Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:46:30Z

Vasin: /* 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> - компактен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:41:48Z

Vasin: /* 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{TODO|t=А где про компактность <tex>A^*</tex>?}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:40:46Z

Vasin: /* 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex> ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{TODO|t=А где про компактность <tex>A^*</tex>?}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:40:13Z

Vasin: /* 5 Арифметика компактных операторов */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{TODO|t=А где про компактность <tex>A^*</tex>?}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:39:59Z

Vasin: /* 4 Ортогональное дополнение R(A^*) */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{TODO|t=А где про компактность <tex>A^*</tex>?}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-11T11:39:44Z

Vasin: /* 3 Ортогональное дополнение R(A) */

== 1 A^* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>(R(A^*))^{\bot} = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{TODO|t=А где про компактность <tex>A^*</tex>?}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A) компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T23:37:02Z

Vasin:

* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)

* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)

* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)

* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)
** Возможно, то, что <tex>F = \left \{ (\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right \} </tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.

* И вообще, попытайтесь пробежаться на консультации по всем неисправленным TODO из конспектов, их не так много --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:17, 11 июня 2013 (GST)
* Вроде как ничего нет о компактности <tex>A^*</tex> (в викиконспектах по крайней мере) --[[Участник:Vasin|Andrey Vasin]] 03:37, 11 июня 2013 (GST)

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T23:32:28Z

Vasin: /* 4 Ортогональное дополнение R(A^*). */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>(R(A))^{\bot} = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>(R(A^*))^{\bot} = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T23:32:11Z

Vasin: /* 3 Ортогональное дополнение R(A). */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>(R(A))^{\bot} = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T23:31:05Z

Vasin: /* 4 Ортогональное дополнение R(A^*). */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T23:30:36Z

Vasin: /* 3 Ортогональное дополнение R(A). */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T19:20:22Z

Vasin: /* 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T19:06:01Z

Vasin: /* 12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E. */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}
{{TODO|t=Лемма о координатном пространстве}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T18:07:09Z

Vasin:

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T11:11:48Z

Vasin: /* 5 Арифметика компактных операторов. */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}
{{TODO|t=Лемма о координатном пространстве}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T11:11:13Z

Vasin: /* 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}
{{TODO|t=Лемма о координатном пространстве}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

2013-06-10T11:06:11Z

Vasin: /* 4 Ортогональное дополнение R(A^*). */

== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>

<tex>R^{\bot}(A) = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} </tex>

== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>

<tex>R^{\bot}(A^*) = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} </tex>

== 5 Арифметика компактных операторов. ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}

== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости равенства <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора. ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора. ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел <tex>m-</tex> и <tex>m+</tex>. ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера. ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-25T12:04:20Z

Vasin: /* 33 Модуль непрерывности и его свойства */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{Теорема
|author=
Фробениус
|statement=
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{Теорема
|author=
Харди
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{Определение
|definition=
[[Отображения|Функция]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
# <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex>
# <tex>\omega (t)</tex> неубывает
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность)
}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
Положим для <tex>\delta>0</tex>

<tex>\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|</tex>.

(модуль непрерывности функции <tex>f</tex> в точке <tex>t</tex>).

Если функция <tex>f</tex> удовлетворяет условию

<tex>\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty </tex>,

то её ряд Фурье в точке <tex>t</tex> сходится к <tex>f(t)</tex> .

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:44:48Z

Vasin: /* 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
Положим для <tex>\delta>0</tex>

<tex>\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|</tex>.

(модуль непрерывности функции <tex>f</tex> в точке <tex>t</tex>).

Если функция <tex>f</tex> удовлетворяет условию

<tex>\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty </tex>,

то её ряд Фурье в точке <tex>t</tex> сходится к <tex>f(t)</tex> .

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:37:17Z

Vasin: /* 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:32:56Z

Vasin: /* 41 Явление Гиббса */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{Определение
|definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.
}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:32:11Z

Vasin: /* 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:26:51Z

Vasin: /* 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =

<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:23:33Z

Vasin: /* 38 Следствия для C^r */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теорема Джексона

2012-06-24T19:23:24Z

Vasin: /* Следствия */

Пофиксите в общем, эту муть, а то я уже офигеваю с этого. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:32, 24 июня 2012 (GST)
{{В разработке}}
Ранее нами введено [[наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>:

<tex> E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n </tex>.

Наилучшее приближение:

<tex> \exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C </tex> — полином наилучшего приближения.

<tex> E_n(f) </tex> — полунорма, <tex> \forall T \in H_n, E_n(T) = 0 </tex>. <tex> E_n(f) = E_n(f + T) </tex>

<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

<tex> E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.

Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности.

Чтобы судить о <tex> E_n(f) </tex>, надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.

Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.

<tex> s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt </tex>

<tex> \sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt </tex>

Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n </tex> — тригонометрический полином, произвольное ядро. Заменим <tex> y = x + t </tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy </tex>

<tex> J_n(y - x) = T_n(x) </tex> — тригонометрический полином по <tex> x </tex>, коэффициенты которого зависят от <tex> y </tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt </tex>.

Пусть <tex> \int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0 </tex>.

<tex> |f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt </tex>

<tex>\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le </tex> (применим [[неравенство Йенсена]] для выпуклых функций) <tex> \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>

<tex> f </tex> — непрерывная, <tex> 2 \pi </tex> - периодическая функция.

<tex> \| f - A(f) \|_C \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>, где <tex> \int\limits_Q |t| J_n(t) dt </tex> называется первым, абсолютным моментом ядра.

Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы <tex> \omega \to 0 </tex> при <tex> n \to \infty </tex>.

Одним из этих ядер является ядро Джексона.
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

<tex> \int\limits_Q d_n(t) = 1 </tex> {{TODO|t=а доказать?}}

{{Утверждение
|statement=
<tex> \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} </tex>
|proof=
<tex> \int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex>

<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex>
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n} </tex>

<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{1}{n} </tex>. Неравенство установили.
}}

== Теорема Джексона ==

{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
|proof=
<tex> Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt </tex> — интеграл Джексона

<tex> Y_n(f) \in H_{2n - 2} </tex>

<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
{{TODO|t=что-то мутно}}
Для четных членов:
: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 2) + 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} > \frac{3 \pi}{2 n}</tex>
Дле нечетных:
: <tex> E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 1) + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}</tex>

Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось
}}

== Следствия ==

<tex> f \in C^1 </tex> — непрерывная, дифференциируемая

<tex> |f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C </tex>

<tex> \omega(f, h) \le \| f' \|_C h </tex>

<tex> \omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1} </tex>

Следствие:

<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>

<tex> f \in C^{(p)} </tex>

<tex> E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n </tex>

Рассмотрим <tex> T_n(f') </tex>. Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, мы получим тригонометрический полином.

<tex> \int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n </tex>

Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T </tex>:

<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>

<tex> f' </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex>

<tex> |\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f') </tex>

Утверждение:

<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') </tex>

<tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>

<tex> p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C </tex>

По индукции приходим к:

<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>.

То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:09:18Z

Vasin: /* 37 Теорема Джексона */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{Теорема
|author=
Джексон
|statement=
<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>
}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:06:18Z

Vasin: /* 36 Ядро Джексона */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:05:37Z

Vasin: /* 33 Модуль непрерывности и его свойства */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:05:25Z

Vasin: /* 35 Модуль непрерывности в пространстве C */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T19:01:38Z

Vasin: /* 33 Модуль непрерывности и его свойства */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex>

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:59:10Z

Vasin: /* 32 Почленное интегрирование ряда Фурье */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:48:53Z

Vasin: /* 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из L_2 */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:45:45Z

Vasin: /* 29 Теорема Лузина-Данжуа */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:44:10Z

Vasin: /* 28 Равенство Парсеваля */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

L 2-теория рядов Фурье

2012-06-24T18:43:35Z

Vasin: /* Теорема Рисса-Фишера */

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \le 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость <tex>A_n</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости <tex>A_n</tex> в себе. Значит,
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>.

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:39:16Z

Vasin: /* 27 Замкнутые и полные о.н.с. */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:35:54Z

Vasin: /* 26 Ряды Фурье в L_2 : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. //Насчет последнего

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T18:18:56Z

Vasin: /* 26 Ряды Фурье в L_2 : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T17:48:21Z

Vasin: /* 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T17:41:07Z

Vasin: /* 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T17:38:00Z

Vasin: /* 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

*$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

*$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T17:33:59Z

Vasin: /* 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
<wikitex>
$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T17:28:22Z

Vasin: /* 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
формула интегрирования по частям
|statement=
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
}}
</wikitex>

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T15:54:49Z

Vasin: /* 18 У словие существования интеграла Стилтьесса */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

2012-06-24T15:08:23Z

Vasin: /* 6 Теорема Фейера */

= 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в <tex>L_1</tex> =
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

= 2 Ядра Дирихле и Фейера =
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
<tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex> — '''интеграл Дирихле'''.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи частичная сумма называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Фейера'''.
}}
<tex>\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>

= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODO|t = пилим}}

= 4 Теорема Фробениуса =
{{TODO|t = пилим}}

= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве =
{{TODO|t = пилим}}

= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}

= 7 Следствие о двух пределах =
{{Утверждение
|about=
следствие Фейера о двух пределах
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.

Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.

Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,

и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.

Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.

В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
}}

= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =

<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
}}
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
}}

= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.
}}

= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODO|t = пилим}}

= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
}}

= 14 Теорема Дини =
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>

= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}

= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность =
{{Определение
|definition=
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>. 
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>. 
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>. 
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
аддитивность вариации
|statement=
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
}}

= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций =
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}

= 18 У словие существования интеграла Стилтьесса =
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

{{Определение
|definition=
'''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. 
Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.
}}

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
{{Теорема
|about=
Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>.
}}

= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции =
<wikitex>
{{Теорема
|about=
о существовании интеграла Римана-Стилтьеса
|statement=
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.
}}
</wikitex>

= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
{{TODO|t = пилим}}

= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
{{TODO|t = пилим}}

= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации =
{{TODO|t = пилим}}

= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
{{TODO|t = пилим}}

= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
{{TODO|t = пилим}}

= 28 Равенство Парсеваля =
{{TODO|t = пилим}}

= 29 Теорема Лузина-Данжуа =
{{TODO|t = пилим}}

= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 31 Принцип локализации для рядов Фурье =
{{Теорема
|author=
Риман
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
}}

= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 33 Модуль непрерывности и его свойства =
{{TODO|t = пилим}}

= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
{{TODO|t = пилим}}

= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{TODO|t = пилим}}

= 36 Ядро Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 37 Теорема Джексона =
{{TODO|t = пилим}}

= 38 Следствия для C^r =
{{TODO|t = пилим}}

= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
{{TODO|t = пилим}}

= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений =
{{TODO|t = пилим}}

= 41 Явление Гиббса =
{{TODO|t = пилим}}

= 42 Константа Лебега ядра Дирихле =
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex>.

= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
{{TODO|t = пилим}}

= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
{{TODO|t = пилим}}

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Префикс-функция

2012-06-12T22:08:09Z

Vasin: /* Время работы */

Префикс-функция строки <tex>s</tex> {{---}} функция <tex>\pi(i) = \max\limits_{k = 1..i - 1} \{ 0, k : </tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>.
==Алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex> = [0,..,0]
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' k = 1 '''to''' i - 1
'''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Пример===
Рассмотрим строку abcabcd, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Оптимизация==
Вносятся несколько важных замечаний:
*Следует заметить, что <tex>\pi(i) \le \pi(i-1) + 1</tex>. По определению префикс функции верно, что <tex>s[1..\pi(i)] = s[i - \pi(i) + 1..i]</tex>. Отсюда получается, что <tex>s[1..\pi(i) - 1] = s[i - \pi(i) + 1..i - 1]</tex>. Поскольку <tex>\pi</tex> это наибольший префикс равный суффиксу, то <tex>\pi(i - 1) \ge \pi(i) - 1</tex>.
*Избавимся от явных сравнений строк. Для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делать это нужно следующим образом. За исходное <tex>k</tex> нужно взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.

[[Файл:Prefix2.jpg‎]]
===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex>[1] = 0
k = 0
'''for''' i = 2 '''to''' n
'''while''' k > 0 && s[i] != s[k + 1]
k = <tex>\pi</tex>[k]
'''if''' s[i] == s[k + 1]
k++
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>while</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Из предыдущего утверждения, с учетом того что внутри цикла <tex>while</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, получается, что <tex>k</tex> не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>while</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Литература ==
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296.

Префикс-функция

2012-06-12T18:29:06Z

Vasin:

Префикс-функция строки <tex>s</tex> {{---}} функция <tex>\pi(i) = \max\limits_{k = 1..i - 1} \{ 0, k : </tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>.
==Алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex> = [0,..,0]
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' k = 1 '''to''' i - 1
'''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Пример===
Рассмотрим строку abcabcd, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Оптимизация==
Вносятся несколько важных замечаний:
*Следует заметить, что <tex>\pi(i) \le \pi(i-1) + 1</tex>. По определению префикс функции верно, что <tex>s[1..\pi(i)] = s[i - \pi(i) + 1..i]</tex>. Отсюда получается, что <tex>s[1..\pi(i) - 1] = s[i - \pi(i) + 1..i - 1]</tex>. Поскольку <tex>\pi</tex> это наибольший префикс равный суффиксу, то <tex>\pi(i - 1) \ge \pi(i) - 1</tex>.
*Избавимся от явных сравнений строк. Для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делать это нужно следующим образом. За исходное <tex>k</tex> нужно взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.

[[Файл:Prefix2.jpg‎]]
===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex>[1] = 0
k = 0
'''for''' i = 2 '''to''' n
'''while''' k > 0 && s[i] != s[k + 1]
k = <tex>\pi</tex>[k]
'''if''' s[i] == s[k + 1]
k++
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>while</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Внутри цикла <tex>while</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, а из предыдущего утверждения получается, что оно не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>while</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Литература ==
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296.

Префикс-функция

2012-06-12T18:28:41Z

Vasin:

Префикс-функция строки <tex>s</tex> {{---}} функция <tex>\pi(i) = \max\limits_{k = 1..i - 1} \{ 0, k : k < i,</tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>.
==Алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex> = [0,..,0]
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' k = 1 '''to''' i - 1
'''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Пример===
Рассмотрим строку abcabcd, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Оптимизация==
Вносятся несколько важных замечаний:
*Следует заметить, что <tex>\pi(i) \le \pi(i-1) + 1</tex>. По определению префикс функции верно, что <tex>s[1..\pi(i)] = s[i - \pi(i) + 1..i]</tex>. Отсюда получается, что <tex>s[1..\pi(i) - 1] = s[i - \pi(i) + 1..i - 1]</tex>. Поскольку <tex>\pi</tex> это наибольший префикс равный суффиксу, то <tex>\pi(i - 1) \ge \pi(i) - 1</tex>.
*Избавимся от явных сравнений строк. Для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делать это нужно следующим образом. За исходное <tex>k</tex> нужно взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.

[[Файл:Prefix2.jpg‎]]
===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex>[1] = 0
k = 0
'''for''' i = 2 '''to''' n
'''while''' k > 0 && s[i] != s[k + 1]
k = <tex>\pi</tex>[k]
'''if''' s[i] == s[k + 1]
k++
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>while</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Внутри цикла <tex>while</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, а из предыдущего утверждения получается, что оно не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>while</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Литература ==
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296.

