Процесс Каратеодори

2018-05-01T16:39:48Z

Stardust: /* Теорема Каратеодори */

[[Мера, порожденная внешней мерой|<<]] [[Объём n-мерного прямоугольника|>>]]

Мы уже построили по мере на полукольце множеств внешнюю меру, а по ней - меру на σ-алгебре. Следующая теорема показывает, что при ее сужении на то полукольцо мы получим исходную меру.

==Теорема Каратеодори==

{{Теорема
|author=Каратеодори
|statement=
Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:
# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>
# <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
|proof=
Если мы докажем, что <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, то есть, любое множество из полукольца хорошо разбивает любое другое, то, взяв любое <tex>A \in \mathcal{R}</tex>, так как <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, получим <tex>\mu^*(A) = \mu(A)</tex>. Но <tex>A\in \mathcal{A}</tex> и <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex> (<tex>\mu^* |_\mathcal{R} = m</tex>), то есть, <tex>\mu^* A = mA </tex>. Значит, <tex> \mu A = mA</tex>, и второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт.

Для этого нам нужно показать, что для любого <tex>A \in \mathcal{R} </tex> выполнялось <tex>\forall E \subset X: \mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\overline A)</tex>, тогда <tex> A </tex> хорошо разбивает любое множество (обратное неравенство, очевидно, выполняется по определению внешней меры) и принадлежит σ-алгебре.

Если <tex>\mu^* E = +\infty</tex>, то неравенство тривиально, поэтому считаем, что <tex>\mu^* E < +\infty</tex>.

Воспользуемся тем, что <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>:

<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : E \subset \bigcup\limits_j A_j,\ \sum\limits_j mA_j < \mu^∗E + \varepsilon</tex>

Пересекаем это включение с <tex>A</tex>

<tex>E \cap A \subset \bigcup\limits_j(A_j \cap A)</tex>

По аксиомам полукольца, <tex>A_j\cap A \in \mathcal{R}</tex>.

Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца.

Тогда, по определению <tex>\mu^*</tex>, порождённой <tex>m</tex>:

<tex>\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)</tex>

При пересечении с <tex> \overline A </tex> получим <tex>E\cap\overline A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\overline A)</tex>. Однако, здесь нет гарантий, что <tex>A_j\cap\overline A \in \mathcal{R}</tex>.

<tex>A_j\cap\overline A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)</tex>, <tex>A\cap A_j \in \mathcal{R}</tex>

Тогда, по аксиомам полукольца, <tex>A_j\setminus (A\cap A_j) = \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} дизъюнктны в <tex>\mathcal{R}</tex>.

<tex>E\cap\overline A \subset \bigcup\limits_j \bigcup\limits_p D_{jp}</tex>, все <tex>D</tex> {{---}} из полукольца.

Значит, <tex>E\cap\overline A</tex> покрывается элементами полукольца, так как <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>.

<tex>\mu^*(E\cap\overline A) \leq \sum\limits_j \sum\limits_p mD_{jp}</tex>

<tex>A_j = (A_j \cap A) \cup \bigcup\limits_p D_{jp}</tex> {{---}} из полукольца.

Таким образом, <tex>A_j \in \mathcal{R}</tex> разбивается в дизъюнктное объединение множеств из <tex>\mathcal{R}</tex>. Отсюда, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности меры,

<tex>mA_j = m(A\cap A_j) + \sum\limits_p mD_{jp}</tex>

<tex>\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)</tex>

Тогда, <tex>\mu^*(E\cap\overline A)\leq \sum\limits_j (mA_j- m(A\cap A_j))</tex>

Складывая с предыдущим неравенством, получаем:

<tex>\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\overline A) \leq \sum\limits_j mA_j < \mu^*E+\varepsilon</tex>

При <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем требуемое неравенство.

}}

==Некоторые свойства полученной меры==
Установим некоторые свойства полученной меры
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\mu</tex> {{---}} стандартное распространение по Каратеодори меры <tex>m</tex> с полукольца на <tex>\sigma</tex>-алгебру.
}}

Мы рассматриваем сигма-алгебру <tex>\mu^*</tex>-измеримых множеств.

===Полнота===
{{Утверждение
|about=полнота
|statement=Подмножество нульмерного множества само измеримо и нульмерно.
|proof=
Пусть <tex>A \in \mathcal{A}</tex>, <tex>\mu A = 0</tex>, <tex>B\subset A</tex>, <tex> \forall E\subset X</tex>

Проверим, что <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap\bar B)</tex>

<tex>E\cap B \subset A</tex>

Тогда, по монотонности внешней меры, <tex>\mu^*(E\cap B) \leq \mu^*A = \mu A = 0</tex>

<tex>E \cap\bar B \subset E</tex>, <tex>\mu^*(E\cap\bar B) \leq \mu^*E</tex>

Значит, неравенство выполняется. Значит, <tex>B \in \mathcal A</tex>, то есть измеримо.

По монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu A</tex>. <tex>\mu A = 0 \Rightarrow \mu B = 0</tex>.
}}

Можно считать, что распространение <tex>m</tex> с <tex>\mathcal{R}</tex> на <tex>\sigma</tex>-алгебру приводит к полной мере.

===Непрерывность===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E \subset X</tex>; <tex>A\subset E\subset B</tex>, <tex>A, B</tex> {{---}} <tex>\mu</tex>-измеримы, <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Тогда <tex>E \in \mathcal{A}</tex>
|proof=В силу написанного выше ясно, что <tex>E\setminus A\subset B\setminus A</tex>. Последнее множество нульмерно. Значит, по полноте меры, <tex>E\setminus A \in \mathcal A</tex>. Тогда, <tex>E\in \mathcal{A}</tex>, так как <tex>E = A \cup (E\setminus A)</tex>.
}}

====Следствие====
{{Утверждение
|about = Критерий <tex>\mu^*</tex>-измеримости
|statement =
Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex> — <tex>\mu^*</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon > 0</tex> <tex> \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) < \varepsilon</tex>
|proof=Возьмём <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>, <tex>A_n = A_{\varepsilon_n}</tex>, <tex>B_n = B_{\varepsilon_n}</tex>

<tex>A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n</tex>, <tex>B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n</tex>

Так как мы работаем с <tex>\sigma</tex>-алгеброй, то <tex> A </tex> и <tex> B </tex> тоже измеримы.

Так как <tex>A_n \subset E \subset B_n</tex>, то <tex>A \subset E \subset B</tex>.

<tex>\forall n : B\setminus A \subset B_n\setminus A_n</tex>

Тогда, по монотонности меры, <tex>\mu(B\setminus A)\leq \mu(B_n\setminus A_n) < \frac1n</tex>.

<tex>n \to \infty \Rightarrow \mu(B\setminus A) = 0</tex>

Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено <tex>E</tex>. <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Значит, по непрерывности <tex> \mu </tex>, утверждение верно.

Обратное верно, так как можно взять <tex>A=B=E</tex>.
}}

==Процесс Каратеодори==
Забавно: <tex>m, \mathcal{R} \to \mu^* \to \mu, \mathcal{A} \to \nu^*</tex>.

Построим <tex>\nu^*</tex> {{---}} внешняя мера для <tex>\mu, \mathcal{A}</tex> (<tex>\sigma</tex>-алгебра {{---}} частный случай полукольца).
Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?"

{{Теорема
|statement=<tex>\mu^*=\nu^*</tex> (повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере).
|proof=
<tex>\mu^*</tex> строилось на базе покрытий из <tex>\mathcal{R}</tex>, <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>.

<tex>\nu^*</tex> строится на базе покрытий из <tex>\mathcal{A}</tex>. Это значит, что покрытий стало больше, то есть,
<tex>\forall E \subset X : \nu^* E \leq \mu^* E</tex>

Осталось доказать, что <tex>\mu^* E \leq \nu^* E</tex>

Если новая мера бесконечна, то неравенство очевидно. Тогда, пусть она конечна.

Раз она порождена <tex>\mu</tex>, <tex>\forall \varepsilon</tex> есть система измеримых множеств <tex>B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal{A}</tex>, <tex>E\subset\bigcup\limits_nB_n</tex>,

<tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E+\varepsilon</tex>

В частности, <tex>\forall n : \mu B_n < +\infty</tex>

Но <tex>\mu B_n = \mu^* B_n</tex>, и, раз она конечна и порождена мерой <tex>m</tex>, то
<tex>\exists A_{n_1}, A_{n_2}, \ldots, A_{n_j}, \ldots \in \mathcal{R} : \sum\limits_jmA_{n_j} < \mu B_n + \frac\varepsilon{2^n}</tex>, <tex>B_n \subset \bigcup\limits_j A_{n_j}</tex>

Отсюда, в частности, получается, что <tex>E \subset \bigcup\limits_n B_n \subset \bigcup\limits_n \bigcup\limits_j A_{nj}</tex>

<tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E + \varepsilon</tex>. Заменяя каждое слагаемое ряда меньшей величиной, получаем:

<tex>\sum\limits_n\left(\sum\limits_jmA_{nj} - \frac\varepsilon{2^n} \right) < \nu^* E + \varepsilon</tex>

<tex>\sum\limits_n\sum\limits_j mA_{nj} < \nu^* E + 2\varepsilon</tex>

<tex>E \subset \bigcup\limits_n\bigcup\limits_j A_{nj}</tex>, <tex>\mu^*E \leq \sum\limits_n\sum\limits_j mA_{nj}</tex> (по определению <tex>\mu^*</tex>).

Сопоставляя с предыдущим неравенством, <tex>\mu^*E \le \nu^* E + 2\varepsilon</tex>

Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, побеждаем.
}}

[[Мера, порожденная внешней мерой|<<]] [[Объём n-мерного прямоугольника|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Процесс Каратеодори