http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=176.59.17.215&feedformat=atomВикиконспекты - Вклад участника [ru]2024-03-29T07:19:26ZВклад участникаMediaWiki 1.30.0http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BF%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83&diff=63049Получение номера по объекту2017-12-26T16:08:45Z<p>176.59.17.215: /* Разбиение на слагаемые */ косметические изменения</p>
<hr />
<div>== Описание алгоритма ==<br />
Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). <br />
Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:<br />
*<tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта,<br />
*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект, состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>,<br />
*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1</tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>,<br />
<br />
'''int''' object2num(a: '''list<A>'''):<br />
numOfObject = 0 <br />
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта</font><br />
'''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 <font color=green>// перебираем элементы, в лексикографическом порядке меньшие рассматриваемого</font><br />
'''if''' элемент <tex>j</tex> можно поставить на <tex>i</tex>-e место<br />
numOfObject += d[i][j]<br />
'''return''' numOfObject<br />
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex> поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. <br />
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.<br />
<br />
== Битовые вектора ==<br />
Рассмотрим алгоритм получения номера <tex>i</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера <tex>n</tex>.<br />
Всего существует <tex>2^n</tex> битовых векторов длины <tex>n</tex>.<br />
На каждой позиции может стоять один из двух элементов независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск элементов меньше рассматриваемого можно упростить до проверки элемента на равенство <tex>1</tex>: <br />
*<tex>\mathtt{bitvector[1..n]}</tex> {{---}} данный вектор,<br />
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} искомый номер вектора,<br />
<br />
'''int''' bitvector2num(bitvector: '''list<int>'''):<br />
numOfBitvector = 0<br />
'''for''' i = 1 '''to''' n <br />
'''if''' bitvector[i] == 1 <br />
numOfBitvector += <tex>2^{n-i}</tex><br />
'''return''' numOfBitvector<br />
<br />
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n) </tex>.<br />
<br />
== Перестановки ==<br />
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера <tex>n</tex>,<br />
*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данная перестановка,<br />
*<tex>\mathtt{P[1..n]}</tex> {{---}} количество перестановок данного размера,<br />
*<tex>\mathtt{was[1..n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке,<br />
<br />
'''int''' permutation2num(a: '''list<int>'''):<br />
numOfPermutation = 0<br />
'''for''' i = 1 '''to''' n <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в перестановке</font> <br />
'''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 <font color=green>// перебираем элементы, лексикографически меньшие нашего, которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте</font> <br />
'''if''' was[j] == ''false'' <font color=green>// если элемент <tex>j</tex> ранее не был использован</font> <br />
numOfPermutation += P[n - i] <font color=green>// все перестановки с префиксом длиной <tex>i-1</tex> равным нашему, и <tex>i</tex>-й элемент у которых</font> <br />
<font color=green>меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки</font> <br />
was[a[i]] = ''true'' <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован</font> <br />
'''return''' numOfPermutation<br />
<br />
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex> и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта.<br />
<br />
== Сочетания ==<br />
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}$$</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}$$</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:<br />
*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,<br />
*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,<br />
*<tex>\mathtt{choose[1..K]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее из <tex>K</tex> чисел от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>\mathtt{choose[0] = 0}</tex>,<br />
<br />
'''int''' choose2num(choose: '''list<int>'''):<br />
numOfChoose = 0<br />
'''for''' i = 1 '''to''' K <br />
'''for''' j = choose[i - 1] + 1 '''to''' choose[i] - 1<br />
numOfChoose += C[N - j][K - i]<br />
'''return''' numOfChoose<br />
<br />
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(K \cdot N) </tex> и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта.<br />
<br />
== Разбиение на слагаемые ==<br />
Рассмотрим алгоритм получения номера, в лексикографическом порядке, по данному разбиению на слагаемые числа <tex>N</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически, и будем строить его. <br />
<br />
*<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения<br />
*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.<br />
*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже поставили.<br />
*<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение<br />
*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>. <br />
<br />
Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> {{---}} по убыванию <tex>j</tex>. <br />
<br />
Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex> (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>). <br />
<br />
Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>:<br />
<br />
<p><br />
<tex dpi = "145">d[i][j] = <br />
\left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j \\ d[i][j + 1] + d[i - j][j], & i > j \end{array} \right. <br />
</tex><br />
</p><br />
<br />
<br />
'''int''' part2num(part: '''list<int>'''):<br />
numOfPart = 0, last = 0, sum = 0<br />
'''for''' i = 1 '''to''' part.size<br />
'''for''' j = last '''to''' part[i] - 1 <font color=green>// перебираем все элементы, лексикографически меньшие текущего, но не меньшие предыдущего</font> <br />
numOfPart += d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, которые могли начинаться с <tex>j</tex></font><br />
sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font><br />
last = part[i] <font color=green>// обновляем последний поставленный элемент </font><br />
'''return''' numOfPart <font color=green>// возвращаем ответ</font><br />
<br />
Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>N</tex>, так как всего количество возможных слагаемых {{---}} <tex>N</tex>, и ни какое из них цикл не обработает дважды, поскольку каждый раз начинает с <tex>last</tex>, которое больше чем любое из обработанных чисел. Поэтому асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(N)</tex>.<br />
<br />
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex> O (N)</tex> и <tex>O(N^2)</tex> на предподсчёт.<br />
<br />
== См. также ==<br />
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]<br />
*[[Получение следующего объекта|Получение следующего объекта]]<br />
*[[Правильные скобочные последовательности#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|Получение номера правильной скобочной последовательности]]<br />
<br />
== Источники информации ==<br />
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31<br />
*Дискретная математика. Теория и практика решения задач по информатике / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Комбинаторика]]</div>176.59.17.215