Префикс-функция

2012-06-12T18:27:14Z

Vasin:

Префикс-функция строки <tex>s</tex> {{---}} функция <tex>\pi(i) = \max\limits_{k \in \mathbb N} \{ 0, k : k < i,</tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>.
==Алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex> = [0,..,0]
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' k = 1 '''to''' i - 1
'''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Пример===
Рассмотрим строку abcabcd, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Оптимизация==
Вносятся несколько важных замечаний:
*Следует заметить, что <tex>\pi(i) \le \pi(i-1) + 1</tex>. По определению префикс функции верно, что <tex>s[1..\pi(i)] = s[i - \pi(i) + 1..i]</tex>. Отсюда получается, что <tex>s[1..\pi(i) - 1] = s[i - \pi(i) + 1..i - 1]</tex>. Поскольку <tex>\pi</tex> это наибольший префикс равный суффиксу, то <tex>\pi(i - 1) \ge \pi(i) - 1</tex>.
*Избавимся от явных сравнений строк. Для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делать это нужно следующим образом. За исходное <tex>k</tex> нужно взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.

[[Файл:Prefix2.jpg‎]]
===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex>[1] = 0
k = 0
'''for''' i = 2 '''to''' n
'''while''' k > 0 && s[i] != s[k + 1]
k = <tex>\pi</tex>[k]
'''if''' s[i] == s[k + 1]
k++
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>while</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Внутри цикла <tex>while</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, а из предыдущего утверждения получается, что оно не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>while</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Литература ==
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296.

Префикс-функция

2012-06-12T18:05:20Z

Vasin:

Префикс-функция строки <tex>s</tex> {{---}} функция <tex>\pi(i) = \max\limits_{k \in \mathbb N} \{ 0, k | k < i,</tex> <tex>s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}</tex>.
==Алгоритм==
Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex> = [0,..0]
'''for''' i = 1 '''to''' n
'''for''' k = 1 '''to''' i - 1
'''if''' s[1..k] == s[i - k + 1..i]
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Пример===
Рассмотрим строку abcabcd, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0]</tex>.
{| class="wikitable"
! Шаг || Строка || Значение функции
|-
| <tex>1</tex> || a || 0
|-
| <tex>2</tex> || ab || 0
|-
| <tex>3</tex> || abc || 0
|-
| <tex>4</tex> || abca || 1
|-
| <tex>5</tex> || abcab || 2
|-
| <tex>6</tex> || abcabc || 3
|-
| <tex>7</tex> || abcabcd || 0
|}

===Время работы===
Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>.

==Оптимизация==
Вносятся несколько важных замечаний:
*Следует заметить, что <tex>\pi(i) \le \pi(i-1) + 1</tex>. По определению префикс функции верно, что <tex>s[1..\pi(i)] = s[i - \pi(i) + 1..i]</tex>. Отсюда получается, что <tex>s[1..\pi(i - 1)] = s[i - \pi(i) + 1..i - 1]</tex>. Поскольку <tex>\pi</tex> это наибольший префикс равный суффиксу, то <tex>\pi(i - 1) \ge \pi(i) - 1</tex>.
*Избавимся от явных сравнений строк. Для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = \pi(i) - 1</tex>. Делать это нужно следующим образом. За исходное <tex>k</tex> нужно взять <tex>\pi(i - 1)</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k+1]</tex> и <tex>s[i]</tex> не совпадают, <tex>\pi(k)</tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k=0</tex>, то <tex>\pi(i)=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>\pi(i)=0</tex>.

[[Файл:Prefix2.jpg‎]]
===Псевдокод===
'''Prefix_function''' (<tex>s</tex>)
<tex>\pi</tex>[1] = 0
k = 0
'''for''' i = 2 '''to''' n
'''while''' k > 0 && s[i] != s[k + 1]
k = <tex>\pi</tex>[k]
'''if''' s[i] == s[k + 1]
k++
<tex>\pi</tex>[i] = k
'''return''' <tex>\pi</tex>

===Время работы===
Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>while</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Внутри цикла <tex>while</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, а из предыдущего утверждения получается, что оно не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>while</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n)</tex>.

== Литература ==
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296.