex> операций - отражения. У каждой такой операции <tex>k^{\frac{n + 1}{2}}</tex> неподвижных точек. Поэтому сумма получается <tex>k^{\frac{n + 1}{2}}n</tex>.

<tex dpi = "140">|B| = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2n}k^{\frac{n + 1}{2}}n = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2}k^{\frac{n + 1}{2}} </tex>

Разберём теперь чётный случай.
Тут мы имеем <tex>\frac{n}{2}</tex> осей, проходящих через пустоты между бусинками (ось можно провести через пустоту после каждой бусинки, но половина из них будет повторяться). В таких вот случаях можно выбрать по <tex>\frac{n}{2}</tex> бусинок и дать им произвольные цвета. Остальная половина восстановится по ним. Таким образом для данных осей количество неподвижных точек будет <tex>k^{\frac{n}{2}}</tex>.
Ещё у нас есть <tex>\frac{n}{2}</tex> осей, проходящих через бусинки. В данных случаях мы можем выбрать по <tex>\frac{n}{2} + 1</tex> бусинок (бусинки на оси и все по одну какую-то сторону от неё). То есть будет <tex>k^{\frac{n}{2} + 1}</tex> неподвижных точек. Операций также <tex>2n</tex>.

По Лемме Бёрнсайда:

<tex dpi = "140">|B| = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2n}(\frac{n}{2}k^{\frac{n}{2}} + \frac{n}{2}k^{\frac{n}{2} + 1}) = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{4}k^{\frac{n}{2}}(k + 1)</tex>

== См. также ==
* [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics) Necklace (combinatorics)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Файл:Axis of braclets.png

2014-01-07T00:07:05Z

Snopi: