http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Komarov&feedformat=atomВикиконспекты - Вклад участника [ru]2024-03-28T15:29:00ZВклад участникаMediaWiki 1.30.0http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Komarov&diff=55458Обсуждение участника:Komarov2016-10-06T13:47:00Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div><tex>2 + \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i}</tex></div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Komarov&diff=55457Обсуждение участника:Komarov2016-10-06T13:34:34Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div><tex>a + \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i}</tex></div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Komarov&diff=55456Обсуждение участника:Komarov2016-10-06T13:23:52Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div><tex>1 + \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i}</tex></div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Komarov&diff=55455Обсуждение участника:Komarov2016-10-06T12:55:53Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div><tex>\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i}</tex></div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=32037Сопряжённый оператор2013-06-12T13:25:07Z<p>Komarov: /* Теорема 1 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\subset</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\supset</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31961Теория Гильберта-Шмидта2013-06-12T08:14:07Z<p>Komarov: /* Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
<tex>\Longrightarrow</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.<br />
<br />
<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex> <br />
<br />
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:<br />
<br />
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]<br />
<br />
{{TODO|t=почему-то не используется самосопряженность}}<br />
<br />
Второй пункт — просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=ну понятно же, мне лень писать}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.<br />
<br />
Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31915Теория Гильберта-Шмидта2013-06-11T22:48:51Z<p>Komarov: более не актуально</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
<tex>\Longrightarrow</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.<br />
<br />
<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex> <br />
<br />
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:<br />
<br />
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]<br />
<br />
{{TODO|t=почему-то не используется самосопряженность}}<br />
<br />
Второй пункт — просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=ну понятно же, мне лень писать}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.<br />
<br />
Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31904Базис Шаудера2013-06-11T22:14:53Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры:<br />
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера<br />
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера<br />
* но не у всех банаховых пространств он есть<br />
<br />
Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство. <br />
<br />
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}<br />
<br />
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),<br />
которая сходится в себе, то есть<br />
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:<br />
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex><br />
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le<br />
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.<br />
<br />
В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:<br />
<br />
<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex><br />
<br />
Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.<br />
<br />
Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.<br />
<br />
Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.<br />
<br />
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
почти конечномерность компактного оператора<br />
|statement=<br />
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:<br />
<br />
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex><br />
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex><br />
|proof=<br />
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex><br />
<br />
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.<br />
<br />
По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.<br />
<br />
Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.<br />
<br />
Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.<br />
<br />
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.<br />
<br />
<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.<br />
<br />
Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex><br />
<br />
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.<br />
<br />
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\Rightarrow</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).<br />
<br />
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.<br />
}}<br />
<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31871Сопряжённый оператор2013-06-11T19:14:58Z<p>Komarov: /* Теорема 2 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_(3_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81)&diff=31742Нормированные пространства (3 курс)2013-06-11T08:07:11Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{Определение<br />
|id=defvs<br />
|definition=<br />
'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:<br />
* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:<br />
** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;<br />
** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;<br />
* Для операции умножения на скаляр:<br />
** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;<br />
** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defnorm<br />
|definition=<br />
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:<br />
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}</tex><br />
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex><br />
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex><br />
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.<br />
<br />
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры НП:<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex><br />
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex><br />
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.<br />
* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.<br />
}}<br />
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.<br />
<br />
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:<br />
<br />
Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 > n \|x\|_2 </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.<br />
<br />
В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.<br />
<br />
Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс<br />
|id=riesz<br />
|statement=<br />
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.<br />
|proof=<br />
Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.<br />
<br />
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.<br />
<br />
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.<br />
<br />
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.<br />
<br />
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex><br />
<br />
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:<br />
* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.<br />
* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром<br />
<br />
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна.<br />
<br />
Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.<br />
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex><br />
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex><br />
<br />
По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex><br />
<br />
<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.<br />
<br />
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.<br />
<br />
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.<br />
<br />
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.<br />
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.<br />
|proof=<br />
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.<br />
<br />
Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.<br />
<br />
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.<br />
<br />
<tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>.<br />
<br />
Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.<br />
<br />
По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.<br />
<br />
Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>.<br />
<br />
Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}<br />
<br />
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31735Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T07:21:42Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна? // Было же что-то такое уже. Возьмём шар <tex>V=\{\alpha : \|\alpha\| < 3\|x_0\|\}</tex>. Смысла выходить за него нет, так как гарантированно лучше было бы взять <tex>\alpha = 0</tex>. Не понмю, правда, где конкретно это было.--[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 10:55, 11 июня 2013 (GST)}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> {{TODO|t=очень подозрительно. с чего бы так? Из конечномерности ядра же не следует конечномерность оператора--[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 11:21, 11 июня 2013 (GST)}}<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31730Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T06:55:00Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна? // Было же что-то такое уже. Возьмём шар <tex>V=\{\alpha : \|\alpha\| < 3\|x_0\|\}</tex>. Смысла выходить за него нет, так как гарантированно лучше было бы взять <tex>\alpha = 0</tex>. Не понмю, правда, где конкретно это было.--[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 10:55, 11 июня 2013 (GST)}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex><br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31716Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T06:30:17Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex><br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31707Базис Шаудера2013-06-11T05:37:47Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры:<br />
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера<br />
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера<br />
* но не у всех банаховых пространств он есть<br />
<br />
Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство. <br />
<br />
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.<br />
|proof=<br />
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),<br />
которая сходится в себе, то есть<br />
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:<br />
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex><br />
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le<br />
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}<br />
}}<br />
<br />
Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.<br />
<br />
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
почти конечномерность компактного оператора<br />
|statement=<br />
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:<br />
<br />
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex><br />
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex><br />
|proof=<br />
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex><br />
<br />
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.<br />
<br />
По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.<br />
<br />
Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.<br />
<br />
Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.<br />
<br />
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.<br />
<br />
<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.<br />
<br />
Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex><br />
<br />
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.<br />
<br />
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.<br />
<br />
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.<br />
}}<br />
<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31667Компактный оператор2013-06-10T21:25:37Z<p>Komarov: /* Пример */</p>
<hr />
<div>Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно<br />
}}<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>. <br />
}}<br />
<br />
<br />
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.<br />
<br />
=== Пример ===<br />
<br />
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.<br />
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.<br />
<br />
Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.<br />
<br />
Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.<br />
|proof=<br />
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи {{TODO|t=которой у нас не было}} о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:<br />
<br />
<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex><br />
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex><br />
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.<br />
<br />
<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex><br />
<br />
<tex>\|Ax\| \le M</tex><br />
<br />
<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex><br />
<br />
<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.<br />
<br />
Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Критерий проверки компактности ==<br />
<br />
Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.<br />
<br />
Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.<br />
<br />
== Произведение компактных операторов ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement = <br />
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:<br />
<br />
# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.<br />
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.<br />
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.<br />
<br />
Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.<br />
<br />
$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.<br />
<br />
Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.<br />
<br />
$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=следствие<br />
|statement=<br />
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.<br />
|proof=<br />
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement = <br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).<br />
|proof = <br />
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.<br />
<br />
<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex><br />
<br />
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.<br />
<br />
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве. <br />
<br />
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31633Сопряжённый оператор2013-06-10T18:27:36Z<p>Komarov: /* Теорема 1 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31630Сопряжённый оператор2013-06-10T18:10:00Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31627Сопряжённый оператор2013-06-10T18:01:29Z<p>Komarov: ЕЩЁ ЖИРНЫЙ НОЛЬ!!!!1111</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31623Сопряжённый оператор2013-06-10T17:51:26Z<p>Komarov: ЖИРНЫЙ НОЛЬ!!!!111</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31620Сопряжённый оператор2013-06-10T17:42:37Z<p>Komarov: /* Примеры сопряженных операторов */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%8D%D1%8F&diff=30994Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя2013-06-05T16:58:12Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div><br />
==Теорема==<br />
{{ Теорема<br />
| statement = Существуют такие оракулы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, что <tex>\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} </tex> и <tex>\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} </tex>.<br />
| proof = <br />
'''Существование оракула <tex>A</tex>'''<br />
<br />
Рассмотрим [[PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) | PS-полный язык <tex>\mathrm{TQBF}</tex>]].<br />
<br />
<tex><br />
\mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq}<br />
\mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq}<br />
\mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=}<br />
\mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=}<br />
\mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq}<br />
\mathrm{P^{TQBF}}<br />
\Rightarrow<br />
</tex><br/><br />
<tex>\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex>.<br />
<br />
# <tex> \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} </tex>.<br />
# Так как <tex>S(p,x) \le T(p, x)</tex>, то <tex> \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} </tex>.<br />
# По [[ Класс PS. Теорема Сэвича. Совпадение классов NPS и PS | теореме Сэвича]] <tex> \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} </tex>.<br />
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} </tex>.<br />
# <tex> \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} </tex>.<br />
<br />
Следовательно, <tex>\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}</tex><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Существование оракула <tex>B</tex>'''<br />
<br />
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>. <br />
<br />
Пронумеруем все полиномиальные программы, получим последовательность <tex>M_i</tex>. Множество <tex>B</tex> будем строить итеративно, на очередной итерации номер <tex>i</tex> делая так, что программа <tex>M_i</tex> не распознает множество <tex>U_B</tex>.<br />
<br />
В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова <tex>n_i</tex> мы будем работать. Для <tex>n_i</tex> должны быть выполнены три условия:<br />
* <tex>2^{n_i} > T(M_i, (1)^{n_i})</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)<br />
* <tex>n_i > n_{i-1}</tex>, (слово должно быть длиннее, чем слово, с которым мы работали на предыдущем шаге)<br />
* <tex>n_i > \max\limits_{s \in B} |s|</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>B</tex> всегда конечное число элементов)<br />
<br />
Затем запустим программу <tex>M_i</tex> на слове <tex>(1)^n</tex>. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества <tex>B</tex>, будем делать следующее:<br />
* если запрошенное слово ранее было добавлено в множество <tex>B</tex>, отвечаем <tex>ACCEPT</tex><br />
* в противном случае отвечаем <tex>REJECT</tex><br />
<br />
Если программа отработала и решила, что слово <tex>(1)^n</tex> принадлежит языку <tex>U_B</tex>, ничего делать не надо: ни одного слова длины <tex>n</tex> в языке <tex>B</tex> нет, и никогда не появится (из-за второго и третьего требования к длине обрабатываемых слов).<br />
<br />
В противном случае, необходимо найти такое слово длины <tex>n</tex>, о котором программа <tex>M_i</tex> не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины <tex>n</tex>), и добавить это слово в множество <tex>B</tex>. После этого все слова длины <tex>n</tex> автоматически добавятся в язык <tex>U_B</tex>, и программа <tex>M_i</tex> не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове <tex>(1)^n</tex>).<br />
}}<br />
<br />
==Следствие==<br />
<br />
{{ Утверждение<br />
| statement = Если существует решение вопроса равенства <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex> \mathrm{NP}</tex>, то оно не должно «релятивизоваться».<br />
}}<br />
<br />
Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex>\mathrm{NP}</tex> не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.<br />
<br />
[[Категория: Теория сложности]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=PS-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB_%D1%81_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(TQBF)&diff=30956PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF)2013-06-04T16:25:50Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{Определение<br />
|definition=<tex>\mathrm{TQBF}</tex> расшифровывается как '''True Quantified Boolean Formula'''. Это язык верных булевых формул с кванторами.<br/><br />
<tex>\mathrm{TQBF}=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}</tex>.<br />
}}<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>Quantified Boolean Formula</tex> — это пропозициональная формула с кванторами. Кванторы для каждой переменной записываются в начале выражения.<br />
}}<br />
{{Лемма<br />
|about=1<br />
|statement=<tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS}</tex>.<br />
|proof=Чтобы доказать это, просто приведём программу <tex>solve</tex>, решающую булеву формулу с кванторами на <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающую за конечное время.<br />
<tex>solve(Q_1 x_1 \ldots Q_n x_n \phi(x_1, \ldots, x_n))</tex><br />
'''if''' n == 0<br />
'''return''' <tex>\phi</tex> <br />
'''if''' <tex>Q_1 = \forall</tex><br />
'''return''' <tex>solve(Q_{2} x_{2} \ldots Q_n x_n \phi(0, x_{2}, \ldots, x_n)) \land solve(Q_{2} x_{2} \ldots Q_n x_n \phi(1, x_{2}, \ldots, x_n))</tex><br />
'''if''' <tex>Q_1 = \exists</tex><br />
'''return''' <tex>solve(Q_{2} x_{2} \ldots Q_n x_n \phi(0, x_{2}, \ldots, x_n)) \lor solve(Q_{2} x_{2} \dots Q_n x_n \phi(1, x_{2}, \ldots, x_n))</tex><br />
Эта программа требует <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — <tex>n</tex>.<br />
}}<br />
{{Лемма<br />
|about=2<br />
|statement=<tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}</tex>.<br />
|proof=Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>. <br />
Построим такую функцию <tex>f</tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow f(x) \in \mathrm{TQBF}</tex> и <tex>T(f, x) \le p(|x|)</tex>, где <tex>p</tex> — полином.<br />
<br />
Так как <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>, то существует детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, распознающая его с использованием памяти полиномиального размера. Будем считать, что длина ленты машины <tex>M</tex> есть <tex>r(n)</tex>, где <tex>r</tex> — полином, а <tex>n</tex> — длина входа. <br />
<br />
Пусть <tex>w = |\Sigma \cup Q|</tex>, <tex>I</tex> — конфигурация <tex>M</tex>. Конфигурация задаётся позицией и содержанием рабочей ленты. Введём обозначение <tex>x_{I,i,c}</tex> — в конфигурации <tex>I</tex> на <tex>i</tex>-том месте стоит символ <tex>c</tex>. Тогда размер конфигурации равен <tex>w r(n)</tex>. Следовательно всего конфигураций <tex>2^{w r(n)}</tex>.<br />
<br />
Под выражением <tex>\exists I</tex> будем понимать <tex> \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_w} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots</tex> Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_w} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots</tex><br />
<br />
Рассмотрим функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, проверяющую следующее условие: конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов.<br />
<br />
<tex>\phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \vdash B)</tex>.<br />
<br />
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)]</tex>.<br />
<br />
Общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = 2 L(t-1)+const</tex>. Заметим, что из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии <tex>L(t)</tex> будет иметь экспоненциальный размер относительно <tex>t</tex>. Нас это не устраивает, так как нам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором <tex>\forall</tex> и перепишем её следующим образом:<br />
<br />
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{[(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)] \rightarrow \phi(U, V, t-1)\}</tex>.<br />
<br />
Получившаяся формула верна, если существует такая промежуточная конфигурация <tex>R</tex>, что для любых конфигураций <tex>U</tex> и <tex>V</tex> из того, что эти конфигурации нам интересны следует, что верно <tex>\phi(U, V, t-1)</tex>. А значит, конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов.<br />
<br />
За один шаг рекурсии длина максимального пути между конфигурациями уменьшается в два раза. Поэтому общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = L(t-1)+const</tex>, где <tex>const = \|\exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\| + \|\land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}\|</tex>.<br />
Следовательно, размер полученной функции <tex>\phi(A, B, t)</tex> полиномиален относительно <tex>t</tex>.<br />
<br />
Теперь мы можем записать функцию <tex>f(M, w)</tex>, которая будет переводить ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в формулу из <tex>\mathrm{TQBF}</tex>.<br />
<br />
<tex>f(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \phi(S, F, log_2(2^{w r(n)})))</tex>.<br />
<br />
Выражения <tex>S - start</tex> и <tex>F - accept</tex> можно записать следующим образом:<br />
<br />
<tex>S - start = x_{S, 1, w[1]} \land x_{S, 2, w[2]} \land \ldots \land x_{S, |w|, w[|w|]} \land x_{S, |w| + 1, B} \ldots \land x_{S, r(n) , B}</tex>.<br />
<br />
<tex>F - accept = x_{F, 1, \#_y} \lor \ldots \lor x_{F, r(n), \#_y}</tex>.<br />
<br />
<br />
Докажем, что сведение <tex>f</tex> корректно.<br />
<br />
Если <tex>w \in L</tex>, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную, длины не более, чем <tex>2^{w r(n)}</tex>, а значит формула <tex>f(M, w)</tex> верна.<br />
<br />
Если формула <tex>f(M, w)</tex> оказалась верна, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не более, чем <tex>2^{w r(n)}</tex>. Значит, ДМТ <tex>M</tex> допускает слово <tex>w</tex>. Тогда <tex>w \in L</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC}</tex>.<br />
|proof=Доказательство непосредственно следует из лемм. <br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Теория сложности]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%87%D1%83%D0%BD%D0%B0&diff=30954Теорема Бермана — Форчуна2013-06-04T15:02:27Z<p>Komarov: это вообще кто-нибудь проверял?</p>
<hr />
<div>{{Лемма<br />
|about=1<br />
|statement=Язык <tex>L</tex> является <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полным тогда и только тогда, когда <tex>\overline L</tex> является <tex>\mathrm{NP}</tex>-полным (то есть <tex>L \in \mathrm{coNP\mbox{-}C} \Leftrightarrow L \in \mathrm{co\mbox{-}NPC}</tex>).<br />
|proof=Пусть <tex>L</tex> {{---}} <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полный. Тогда <tex>L \in \mathrm{coNP}</tex> и <tex>\overline L \in \mathrm{NP}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим произвольный язык <tex>L_1 \in \mathrm{NP}</tex>. Тогда <tex>\overline {L_1} \in \mathrm{coNP}</tex>. Так как <tex>L</tex> {{---}} <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полный, то <tex>\overline {L_1} \le L</tex>, следовательно <tex>L_1 \le \overline L</tex> (по [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#lemma|лемме]]).<br />
<br />
Получили, что <tex>\overline L \in \mathrm{NP}</tex> и <tex>\forall L_1 \in \mathrm{NP} \Rightarrow L_1 \le \overline L</tex>. Значит <tex>\overline L \in \mathrm{NPC}</tex>.<br />
В обратную сторону доказательство аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex>\mathrm{TAUT} = \{\phi</tex> {{---}} булева формула <tex>\bigm{|} \forall x = (x_1, x_2, \ldots , x_m) \, \phi(x)=1\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|about=2<br />
|statement=<tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>.<br />
|proof=<tex>\overline {\mathrm{TAUT}} = \{\phi \bigm{|} \exists x : \phi(x) \ne 1\} = \{\phi \bigm{|} \overline {\phi} \in \mathrm{SAT}\}</tex>, то есть <tex>\mathrm{SAT} \le \overline {\mathrm{TAUT}} \, (f(\phi) = \overline {\phi})</tex>. Кроме того, <tex>\overline {\mathrm{TAUT}} \in \mathrm{NP}</tex> <tex>(</tex>в качестве сертификата используется <tex>x</tex>, на котором <tex>\phi(x) \ne 1)</tex>. Значит <tex>\overline{\mathrm{TAUT}} \in \mathrm{NPC}</tex>. Тогда по лемме (1) <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex>\mathrm{SPARSE} = \{L \bigm{|} \exists</tex> полином <tex>p: \forall n \, |L \cap \Sigma^n| \le p(n)\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<tex>\mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE} \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P} = \mathrm{NP}</tex>.<br />
|author=Берман, Форчун<br />
|proof=Пусть существует <tex>S \in \mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE}</tex>. Разрешим <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полином.<br />
<br />
Для начала напишем программу, разрешающую <tex>\mathrm{TAUT}</tex>:<br />
<tex>check(\phi, i)</tex>:<br />
'''if''' <tex>\phi=0</tex><br />
'''return''' 0<br />
'''if''' <tex>\phi=1</tex><br />
'''return''' 1<br />
'''if''' <tex>memo[\phi] \ne -1</tex><br />
'''return''' <tex>memo[\phi]</tex><br />
<tex>memo[\phi] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1) \wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex><br />
'''return''' <tex>memo[\phi]</tex> <br />
Ответом будет <tex>check(\phi, 1)</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex> и <tex>S \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{TAUT} \le S</tex>, то есть <tex>\exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : \phi \in \mathrm{TAUT} \Leftrightarrow f(\phi) \in S</tex>. Поэтому, если в предыдущей программе заменить все обращения к <tex>memo[\phi]</tex>, на <tex>memo[f(\phi)]</tex>, то полученная программа по-прежнему будет разрешать <tex>\mathrm{TAUT}</tex>.<br />
<br />
Оценим необходимый размер <tex>memo</tex>. Можно считать, что <tex>\mathrm{T}(f, \phi) \le q(n)</tex>, где <tex>n = |\phi|</tex>, а <tex>q</tex> {{---}} монотонно возрастающий полином. Тогда <tex>|f(\phi)| \le q(n)</tex>. Так как <tex>S \in \mathrm{SPARSE}</tex>, то <tex>|S \cap \Sigma^k| \le p(k)</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} полином. Можно считать, что <tex>p</tex> монотонно возрастает. Тогда размер <tex>memo</tex> (число слов длины не более <tex>q(n)</tex> в языке) можно оценить сверху: <tex>memo.size() \le \sum\limits_{i=0}^{q(n)}p(i) \le (1+q(n)) \cdot p(q(n)) \le r(n)</tex>, где <tex>r(n)</tex> {{---}} полином.<br />
<tex>check(\phi, i)</tex>:<br />
'''if''' <tex>\phi=0</tex><br />
'''exit''' 0<br />
'''if''' <tex>\phi=1</tex><br />
'''return''' 1<br />
'''if''' <tex>memo[f(\phi)] \ne -1</tex> //(1)<br />
'''return''' <tex>memo[f(\phi)]</tex><br />
<tex>memo[f(\phi)] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1) \wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex> //(2)<br />
'''if''' <tex>memo.size() > r(n)</tex><br />
'''exit''' <tex>0</tex><br />
'''return''' <tex>memo[f(\phi)]</tex><br />
[[Файл:Berman-Fortune.png|thumb|upright=2.0|Двоичное дерево, получающееся в результате рекурсивных вызовов модифицированной программы. Красным и желтым помечены узлы, в которых происходит обращение к элементу ''memo[j]''. В красных узлах условие ''(1)'' ложно, в желтых {{---}} истинно.]]<br />
Рассмотрим двоичное дерево, получающееся в результате рекурсивных вызовов данной программы.<br />
<br />
Рассмотрим произвольный элемент <tex>memo[j]</tex>. Найдем, сколько раз условие <tex>(1)</tex> в ходе выполнения программы является ложным при обращении к элементу <tex>memo[j]</tex>. Найдем в дереве такой узел, в котором есть обращение к <tex>memo[j]</tex>, а в его поддереве обращений к этому элементу нет, причем <tex>memo[j] = -1</tex>. До этого момента количество обращений к <tex>memo[j]</tex> не превышает глубины найденного узла, что не превосходит высоты дерева, что не превосходит некоторого полинома <tex>p'(n)</tex>. После этого момента условие <tex>(1)</tex> будет принимать истинное значение при обращении к <tex>memo[j]</tex>. Значит, в ходе выполнения программы условие <tex>(1)</tex> является ложным при обращении к <tex>memo[j]</tex> не более <tex>p'(n)</tex> раз.<br />
<br />
Так как всего в <tex>memo</tex> не более <tex>r(n)</tex> элементов, то суммарно за все время выполнения программы условие <tex>(1)</tex> принимает ложное значение не более <tex>p''(n) = r(n) \cdot p'(n)</tex> раз, то есть <tex>p''</tex> {{---}} полином. Отсюда следует, что присваивание <tex>(2)</tex> выполняется не более <tex>p''(n)</tex> раз, а значит в дереве не более <tex>p''(n)</tex> внутренних вершин. Значит всего в дереве не более <tex>2 \cdot p''(n) + 1</tex> вершин, то есть данная программа работает за полиномиальное время.<br />
<br />
Итого, данная программа разрешает <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полиномиальное время. А так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{P}=\mathrm{coNP}</tex>, то есть <tex>\mathrm{coP}=\mathrm{coNP}</tex>, откуда <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== См. также ==<br />
*[[Класс P]]<br />
*[[Классы NP и Σ₁]]<br />
<br />
[[Категория: Теория сложности]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8_%D1%91%D0%BC%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%8F%D1%85&diff=30947Теоремы о временной и ёмкостной иерархиях2013-06-04T12:26:19Z<p>Komarov: G/</p>
<hr />
<div>{{Теорема<br />
|about=о емкостной иерархии<br />
|id=space<br />
|statement=Пусть даны две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, что <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DSPACE(f(n)) \neq DSPACE(g(n))</tex><ref>Строго говоря, теорема верна только для конструируемых по памяти функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Функция <tex>f</tex> называется конструируемой по памяти, если можно вычислить ее значение, используя не более <tex>f(x)</tex> памяти (см. [1]).</ref>.<br />
|proof=<br />
<!--Понятно, что <tex>DSPACE(f(n)) \subseteq DSPACE(g(n))</tex>, поскольку программа, ограниченная по памяти функцией <tex>f</tex>, проходит ограничение <tex>g</tex>.<br /> --><br />
Для доказательства воспользуемся диагональным методом.<br />
<ref>Суть данного метода для набора множеств <tex>\{A_x\}</tex> заключается в построении нового множества <tex>B</tex> по принципу: <tex>x \in B \Leftrightarrow x \notin A_x</tex> (в таком случае <tex>A_x \neq B</tex> для любого <tex>x</tex>). Аналогичный прием можно применять для набора функций <tex>\{f_i\}</tex> путем построения новой функции <tex>f':f'(x) \neq f_x(x)</tex>. Элементы <tex>f_x(x)</tex> иногда называют диагональными, поскольку находятся на диагонали таблицы «функция — аргумент».<br />
<br/><br />
{| class="wikitable" align="centre"<br />
|-<br />
| ||<tex>0</tex>||<tex>1</tex>||<tex>\cdots</tex><br />
|-<br />
|<tex>f_0</tex>||<tex>\mathbf{f_0(0)}</tex>||<tex>f_0(1)</tex>||<tex>\cdots</tex><br />
|-<br />
|<tex>f_1</tex>||<tex>f_1(0)</tex>||<tex>\mathbf{f_1(1)}</tex>||<tex>\cdots</tex><br />
|-<br />
|<tex>\vdots</tex>||<tex>\vdots</tex>||<tex>\vdots</tex>||<tex>\ddots</tex><br />
|-<br />
|}<br />
</ref><br />
<br/><br />
Рассмотрим функцию <tex>h(n)=\sqrt{f(n)g(n)}</tex> и язык <tex>L=\{x\bigm|x(x)\Bigr|_{S\leq h(|x|)}\neq 1\}</tex>, где запись <tex>S\leq h(|x|)</tex> означает, что программа запускается с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex>. Иначе говоря, <tex>L</tex> — это язык программ, которые не допускают собственный код, используя не более <tex>h(|x|)</tex> памяти.<br/><br />
Докажем, что <tex>L\in DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex>.<br/><br />
* <tex>L \in DSPACE(g(n))</tex>. Действительно, для проверки принадлежности программы <tex>x</tex> языку достаточно запустить её с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex> и проверить, что результат не равен 1. Тогда вся проверка будет выполнена с использованием не более <tex>g(|x|)</tex> памяти в силу накладываемых ограничений.<br /><br />
* <tex>L \notin DSPACE(f(n))</tex>. Пусть это не так, тогда существует программа <tex>p</tex>, распознающая язык <tex>L</tex> и использующая не более <tex>c \cdot f(n)</tex> памяти. Так как <tex>f(n)=o(h(n))</tex>, то <tex>\exists n_0: \forall n>n_0 \Rightarrow c\cdot f(n)<h(n)</tex>. Будем считать, что <tex>|p|>n_0</tex> (иначе добавим в программу пустые строки, искусственно увеличив её длину), тогда при вызове <tex>p(p)</tex> потребуется не более <tex>h(|p|)</tex> памяти. Выясним, принадлежит ли <tex>p</tex> языку <tex>L</tex>. Допустим, что <tex>p\in L</tex>, тогда <tex>p(p)=1</tex>, значит, <tex>p\notin L</tex> по определению языка <tex>L</tex>. Пусть теперь <tex>p\notin L</tex>. Но тогда <tex>p(p) \ne 1</tex>, следовательно, <tex>p\in L</tex>.<br />
Таким образом, язык <tex>L</tex> не может быть из <tex>DSPACE(f(n))</tex>, следовательно, язык из <tex>DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex> найден.}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=о временной иерархии<br />
|id=time<br />
|statement=Пусть даны две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, что <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{Sim(f(n))}{g(n)}=0</tex>, где <tex>Sim(n)</tex> — время симуляции <tex>n</tex> шагов одной машины Тьюринга на другой машине. Тогда <tex>DTIME(f(n)) \neq DTIME(g(n))</tex>. <br />
|proof=Доказательство аналогично доказательству [[Теоремы о временной и емкостной иерархиях#space|теоремы о емкостной иерархии]]. При этом в отличие от памяти, время работы машины Тьюринга меньше, чем время ее симуляции на другой машине, из-за чего на соотношение <tex>f</tex> и <tex>g</tex> поставлено более сильное условие.<br />
Положим <tex>h(n)=Sim^{-1}(g(n))</tex>, где <tex>Sim^{-1}</tex> — обратная к времени симуляции функция, <tex>L=\{x\bigm|x(x)\Bigr|_{T\leq h(|x|)}\neq 1\}</tex>. Тогда:<br />
* <tex>L \in DTIME(g(n))</tex>, поскольку <tex>Sim(h(n))=g(n)</tex>, то есть запуск с ограничением <tex>T \leq h(|x|)</tex> осуществляется за <tex>O(g(n))</tex> времени;<br />
* <tex>L \notin DTIME(f(n))</tex> (доказывается аналогично соответствующему пункту предыдущей теоремы с учетом соотношения <tex>f(n)=o(h(n))</tex>).<br />
}}<br />
<br />
== Примечания ==<br />
<references /><br />
<br />
== Литература ==<br />
# ''Sanjeev Arora, Boaz Barak'' — '''Computational Complexity: A Modern Approach''' — С. 69, 82. — 579 с. — '''ISBN 9780521424264'''<br />
<br />
[[Категория:Теория сложности]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=30933Теория Гильберта-Шмидта2013-06-03T19:20:28Z<p>Komarov: дописал</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex><br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex><br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex><br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex><br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathcal{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex><br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=wtf?}} <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны<br />
|proof=Рассмотрим <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex><br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
Для <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> проверено<br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> {{TODO|t=тут тоже муть}}<br />
<br />
<tex>\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A} \Rightarrow \operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex> (так как <tex>\operatorname{Ker} = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Докажем, что если <tex>\Im \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex><br />
<br />
с другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex><br />
<br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} замкнуто<br />
<br />
<tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{H})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора<br />
<br />
2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы.<br />
<br />
Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого.<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично для <tex>m_-</tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
<br />
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof='''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sum\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \le \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho)\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex><br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>)<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex></div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=30930Теория Гильберта-Шмидта2013-06-03T17:06:21Z<p>Komarov: lock</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex><br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex><br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex><br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex><br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathcal{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex><br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=wtf?}} <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны<br />
|proof=Рассмотрим <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex><br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
Для <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> проверено<br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> {{TODO|t=тут тоже муть}}<br />
<br />
<tex>\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A} \Rightarrow \operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex> (так как <tex>\operatorname{Ker} = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Докажем, что если <tex>\Im \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex><br />
<br />
с другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex><br />
<br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} замкнуто<br />
<br />
<tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
<s>{{TODO|t=на время отпускаю блокировку на статью}}</s><br />
{{TODO|t=lock}}</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=30929Теория Гильберта-Шмидта2013-06-03T16:18:39Z<p>Komarov: что-то написал</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex><br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex><br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex><br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex><br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathcal{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex><br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=wtf?}} <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны<br />
|proof=Рассмотрим <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex><br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex><br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
Для <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> проверено<br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex> {{TODO|t=тут тоже муть}}<br />
<br />
<tex>\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A} \Rightarrow \operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex> (так как <tex>\operatorname{Ker} = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Докажем, что если <tex>\Im \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex><br />
<br />
с другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex><br />
<br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} замкнуто<br />
<br />
<tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=на время отпускаю блокировку на статью}}</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=30928Теория Гильберта-Шмидта2013-06-03T14:55:27Z<p>Komarov: initial commit</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
В процессе</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_3_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81&diff=30927Функциональный анализ 3 курс2013-06-03T14:53:37Z<p>Komarov: СВЕЖИЕ ТЕМЫ!!</p>
<hr />
<div>==Конспекты лекций Н. Ю. Додонова== <br />
<br />
=== Глава I Функциональные пространства ===<br />
# [[Метрические пространства]] Вопросы 1, 2, 3, 4, 5<br />
# [[Нормированные пространства (3 курс) | Нормированные пространства ]] Вопросы 6, 7, 8<br />
# [[Гильбертовы пространства]] Вопросы 9, 11, 12, 13, 14, 15<br />
# [[Счетно-нормированные пространства]] Вопросы 17, 18<br />
# [[Топологические векторные пространства]] Вопросы 19, 20, 21<br />
<br />
=== Глава II Элементы линейного функционального анализа ===<br />
# [[Линейные функционалы]] Вопросы 22, 23, 24, 25, 28<br />
# [[Теорема Хана-Банаха]] Вопросы 26, 27<br />
# [[Линейные ограниченные операторы]] Вопросы 29, 30, 31, <br />
# [[Теорема Банаха-Штейнгауза]] Вопросы 32 <br />
# [[Теорема Банаха об обратном операторе]] Вопросы 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, <br />
# [[Спектр линейного оператора]] Вопросы 40, 41, 42, 43<br />
# [[Сопряженный оператор]]<br />
# [[Компактный оператор]]<br />
# [[Базис Шаудера]]<br />
# [[Альтернатива Фредгольма — Шаудера]]<br />
# ??????<br />
# [[Теория Гильберта-Шмидта]]<br />
# [[О нелинейных операторных уравнениях]]<br />
<br />
=== Экзамен ===<br />
* [[Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 5 семестр]]<br />
* [[Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр]]<br />
<br />
Также может пригодиться:<br />
<br />
* [[L_2-теория_рядов_Фурье]]<br />
* [[Наилучшее_приближение_в_линейных_нормированных_пространствах]]<br />
* [[Пространство_L_p(E)]]<br />
<br />
<br />
Краткие формулировки от предыдущих курсов: [[Функциональный анализ]]<br />
<br />
Используем категорию <nowiki>[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</nowiki><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=30390Обсуждение:Теорема Банаха-Штейнгауза2013-01-18T22:53:40Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>А почему в теореме мы пользуемся тем, что пространство <tex> Y </tex> -- банахово? Казалось бы, это может быть неверно. В то же время, банаховость <tex> X </tex> нигде не используется. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 18:07, 18 января 2013 (GST)<br />
: UPD: все хорошо, нам как раз и нужна банаховость <tex> X </tex>. --[[Служебная:Contributions/5.164.74.134|5.164.74.134]] 01:59, 19 января 2013 (GST)<br />
:: Ну подписывайтесь, пожааалуйста... --[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 02:53, 19 января 2013 (GST)</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B5&diff=30092Теорема Банаха об обратном операторе2013-01-16T17:40:03Z<p>Komarov: понятность</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
__TOC__<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Банах<br />
|about=о непрерывной обратимости I-C<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.<br />
Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим.<br />
|proof=<br />
<tex> \mathbb{L}(X) </tex> {{---}} B-пространство.<br />
<br />
Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>. <br />
<br />
<tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>.<br />
<br />
<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.<br />
<br />
Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \|^k </tex>, получаем <tex> \left\| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \right\| \le <br />
\sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C \|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in \mathbb{L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.<br />
<br />
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>.<br />
<br />
<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} ограниченный оператор.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость". <br />
<br />
'''Далее считаем, что пространства <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} всегда банаховы.'''<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.<br />
}}<br />
<br />
<tex> R(A) = \{ Ax \mid x \in X \} </tex> {{---}} область значений оператора <tex> A </tex>, является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> непрерывен, и уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, то <tex> R(A) = \mathrm{Cl} R(A) </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем сходящуюся последовательсть <tex> y_n \in R(A), y_n \to y </tex>. Нужно проверить, правда ли <tex> y \in R(A) </tex>, или, что то же самое, что уравнение <tex> Ax = y </tex> имеет решение для такого <tex> y </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n \to y \implies \| y_n - y_m \| \to 0 </tex>. Можно выбрать такую подпоследовательность <tex> y_n </tex>, что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться <tex> \| y_n - y_{n+1} \| < \frac 1{2^n} </tex>.<br />
<br />
По линейности <tex> R(A) </tex>: <tex> y_{n+1} - y_n \in R(A) </tex> и для любого <tex> n </tex> существует <tex> x_n: A x_n = y_{n+1} - y_n </tex>.<br />
<br />
Поскольку уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, имеем <tex> \| x_n \| \le \alpha \| y_{n+1} - y_n \| </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим следующий ряд: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. Сумма ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| y_{n+1} - y_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1{2^n} = \alpha </tex>. По банаховости <tex> X </tex> получаем, что <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex> сходится, и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = x </tex>.<br />
<br />
По непрерывности <tex> A </tex> получаем, что <tex> Ax = A \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} A x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_{n+1} - y_n = y - y_1 </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) </tex>, поэтому <tex> y \in R(A) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.<br />
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}<br />
Есть в Люстерике, Соболеве. стр.153 (1965г)<br />
Некоторые идеи:<br />
: Можно заметить, что в ядре только нулевой вектор, в противном случае получим <tex> 0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого также следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Если бы у нас была сюръективность, оператор был бы взаимо однозначным, мы бы определили <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>Y</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрели <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>. Но вроде ничего про нее в формулировке нет<br />
: Также можно заметить, что это отображение допускает априорную оценку решения, так как <tex>\|x\| \le \frac{1}{m} \|A x\|</tex>, из чего по уже доказанному следует замкнутость образа (неясно только нафига это может понадобиться) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:16, 9 января 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Банаха о гомеоморфизме ==<br />
Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Рассмотрим линейный оператор <tex> A : X \to Y </tex>. Обозначим <tex> X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} </tex>.<br />
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.<br />
|proof=<br />
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''.<br />
<br />
Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>.<br />
<br />
Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex>X_{n_0}</tex> лежит в <tex>X_m</tex>, то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в сдвинутом кольце.<br />
<br />
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \}, y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_m</tex>:<br />
<br />
<tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>. <br />
<br />
Поскольку <tex> z \in X_{n_0} </tex>, то <tex> \| Az \| \le n_0 \| z \| </tex>.<br />
<tex> \| z \| \le \| a \| + \| z - a \| \le r + \| a \| </tex>, так как <tex> z </tex> принадлежит кольцу.<br />
<br />
Подставляем и продолжаем неравенство выше: <tex> \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| </tex>. <br />
<br />
Обозначим <tex> m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil </tex> (это выражение не зависит от <tex> y </tex>), получаем, что <tex> \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m </tex>.<br />
<br />
Итак, получили, что <tex> X_m </tex> всюду плотно в кольце с центром в <tex> 0 </tex>. Возьмем теперь любой <tex> x \in X </tex>, его можно представить как <tex> x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} </tex>.<br />
<br />
По всюду плотности в кольце, найдется последовательность <tex>y_p</tex> в <tex>X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}</tex> такая, что <tex>y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.<br />
<tex> \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m </tex>.<br />
<br />
Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> t y_p \in X_m </tex>, а значит, <tex>\mathrm{Cl} \ X_m = X </tex>, то есть <tex>X_m</tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
На основе доказанной леммы можем доказать теорему:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=Банаха, о гомеоморфизме<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.<br />
|proof=<br />
<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет ограничен.<br />
<br />
Представим <tex>Y</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} Y_n</tex>, <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \}</tex> (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора).<br />
<br />
По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex>\mathrm{Cl} Y_{n_0} = Y </tex>, обозначим этот <tex>Y_{n_0}</tex> как <tex>Y^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим произвольный <tex> y \in Y </tex>. Покажем, что существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.<br />
<br />
По всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>.<br />
Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>. <br />
<br />
Проверим, что для всех <tex>y_n</tex> их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> \| y_n \| \le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \|</tex><tex> \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| </tex><br />
<br />
В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>.<br />
<br />
Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex> x_n = A^{-1}y_n </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>, проверим сходимость ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>.<br />
<br />
Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>. <br />
<br />
<tex> \| x_n \| = \| A^{-1} y_n \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>.<br />
<br />
Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}y = x </tex>. <br />
<br />
Рассмотрим норму <tex> A^{-1}y </tex>: <tex> \| A^{-1} y \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>.<br />
<br />
Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о замкнутом графике ==<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Графиком''' линейного оператора <tex> A: X \to Y </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>. <br />
}}<br />
<br />
В прямых произведениях множеств сходимость {{---}} покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=о замкнутом графике<br />
|statement=<br />
Линейный <tex>A : X \to Y </tex> ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут.<br />
|proof=<br />
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ?<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n, x_n \to x \implies Ax_n \to Ax, y_n \to y \implies Ax=y </tex> (по единственности предела). <br />
Так как <tex> Ax = y </tex>, то <tex> (x, Ax) = (x, y) \in G(A) </tex>.<br />
<br />
Обратное следствие интереснее.<br />
<br />
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут. <br />
<br />
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:<br />
* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно<br />
* Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_n, y_m - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел. <br />
<br />
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.<br />
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>. <br />
<br />
<tex> \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.<br />
<br />
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.<br />
<br />
<tex> T^{-1}(x) = (x, Ax), \| T^{-1}(x) \| = \| x \| + \| Ax \| \le M \| x \| </tex> (по ограниченности). Получаем, что <tex> \| Ax \| \le (M - 1) \| x \| </tex>, откуда <tex> A </tex> ограничен.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема об открытом отображении ==<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> F : X \to Y </tex> {{---}} произвольное отображение. Если для любого открытого <tex> G \subset X </tex> <tex> F(G) </tex> открыто в <tex> Y </tex>, то <tex> F </tex> называют '''открытым отображением'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=об открытом отображении<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение.<br />
|proof=<br />
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>, то есть окрытый. {{TODO|t=доказать это, упражнение. Вообще интересно, как вводить норму в фактор-пространстве? Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) тут] вводят как <tex>\|[x]\|_{X /_M} = \inf\limits_{m \in M} \| x - m \|_X</tex>, выглядит логично, но Додонов все равно вроде об этом не говорил.}}<br />
<br />
<br />
{{TODO|t=например можно попробовать так:}}<br />
<br />
1)<tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества<br />
<br />
2)<tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность.<br />
<br />
3)Определим норму, как <tex> ||[x]||_{X|_Z} = \inf \limits_{x \in Z} \| x- z \|_{X}</tex>. Ясно, что она удовлетворяет аксиомам нормы.<br />
<tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность<br />
<br />
<br />
Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие.<br />
<br />
Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен (по теореме Банаха), значит <tex> U_A </tex> — открытое отображение {{TODO|t=почему? Тут как-то надо, кажется, использовать, что для непрерывного отображения прообраз открытого множества открыт, но пока непонятно}}, а так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Ссылочки:<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapping_theorem_(functional_analysis) Open mapping theorem]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0&diff=30061Теорема Хана-Банаха2013-01-15T22:16:38Z<p>Komarov: пояснение</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):<br />
<br />
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;<br />
# теорема Банаха об обратном операторе;<br />
# теорема Штенгауза о равномерной ограниченности.<br />
<br />
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.<br />
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:<br />
# <tex>g|_Y = f</tex><br />
# <tex>x \in X \Rightarrow |g(x)| \le p(x)</tex><br />
}}<br />
<br />
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.<br />
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.<br />
|proof=<br />
Доказательство разбиваем на две части.<br />
<br />
'''1'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex>z \notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex><br />
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.<br />
<br />
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.<br />
<br />
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex><br />
<br />
Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.<br />
<br />
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.<br />
<br />
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex> распишем модуль:<br />
<br />
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex><br />
<br />
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex><br />
<br />
<br />
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(y) - p(y + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(y) + p(y + z))</tex>.<br />
<br />
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.<br />
<br />
Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:<br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как: <br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.<br />
<br />
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.<br />
<br />
'''2'''<br />
<br />
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.<br />
<br />
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex><br />
<br />
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.<br />
|proof=<br />
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.<br />
<br />
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.<br />
<br />
Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.<br />
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex><br />
|proof=<br />
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.<br />
<br />
Тогда для <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.<br />
<br />
Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0&diff=30051Теорема Хана-Банаха2013-01-15T19:21:53Z<p>Komarov: тся-ться!!!111</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):<br />
<br />
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;<br />
# теорема Банаха об обратном операторе;<br />
# теорема Штенгауза о равномерной ограниченности.<br />
<br />
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.<br />
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:<br />
# <tex>g|_Y = f</tex><br />
# <tex>x \in X \Rightarrow |g(x)| \le p(x)</tex><br />
}}<br />
<br />
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.<br />
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.<br />
|proof=<br />
Доказательство разбиваем на две части.<br />
<br />
'''1'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex>z \notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex><br />
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.<br />
<br />
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.<br />
<br />
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex><br />
<br />
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.<br />
<br />
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.<br />
<br />
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex> распишем модуль:<br />
<br />
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex><br />
<br />
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex><br />
<br />
<br />
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(y) - p(y + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(y) + p(y + z))</tex>.<br />
<br />
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.<br />
<br />
Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:<br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как: <br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.<br />
<br />
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.<br />
<br />
'''2'''<br />
<br />
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.<br />
<br />
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex><br />
<br />
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.<br />
|proof=<br />
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.<br />
<br />
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.<br />
<br />
Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.<br />
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex><br />
|proof=<br />
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.<br />
<br />
Тогда для <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.<br />
<br />
Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8B&diff=30049Линейные функционалы2013-01-15T18:35:37Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=linfuncdef<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если <br />
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.<br />
<br />
<tex> \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} </tex> — '''ядро функционала'''.<br />
}}<br />
<br />
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.<br />
<br />
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex>: Пусть <tex>x, y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, тогда <tex>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.<br />
<br />
== Коразмерность ==<br />
<br />
Выясним геометрическую структуру ядра.<br />
<br />
Напомним свойства отношения эквивалентности:<br />
<br />
1. Рефлексивность: <tex>x \sim x</tex><br />
<br />
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex><br />
<br />
3. Транзитивность: <tex>x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|id=factorsetdef<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество, <tex>Y</tex> линейное подмножество <tex>X</tex>. <br />
<br />
Введем отношение эквивалентности на <tex>X</tex>:<br />
<br />
<tex> x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y </tex><br />
<br />
<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.<br />
<br />
<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор-множество''' по <tex>Y</tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Операции над классами смежности:<br />
<br />
<tex> [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] </tex><br />
<br />
<tex> \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] </tex> <br />
<br />
Эти операции не зависят от представителя класса.<br />
<br />
Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=codimdef<br />
|definition=<br />
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>. <br />
<br />
<tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=codimeqn<br />
|statement=<br />
<br />
<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X </tex> такие, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y</tex>.<br />
<br />
|proof=<br />
<br />
'''Замечание''': для <tex>n = 1</tex>: если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X </tex> такое, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \alpha e + y, ~ y \in Y</tex>.<br />
<br />
Доказательство <tex>\implies</tex>:<br />
<br />
<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y </tex> — базис <tex> X /_Y </tex>.<br />
<tex> \forall \xi \in X /_Y </tex> единственным образом <tex>\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \forall x \in X </tex>, <tex> [x] \in X /_Y </tex> и его представление <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> <tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> — разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.<br />
<br />
Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
{{TODO | t = упражнение}}<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Коразмерность ядра функционала<br />
|statement=<br />
<br />
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex><br />
<br />
|proof=<br />
<br />
Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.<br />
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Предстваление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть протипоречие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.<br />
<br />
Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.<br />
<br />
Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы. <br />
<br />
== Непрерывность функционала ==<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=contfuncdef<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если <br />
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Далее: <tex> \| \cdot \| </tex> — норма на <tex> X </tex>.<br />
<br />
Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=cont0<br />
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.<br />
|proof=<br />
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:<br />
<br />
<tex> x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0 </tex><br />
<br />
<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex><br />
}}<br />
<br />
Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex><br />
<br />
Введем норму в <tex> X^* </tex>:<br />
<br />
<tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|id=finitefuncdef<br />
|definition=<br />
<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Отметим, что для ограниченного функционала: <tex> \forall x \in X, x \not = 0</tex><br />
<br />
<tex> \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies<br />
\left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies<br />
f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies <br />
\\<br />
| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=cont-finite<br />
|statement= <tex>f</tex> — непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> — ограничен.<br />
|proof=<br />
1) <tex>f</tex> — ограничен <tex> \implies \| f \| < \infty </tex>. Как отмечалось ранее: <tex> | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 \implies<br />
\| x_n \| \to 0 \implies<br />
| f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies<br />
f(x_n) \to 0 \implies f</tex> — непрерывен.<br />
<br />
2) <tex>f</tex> — непрерывен. Пусть <tex> \| f \| = \infty </tex>, тогда по определению <tex> \| f \| </tex>:<br />
<br />
<tex> \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | > n \implies </tex><br />
по линейности <tex> \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| > 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| </tex>,<br />
так как <tex> x_n \in \overline{V}_1 \implies<br />
\frac1n \| x_n \| \leq \frac1n</tex><br />
<br />
<tex> n \to \infty, \quad \frac1n \to 0,<br />
\quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies<br />
\frac{x_n}{n} \to 0 \implies </tex> <br />
по непрерывности <tex> f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 </tex>. Пришли к противоречию.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Пусть <tex> X^* </tex> обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что <tex>\|f\|</tex> — норма, проверяется так же, как свойства [[Линейные_ограниченные_операторы | нормы линейного оператора]], то есть получили, что <tex>X^*</tex> — НП, сопряженное с <tex>X</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=densefunextension<br />
|statement= Пусть <tex> Y </tex> — линейное всюду плотное в <tex> X </tex> множество.<br />
<tex> f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> Y </tex>. Тогда существует единственный <tex> \widetilde f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> X </tex> такой, что:<br />
<br />
1) <tex> \widetilde f |_Y = f </tex> — сужение на <tex> Y </tex> совпадает с <tex> f </tex>.<br />
2) <tex> \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y </tex><br />
<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Было в виде идеи, доказал [[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте}}<br />
<br />
<br />
По определению всюду плотности, <tex> \mathrm{Cl}\, Y = X </tex>, то есть любое <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать последовательностями <tex>y \in Y</tex>: <tex> y_n \to x </tex>, при этом последовательности <tex>y</tex> будут сходящимися в себе.<br />
<br />
Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда <tex>f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|</tex>, по ограниченности <tex>f</tex> и сходимости в себе <tex>y</tex>, также сходится. Последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>, то есть <tex> \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.<br />
<br />
Установим единственность: Если <tex>y_n \to x</tex> и <tex>y'_n \to x</tex>, то<br />
<br />
<tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0<br />
\\<br />
\implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.<br />
<br />
Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы:<br />
* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex><br />
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex><br />
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают<br />
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.<br />
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным<br />
}}<br />
<br />
{{<br />
Теорема<br />
|about=характеристика ограниченного функционала в терминах ядра<br />
|statement=<br />
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.<br />
|proof=<br />
*<tex>\implies</tex><br />
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br><br />
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex> ~ <tex>f(x_n) = 0, f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex><br />
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.<br />
* <tex>\Leftarrow </tex><br />
{{TODO|t=тут всё плохо и неправильно}}<br />
<tex>\mathrm{Ker}</tex> {{---}} замкнуто. <tex>\mathrm{Cl}\, \mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Ker}\, f</tex>. Если <tex>x_n \in X ,\, x_n \to x \stackrel{?}{\implies} f(x_n) \to f(x)</tex>.<br><br />
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1</tex>, значит мы сможем представить <tex>x_n</tex> и <tex>x</tex> следуюшим образом:<br><br />
<tex>x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker}\, f, \, e \in X</tex><br />
<tex>x = y + te </tex>.<br />
<br />
Проверим <tex> x_n \to x \stackrel{?}{\implies} t_n \to t </tex>.<br />
<br />
Достаточно доказать, что <tex>\{ t_{n_k} \} \to t </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> t_{n_k} \to t' \implies t_{n_k} e \to t'e</tex><br />
<br />
<tex> x_{n_k} (\to x) = y_{n_k} + t_{n_k} e (\to t'e)</tex> (по условию <tex>x_n \to x</tex>)<br />
<br />
Значит <tex>y_{n_k} \to y'</tex> (и <tex> x = y' + t'e</tex>)<br />
<br />
В силу замкнутости ядра т.к. <tex>y_{n_k} \in \mathrm{Ker}\, f \implies y' \in \mathrm{Ker}\, f </tex><br />
<br />
Значит мы записали <tex> x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker}\, f</tex>. Отсюда, т.к. представление единственно и <tex>t'=t</tex>, получаем, что в выражении <tex>x_n = y_n + t_ne, \, x_n \to x,\, y_n \to y,\, t_n \to t </tex><br />
<br />
<tex>f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \to tf(e) = f(y + te) = f(x)</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс<br />
|statement=<br />
<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\|g\| = \|y\|$.<br />
* линейность тривиально получается из аксиом скалярного произведения<br />
* для подсчета нормы применим [[Нормированные пространства#Неравенство Шварца | неравенство Шварца]]: $|g(x)| = |\langle x, y \rangle| \le \| y\| \|x\|$, то есть $\|g\| \le \|y\|$, если $\|x\| = 1$. Однако на элементе ${y \over \|y\|}$, $g$ принимает значение, равное $\langle {y \over \|y\|}, y \rangle = {\langle y, y \rangle \over \|y\|} = {\|y\|^2 \over \|y\|} = \|y\|$. $g$ ограниченный, значит $|g| \le \|g\|$ при $\|x\| = 1$, значит $\|y\| \le \|g\|$. Таким образом, $\|g\|$ и есть $\|y\|$.<br />
<br />
$\forall f \in H^*$ надо найти $y \in H: \forall x \in H: f(x) = \langle x, y \rangle$. Возьмем ядро функционала $\ker f$, оно замкнуто по непрерывности функционала и является подпространством $H$, обозначим его за $H_1$. <br />
<br />
По уже доказанному, коразмерность ядра равна 1, $H = H_1 \oplus H_1^{\perp}$ и существует $e \in H_1^{\perp}$, что у любого $x \in H$ существует единственное разложение $x = x_1 + t e, x_1 \in H_1$. <br />
<br />
Тогда $f(x) = f(x_1) + f(t e) = t f(e)$. <br />
<br />
$\forall y \in H_1^{\perp}: \langle x, y \rangle = \langle x_1 + te, y \rangle = \langle x_1, y\rangle + \langle te, y \rangle = t \langle e, y \rangle$. <br />
<br />
Добьемся того, чтобы $f(e)$ было равно $\langle e, y \rangle$: пусть $y = \alpha e$, тогда $\langle e, y \rangle = \alpha \|e\|^2 = f(e)$, то есть $\alpha = {f(e) \over \|e\|^2}$. <br />
<br />
Таким образом, искомый $y = {f(e) \over \|e\|^2} e$.<br />
<br />
Единственность такого $y$: пусть существуют $y$ и $y'$ такие, что $f(x) = \langle x, y \rangle$ и $f(x) = \langle x, y' \rangle$. Тогда $\forall x: \langle x, y - y' \rangle = 0$, а из первой аксиомы скалярного произведения это означает, что $y - y' = 0$.<br />
<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
Ссылочки:<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29939Гильбертовы пространства2013-01-14T23:49:08Z<p>Komarov: добавлено доказательство x=x_1+x_2</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя следующим аксиомам:<br />
# <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0</tex><br />
# <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# <tex>\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle</tex><br />
Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' (в конспекте: унитарное пространство)<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k</tex><br />
* <tex>X = \ell_2</tex>, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится (<tex>x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty</tex>). <tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i</tex>, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]].<br />
<br />
В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : <tex>|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}</tex><br />
<br />
УП — частный случай [[Нормированные пространства | нормированных пространств]]: можно ввести норму как <tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.<br />
<br />
Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': <tex>\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>M</tex> — выпуклое замкнутое множество в <tex>H</tex>, тогда <tex>\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|</tex>. <tex>z</tex> называется '''элементом наилучшего приближения'''<br />
|proof=<br />
[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H </tex> '''перпендикулярны''' (<tex> x \perp y </tex>), если <tex> \langle x, y \rangle = 0. </tex><br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>H_1</tex> — подпространство в <tex>H</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется <tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Где именно? Было ли вообще это утверждение доказано в курсе матана?}}<br />
Доказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf]<br />
<br />
Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>. <br />
<br />
По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+m)^2\|+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n-x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)^2\|\ge 4d^2\|</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex>{{---}}фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак <<меньше>> невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>. <br />
<br />
Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{\varnothing\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме {{TODO|t=wtf лямбда с палкой}}<tex>-\bar\lambda(x'',y)-\lambda(y,x'')+|\lambda|^2(y,y)\ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{(x'',y)}{(y,y)}</tex> получаем отсюда <tex>-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}+\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|(x'',y)|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>(x'',y)=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)\|</tex> установлены.<br />
<br />
Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.<br />
{{TODO|t=Чукча не читатель, чукча писатель. Проверить, правильно ли переписано}}<br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|author=Рисc<br />
|about=о почти перпендикуляре<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{---}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)<br />
|proof=<br />
Если <tex>Y</tex> — строго подмножество <tex>X</tex>, то существует <tex>x_0 \notin Y</tex>.<br />
<br />
<tex>d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|</tex><br />
<br />
Пусть <tex>d = 0</tex>, тогда <tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}</tex>, то есть <tex>y_n \to x_0</tex>. <tex>Y</tex> — замкнутое, следовательно, <tex>x_0 \in Y</tex>, то есть получили противоречие и <tex>d > 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\varepsilon \in (0, 1)</tex>, тогда <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1</tex>, <tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>. Рассмотрим <tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }</tex>. <tex>y_{\varepsilon} + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|</tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в <tex>Y</tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше <tex>d</tex>, а знаменатель — меньше <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>, то есть дробь будет больше <tex>1 - \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Таким образом, для любого <tex>y</tex> из <tex>Y</tex> подобрали <tex>z_{\varepsilon}</tex> из <tex>X</tex>, что <tex>\|z_{\varepsilon} - y \|</tex> не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex>, а тогда и <tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)</tex> будет не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex> по свойствам инфимума.<br />
}}<br />
<br />
<br />
Смысл данной леммы состоит в том, что в произвольном нормированном пространстве <tex> X </tex> для сколь угодно малого <tex> \varepsilon </tex> и произвольного подпространства <tex> Y </tex> найдется элемент, который будет к нему перпендикулярен с точностью до <tex> \varepsilon </tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве<br />
|statement=<br />
Если <tex>X</tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.<br />
<br />
<tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)</tex>, опять применим лемму Рисса, существует <tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2</tex>, <tex>x_3</tex> будет в <tex>S_1</tex>.<br />
<br />
Продолжаем так же для <tex>Y_3 \dots Y_n \dots</tex>. Процесс никогда не завершится, так как <tex>X</tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в <tex>S_1</tex>, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как <tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}</tex>, следовательно, <tex>S_1</tex> не компактно.<br />
}}<br />
<br />
В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим для точки <tex>x \in H</tex> абстрактный ряд Фурье <tex>\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i</tex>, <tex>\langle x, e_i\rangle</tex> называют абстрактными коэффициентами Фурье.<br />
<br />
<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n</tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
<tex>\forall x \in H: \inf\limits_{h \in H_n} \|x - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. <br />
|proof=<br />
Доказательство есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Бессель<br />
|about=<br />
неравенство Бесселя<br />
|statement=<br />
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle^2 \le \|x\|^2</tex><br />
|proof=<br />
Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение:<br />
<br />
<tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex><br />
<br />
<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle ^2 </tex>.<br />
Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.<br />
}}<br />
<br />
Интересно рассмотреть, когда для всех <tex>x</tex> неравенство превращается в равенство.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
равенство Парсеваля<br />
|statement=<br />
<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.<br />
|proof=<br />
Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс-Фишер<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex><br />
|proof=<br />
И это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|Теорема Рисса-Фишера]].<br />
}}<br />
<br />
Можно задаться вопросом: какое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса?<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Какие-то размахивания руками. Привести в порядок}}<br />
<br />
<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.<br />
<br />
<tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала.<br />
<br />
ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.<br />
}}<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product Dot product]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space Sequence space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma Riesz's lemma]<br />
<br />
<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29938Топологические векторные пространства2013-01-14T23:20:36Z<p>Komarov: определение хаусдорфовости</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:<br />
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex><br />
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.<br />
<br />
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим<br />
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex><br />
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.<br />
}}<br />
<br />
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - уравновешенное.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:<br />
<br />
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |\mu \lambda| z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex><br />
<br />
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=характеристика векторной топологии<br />
|statement=<br />
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:<br />
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex><br />
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля<br />
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex><br />
|proof=<br />
В прямую сторону:<br />
<br />
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.<br />
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.<br />
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.<br />
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.<br />
<br />
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:<br />
<br />
Непрерывность сложения:<br />
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.<br />
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.<br />
<br />
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br />
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}<br />
}}<br />
<br />
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex><br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.<br />
<br />
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Топологическое пространство <tex>X</tex> называется '''Хаусдорфовым''', если <tex>\forall x, y \in X : x \ne y : \exists U(x) \cap U(y) = \varnothing</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Колмогоров<br />
|statement=<br />
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex><br />
<br />
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}<br />
<br />
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29937Топологические векторные пространства2013-01-14T23:10:21Z<p>Komarov: скобочка</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:<br />
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex><br />
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.<br />
<br />
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим<br />
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex><br />
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.<br />
}}<br />
<br />
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - уравновешенное.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:<br />
<br />
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |\mu \lambda| z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex><br />
<br />
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=характеристика векторной топологии<br />
|statement=<br />
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:<br />
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex><br />
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля<br />
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex><br />
|proof=<br />
В прямую сторону:<br />
<br />
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.<br />
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.<br />
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.<br />
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.<br />
<br />
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:<br />
<br />
Непрерывность сложения:<br />
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.<br />
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.<br />
<br />
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br />
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}<br />
}}<br />
<br />
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex><br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.<br />
<br />
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Колмогоров<br />
|statement=<br />
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex><br />
<br />
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}<br />
<br />
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29936Топологические векторные пространства2013-01-14T23:08:48Z<p>Komarov: очепятка</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:<br />
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex><br />
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.<br />
<br />
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим<br />
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex><br />
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.<br />
}}<br />
<br />
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - уравновешенное.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:<br />
<br />
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |\mu \lambda| z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex><br />
<br />
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=характеристика векторной топологии<br />
|statement=<br />
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:<br />
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex><br />
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля<br />
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex><br />
|proof=<br />
В прямую сторону:<br />
<br />
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.<br />
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.<br />
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.<br />
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.<br />
<br />
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:<br />
<br />
Непрерывность сложения:<br />
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.<br />
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.<br />
<br />
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br />
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}<br />
}}<br />
<br />
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex><br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.<br />
<br />
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Колмогоров<br />
|statement=<br />
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex><br />
<br />
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}<br />
<br />
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29934Топологические векторные пространства2013-01-14T23:05:06Z<p>Komarov: кажись определение функционала минковского такое. ну раньше был явно бред</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:<br />
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex><br />
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.<br />
<br />
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим<br />
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex><br />
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.<br />
}}<br />
<br />
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - уравновешенное.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:<br />
<br />
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |\mu \lambda| z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex><br />
<br />
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=характеристика векторной топологии<br />
|statement=<br />
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:<br />
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex><br />
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля<br />
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex><br />
|proof=<br />
В прямую сторону:<br />
<br />
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.<br />
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.<br />
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.<br />
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.<br />
<br />
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:<br />
<br />
Непрерывность сложения:<br />
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.<br />
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.<br />
<br />
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br />
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}<br />
}}<br />
<br />
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex><br />
<br />
<tex> \exists \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.<br />
<br />
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Колмогоров<br />
|statement=<br />
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex><br />
<br />
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}<br />
<br />
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29933Топологические векторные пространства2013-01-14T22:56:06Z<p>Komarov: пример</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:<br />
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex> \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex><br />
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.<br />
<br />
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим<br />
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex><br />
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.<br />
}}<br />
<br />
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - уравновешенное.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:<br />
<br />
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |\mu \lambda| z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex><br />
<br />
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=характеристика векторной топологии<br />
|statement=<br />
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:<br />
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex><br />
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля<br />
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex><br />
|proof=<br />
В прямую сторону:<br />
<br />
# Рассмотрим отображение <tex> x \mapsto x + x_0 </tex>, то есть сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), <tex> G + x_0 </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.<br />
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.<br />
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.<br />
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.<br />
<br />
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:<br />
<br />
Непрерывность сложения:<br />
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex> x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.<br />
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.<br />
<br />
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br />
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}<br />
}}<br />
<br />
Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> M </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Если <tex> M </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex><br />
<br />
<tex> \exists \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.<br />
<br />
<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Колмогоров<br />
|statement=<br />
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex><br />
<br />
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит. На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}<br />
<br />
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29884Счетно-нормированные пространства2013-01-14T16:59:56Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<wikitex><br />
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$<br />
<br />
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.<br />
<br />
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.<br />
|proof=<br />
# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.<br />
# Очевидно<br />
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.<br />
}} <br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.<br />
}}<br />
<br />
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.<br />
<br />
<br />
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.<br />
}}<br />
<br />
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно) (видимо, это можно, так как сумма полунорм является полунормой)<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br><br />
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.<br />
|proof=<br />
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.<br />
<br />
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности(можно вынести константу) полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.<br />
<br />
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства<br />
|statement=<br />
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.<br />
<br />
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.<br />
}}<br />
<br />
<br />
</wikitex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29883Счетно-нормированные пространства2013-01-14T16:53:40Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<wikitex><br />
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$<br />
<br />
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.<br />
<br />
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.<br />
|proof=<br />
# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.<br />
# Очевидно<br />
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.<br />
}} <br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.<br />
}}<br />
<br />
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.<br />
<br />
<br />
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.<br />
}}<br />
<br />
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно) (видимо, это можно, так как сумма полунорм является полунормой)<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br><br />
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.<br />
|proof=<br />
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.<br />
<br />
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.<br />
<br />
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства<br />
|statement=<br />
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.<br />
<br />
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.<br />
}}<br />
<br />
<br />
</wikitex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29882Счетно-нормированные пространства2013-01-14T16:52:05Z<p>Komarov: если если</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<wikitex><br />
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$<br />
<br />
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.<br />
<br />
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.<br />
|proof=<br />
# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.<br />
# Очевидно<br />
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.<br />
}} <br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.<br />
}}<br />
<br />
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.<br />
<br />
<br />
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.<br />
}}<br />
<br />
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно)<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br><br />
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.<br />
|proof=<br />
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.<br />
<br />
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.<br />
<br />
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства<br />
|statement=<br />
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.<br />
<br />
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.<br />
}}<br />
<br />
<br />
</wikitex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29881Счетно-нормированные пространства2013-01-14T16:50:11Z<p>Komarov: вернул почти как было</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<wikitex><br />
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$<br />
<br />
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.<br />
<br />
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, то $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.<br />
|proof=<br />
# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.<br />
# Очевидно<br />
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.<br />
}} <br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.<br />
}}<br />
<br />
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.<br />
<br />
<br />
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.<br />
}}<br />
<br />
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно)<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br><br />
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.<br />
|proof=<br />
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.<br />
<br />
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.<br />
<br />
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства<br />
|statement=<br />
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.<br />
<br />
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.<br />
}}<br />
<br />
<br />
</wikitex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29872Счетно-нормированные пространства2013-01-14T16:21:07Z<p>Komarov: определение счётно-нормированного пространства</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<wikitex><br />
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$<br />
<br />
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.<br />
<br />
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть $X$ — линейное пространство. Тогда если существует счётное множество $p_1 \dots p_n \dots$ полунорм, такое, что для ''некоторого'' $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.<br />
|proof=<br />
# Очевидно, $\rho(x, x) \ge 0$, рассмотрим, когда $\rho(x, y) = 0$, это значит, что $\forall n: p_n(x - y) = 0$, по определению счетно-нормированного пространства это означает, что $x - y = 0 \implies x = y$.<br />
# Очевидно<br />
# Проверяется аналогично [[Метрические пространства#rinfcoordconv | доказательства метризуемости $R^\infty$]], рассмотрим функцию $f(t) = \frac{t}{1 + t}$, для нее выполняется $f(t_1) < f(t_2)$ при $t_1 < t_2$ и $f(t_1 + t_2) < f(t_1) + f(t_2)$ для всех $t_1, t_2 > 0$. Рассмотрим каждое $p_n(x - z) = p_n((x - y) + (y - z)) \le p_n(x - y) + p_n(y - z)$. Тогда $f(p_n(x - z)) \le f(p_n(x - y) + p_n(y - z)) \le f(p_n(x - y)) + f(p_n(y - z))$. Тогда и $\sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - z)}{1 + p_n(x - z)} \le \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x - y)}{1 + p_n(x - y)} + \sum\limits_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(y - z)}{1 + p_n(y - z)}$, что и требовалось доказать.<br />
}} <br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.<br />
}}<br />
<br />
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.<br />
<br />
<br />
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? Если такая норма есть, то говорят, что данное счетно-нормированное пространство нормируемо.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.<br />
}}<br />
<br />
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная (видимо, это очевидно)<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br><br />
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.<br />
|proof=<br />
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.<br />
<br />
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.<br />
<br />
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства<br />
|statement=<br />
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.<br />
|proof=<br />
В прямую сторону: пусть $X$ нормируемо нормой $\| \cdot \|$. Тогда по определнию нормируемости счетно-нормированного пространства, система полунорм из $\| \|$ эквивалентна системе полунорм $p$. Тогда $\| \|$ мажорируется некоторой полунормой $p_N$ по предыдущей теореме, то есть существует постоянная $C$ такая, что $\forall x \in X: \|x\| \le C p_N(x)$. Покажем от противного, что в этой системе существенных полунорм не может быть больше $N$: пусть такая полунорма с номером $m > N$ есть, тогда она должна мажорироваться полунормой $\| \|$, то есть существует постоянная $D$ такая, что $\forall x \in X: p_m(x) \le D \|x\|$. Но тогда, комбинируя два неравенства, получим $\forall x \in X: p_m(x) \le C D p_N(x)$, то есть полунорма номером $m$ мажорируется полунормой с номером $N < m$, то есть она не может быть существенной.<br />
<br />
В обратную сторону: пусть в системе $p$ конечное число существенных полунорм. Возьмем из существенных полунорм полунорму с наибольшим номером, пусть это $p_N$. Пусть $p_N(x) = 0$, тогда все полунормы с меньшими $N$ номерами также равны нулю по монотонности. Полунормы с большими номерами мажорируются $p_N$, так как $p_N$ по своему выбору последняя существенная полунорма, и тогда если $p_N(x) = 0$, все полунормы с большими номерами также равны нулю. Таким образом, полунорму $p_N$ можно взять как искомую норму.<br />
}}<br />
<br />
<br />
</wikitex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29862Гильбертовы пространства2013-01-14T15:38:07Z<p>Komarov: minus --> plus</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя следующим аксиомам:<br />
# <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0</tex><br />
# <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# <tex>\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle</tex><br />
Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' (в конспекте: унитарное пространство)<br />
}}<br />
<br />
Пример:<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k</tex><br />
* <tex>X = \ell_2</tex>, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится (<tex>x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty</tex>). <tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i</tex>, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]].<br />
<br />
В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : <tex>|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}</tex><br />
<br />
УП — частный случай [[Нормированные пространства | нормированных пространств]]: можно ввести норму как <tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.<br />
<br />
Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': <tex>\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>M</tex> — выпуклое замкнутое множество в <tex>H</tex>, тогда <tex>\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|</tex>. <tex>z</tex> называется '''элементом наилучшего приближения'''<br />
|proof=<br />
[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H </tex> '''перпендикулярны''' (<tex> x \perp y </tex>), если <tex> \langle x, y \rangle = 0. </tex><br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>H_1</tex> — подпространство в <tex>H</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется <tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.<br />
|proof=<br />
Доказывалось ранее.<br />
{{TODO|t=Где именно? Было ли вообще это утверждение доказано в курсе матана?}}<br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|author=Рисc<br />
|about=о почти перпендикуляре<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{---}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)<br />
|proof=<br />
Если <tex>Y</tex> — строго подмножество <tex>X</tex>, то существует <tex>x_0 \notin Y</tex>.<br />
<br />
<tex>d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|</tex><br />
<br />
Пусть <tex>d = 0</tex>, тогда <tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}</tex>, то есть <tex>y_n \to x_0</tex>. <tex>Y</tex> — замкнутое, следовательно, <tex>x_0 \in Y</tex>, то есть получили противоречие и <tex>d > 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\varepsilon \in (0, 1)</tex>, тогда <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1</tex>, <tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>. Рассмотрим <tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }</tex>. <tex>y_{\varepsilon} + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|</tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в <tex>Y</tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше <tex>d</tex>, а знаменатель — меньше <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>, то есть дробь будет больше <tex>1 - \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Таким образом, для любого <tex>y</tex> из <tex>Y</tex> подобрали <tex>z_{\varepsilon}</tex> из <tex>X</tex>, что <tex>\|z_{\varepsilon} - y \|</tex> не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex>, а тогда и <tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)</tex> будет не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex> по свойствам инфимума.<br />
}}<br />
<br />
<br />
Смысл данной леммы состоит в том, что в произвольном нормированном пространстве <tex> X </tex> для сколь угодно малого <tex> \varepsilon </tex> и произвольного подпространства <tex> Y </tex> найдется элемент, который будет к нему перпендикулярен с точностью до <tex> \varepsilon </tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве<br />
|statement=<br />
Если <tex>X</tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.<br />
<br />
<tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)</tex>, опять применим лемму Рисса, существует <tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2</tex>, <tex>x_3</tex> будет в <tex>S_1</tex>.<br />
<br />
Продолжаем так же для <tex>Y_3 \dots Y_n \dots</tex>. Процесс никогда не завершится, так как <tex>X</tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в <tex>S_1</tex>, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как <tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}</tex>, следовательно, <tex>S_1</tex> не компактно.<br />
}}<br />
<br />
В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим для точки <tex>x \in H</tex> абстрактный ряд Фурье <tex>\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i</tex>, <tex>\langle x, e_i\rangle</tex> называют абстрактными коэффициентами Фурье.<br />
<br />
<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n</tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
<tex>\forall x \in H: \inf\limits_{h \in H_n} \|x - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. <br />
|proof=<br />
Доказательство есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Бессель<br />
|about=<br />
неравенство Бесселя<br />
|statement=<br />
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex><br />
|proof=<br />
Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение:<br />
<br />
<tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex><br />
<br />
<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, e_k)^2 </tex>.<br />
Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.<br />
}}<br />
<br />
Интересно рассмотреть, когда для всех <tex>x</tex> неравенство превращается в равенство.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
равенство Парсеваля<br />
|statement=<br />
<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x; e_k \rangle^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.<br />
|proof=<br />
Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс-Фишер<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex><br />
|proof=<br />
И это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|Теорема Рисса-Фишера]].<br />
}}<br />
<br />
Можно задаться вопросом: какое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса?<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Какие-то размахивания руками. Привести в порядок}}<br />
<br />
<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.<br />
<br />
<tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала.<br />
<br />
ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.<br />
}}<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product Dot product]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space Sequence space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma Riesz's lemma]<br />
<br />
<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_(3_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81)&diff=29661Нормированные пространства (3 курс)2013-01-13T21:37:17Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defvs<br />
|definition=<br />
'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:<br />
* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:<br />
** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;<br />
** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;<br />
* Для операции умножения на скаляр:<br />
** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;<br />
** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defnorm<br />
|definition=<br />
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:<br />
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex><br />
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex><br />
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex><br />
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0</tex>.<br />
<br />
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры НП:<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex><br />
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex><br />
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.<br />
* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^p</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.<br />
}}<br />
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \Longleftrightarrow </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Это было "очевидно". Доказал: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST). Проверьте и, если все хорошо, уберите данную плашку.}}<br />
<br />
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.<br />
<br />
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:<br />
<br />
Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 \ge n \|x\|_2 </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.<br />
<br />
В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \le \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\| = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.<br />
<br />
Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс<br />
|statement=<br />
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.<br />
|proof=<br />
Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.<br />
<br />
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.<br />
<br />
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.<br />
<br />
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.<br />
<br />
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex><br />
<br />
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). <br />
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна.<br />
<br />
Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.<br />
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex><br />
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex><br />
<br />
По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex><br />
<br />
<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.<br />
<br />
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.<br />
<br />
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.<br />
<br />
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.<br />
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.<br />
|proof=<br />
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.<br />
<br />
<tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>, пусть <tex>\|y\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.<br />
<br />
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.<br />
<br />
Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_p\| \to 0 \Rightarrow \|y_m - y_p\|_2 \to 0</tex>. <br />
<br />
Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.<br />
<br />
По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\|y_m - y^*\| \to 0</tex> и <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k \in Y</tex>, то <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}<br />
<br />
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_(3_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81)&diff=29634Нормированные пространства (3 курс)2013-01-13T19:16:03Z<p>Komarov: -> <</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defvs<br />
|definition=<br />
'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:<br />
* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:<br />
** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;<br />
** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;<br />
** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;<br />
* Для операции умножения на скаляр:<br />
** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;<br />
** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;<br />
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defnorm<br />
|definition=<br />
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:<br />
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex><br />
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex><br />
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex><br />
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.<br />
}}<br />
<br />
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0</tex>.<br />
<br />
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры НП:<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex><br />
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex><br />
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.<br />
* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^p</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.<br />
}}<br />
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \Longleftrightarrow </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Это было "очевидно". Доказал: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST). Проверьте и, если все хорошо, уберите данную плашку.}}<br />
<br />
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;<br />
<br />
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \Rightarrow \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \Rightarrow </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \Rightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.<br />
<br />
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:<br />
<br />
Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> \forall x_n: \|x\|_1 \ge n \|x\|_2 </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.<br />
<br />
В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \le \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\| = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.<br />
<br />
Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Рисс<br />
|statement=<br />
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.<br />
|proof=<br />
Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.<br />
<br />
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.<br />
<br />
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.<br />
<br />
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.<br />
<br />
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex><br />
<br />
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). <br />
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна: <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.<br />
<br />
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.<br />
<br />
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.<br />
<br />
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.<br />
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.<br />
|proof=<br />
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.<br />
<br />
<tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>, пусть <tex>\|y\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.<br />
<br />
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.<br />
<br />
Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_p\| \to 0 \Rightarrow \|y_m - y_p\|_2 \to 0</tex>. <br />
<br />
Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.<br />
<br />
По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\|y_m - y^*\| \to 0</tex> и <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k \in Y</tex>, то <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}<br />
<br />
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29605Метрические пространства2013-01-13T17:48:29Z<p>Komarov: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defms<br />
|definition=<br />
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы<br />
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex><br />
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex> <br />
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника<br />
<br />
Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmsconv<br />
|definition=<br />
Последовательность <tex>x_n</tex> '''сходится''' к <tex>x</tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex> (записывают <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n</tex>), если <tex> \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex><br />
}}<br />
<br />
Некоторые примеры метрических пространств:<br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex><br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex><br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex> (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:<br />
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.<br />
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно<br />
** вторая аксиома: еще очевиднее<br />
** третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex><br />
|proof=<br />
Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>.<br />
* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 < t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>. <br />
* <tex>f</tex> выпукла вверх на том же промежутке<br />
Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.<br />
}} <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=rinfcoordconv<br />
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной. <br />
|proof=<br />
Рассматриваем <tex> f(x) = \frac{x}{1+x} </tex>, как и в прошлом утверждении.<br />
Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>. <br />
<br />
В прямую сторону: <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) </tex>. Пусть <tex> \rho(x^{(n)}, x) < {\varepsilon \over 2^k} </tex>. Тогда <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon </tex>. Так как <tex> t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 </tex>, то <tex> t \to 0 </tex>, когда <tex> f(t) \to 0 </tex>, а значит, покоординатная сходимость выполняется. <br />
<br />
В обратную сторону: подберем такое <tex> k_0 </tex>, чтобы <tex> {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} < \varepsilon </tex>. Возьмем <tex> n_0 </tex> таким, чтобы <tex> \forall k \le k_0, n > n_0: |x^{(n)}_k - x_k| < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \rho(x^{(n)}, x) < \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon < 2 \varepsilon </tex>. Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем необходимое. <br />
}}<br />
<br />
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной <ref>Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?'']</ref>.<br />
<br />
Центральную роль в изучении МП играют шары:<br />
{{Определение<br />
|id=defob<br />
|definition=<br />
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.<br />
}}<br />
<br />
На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defts<br />
|definition=<br />
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:<br />
# <tex> X, \emptyset \in \tau</tex><br />
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex><br />
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex><br />
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex>, называются '''открытыми'''. '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defint<br />
|definition=<br />
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.<br />
<br />
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.<br />
<br />
'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.<br />
<br />
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=deftslimit<br />
|definition=<br />
Точка <tex>x</tex> называется '''пределом последовательности <tex>x_n</tex> в топологическом пространстве''' <tex>(X, \tau)</tex>, если <tex>\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n > N: x_n \in G</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defnbh<br />
|definition=<br />
Множество <tex>U</tex> называется '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defcont<br />
|definition=<br />
Отображение <tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)</tex> называют непрерывным в точке <tex>x \in X</tex>, если для любой окрестности <tex>U_{f(x)}</tex> существует окрестность <tex>U_x</tex>: <tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref><br />
<br />
Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:<br />
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.<br />
# Очевидно.<br />
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:<br />
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)<br />
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> (раньше когда-то доказывали), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex><br />
<br />
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=deftbase<br />
|definition=<br />
'''Базой топологии''' называют некоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из <tex>\sigma</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=contrho<br />
|statement=<br />
Функция <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex> равномерно непрерывна.<br />
|proof=<br />
<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex><br />
<br />
<tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex> по определению.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=propcl<br />
|statement=<br />
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)</tex>.<br />
|proof=<br />
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.<br />
<br />
Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>.<br />
<br />
Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.<br />
<br />
Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.<br />
<br />
Значит, <tex> b \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.<br />
<br />
<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.<br />
<br />
Для всех <tex>n</tex>, больших некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.<br />
<br />
Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.<br />
}}<br />
Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.<br />
<br />
Метрические пространства удовлетворяют [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=msnorm<br />
|about=<br />
нормальность МП<br />
|statement=<br />
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.<br />
|proof=<br />
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)<br />
<br />
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).<br />
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex><br />
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.<br />
}}<br />
<br />
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. <br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmscompl<br />
|definition=<br />
МП <tex>(X, \rho)</tex> называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу <tex>X</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=<br />
принцип вложенных шаров<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>, тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex> a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n </tex>, то есть <tex>\forall n: a \in \overline V_n</tex>. Для любого <tex>n</tex> шар <tex>\overline V_n </tex> содержит все точки последовательности <tex>\{a_n \}</tex>, кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в <tex>\overline V_n</tex> и также сходится к <tex>a</tex>, а так как <tex> \overline V_n</tex> — замкнутое множество, [[Метрическое пространство#Основное характеристическое свойство замкнутых множеств | оно содержит предел этой последовательности]] и <tex>a \in \overline V_n</tex>.<br />
<br />
Также, кроме <tex>a </tex> в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка <tex>b</tex>,тогда <tex>\rho(a, b) > 0</tex>, возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\rho(a, b) \over 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), но в нем может лежать только одна из точек <tex>a,b</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defdense<br />
|definition=<br />
<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Cl} A = X</tex><br />
: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''.<br />
<br />
<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset</tex>. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.<br />
: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defbaire<br />
|definition=<br />
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=thbaire<br />
|author=Бэр<br />
|statement=<br />
Полное МП является множеством II категории в себе.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=следствие из т. Бэра<br />
|statement=<br />
Полное МП без изолированных точек несчетно.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>: рассмотрим шар <tex> V_r(p) </tex>, если <tex> p = x_n </tex>, то внутри шара есть шар с центром не в <tex> x_n </tex> меньшего радиуса, так как <tex> x_n </tex> не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем <tex> \rho(x, p) </tex> с центром также в <tex> p </tex>. Тогда <tex> X </tex> является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.<br />
}}<br />
<br />
Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. <br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmscompact<br />
|definition=<br />
Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmstb<br />
|definition=<br />
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=thhausdorf<br />
|author=Хаусдорф<br />
|statement=<br />
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.<br />
|proof=<br />
[[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Это было упражнение. Решил: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:22, 7 января 2013 (GST). Проверьте и удалите эту плашку, если все хорошо.}}<br />
<br />
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.<br />
<br />
<tex> \Rightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе по определению.<br />
<br />
<tex> \Leftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим <tex>f(t) = \frac{t}{1+t}</tex>. Так как <tex>\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, а <tex>|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1</tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно.<br />
<br />
Но по полноте <tex> \mathbb R </tex>, каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: <tex> \forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k </tex>.<br />
<br />
Так как покоординатная сходимость в метрике <tex> \mathbb R^{\infty} </tex> равносильна просто сходимости, то <tex> x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=<br />
компактность прямоугольника в R^infty<br />
|statement=<br />
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.<br />
|proof=<br />
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой, что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.<br />
<br />
Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_{n_0}, b_{n_0}] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно, что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.<br />
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.<br />
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.<br />
* По построению <tex>A'</tex> и выбору <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon</tex>, то есть построили конечную <tex>3\varepsilon</tex>-сеть.<br />
}}<br />
<br />
А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> пространство измеримых на <tex> E \in \mathcal A </tex> вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику <tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu</tex>, то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.<br />
<br />
== Примечания ==<br />
<references></references><br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space Topological space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology) Interior (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology) Closure (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_(topology) Dense (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space Compact space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarovhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&diff=29513Метрические пространства2013-01-13T14:17:42Z<p>Komarov: наноопечтка</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defms<br />
|definition=<br />
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы<br />
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex><br />
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex> <br />
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника<br />
<br />
Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmsconv<br />
|definition=<br />
Последовательность <tex>x_n</tex> '''сходится''' к <tex>x</tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex> (записывают <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n</tex>), если <tex> \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex><br />
}}<br />
<br />
Некоторые примеры метрических пространств:<br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex><br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex><br />
<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex> (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:<br />
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.<br />
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно<br />
** вторая аксиома: еще очевиднее<br />
** третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex><br />
|proof=<br />
Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>.<br />
* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 < t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>. <br />
* <tex>f</tex> выпукла вверх на том же промежутке<br />
Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.<br />
}} <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=rinfcoordconv<br />
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной. <br />
|proof=<br />
Рассматриваем <tex> f(x) = \frac{x}{1+x} </tex>, как и в прошлом утверждении.<br />
Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>. <br />
<br />
В прямую сторону: <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) </tex>. Пусть <tex> \rho(x^{(n)}, x) < {\varepsilon \over 2^k} </tex>. Тогда <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon </tex>. Так как <tex> t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 </tex>, то <tex> t \to 0 </tex>, когда <tex> f(t) \to 0 </tex>, а значит, покоординатная сходимость выполняется. <br />
<br />
В обратную сторону: подберем такое <tex> k_0 </tex>, чтобы <tex> {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} < \varepsilon </tex>. Возьмем <tex> n_0 </tex> таким, чтобы <tex> \forall k \le k_0, n > n_0: |x^{(n)}_k - x_k| < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \rho(x^{(n)}, x) < \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon < 2 \varepsilon </tex>. Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем необходимое. <br />
}}<br />
<br />
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.<br />
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной <ref>Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?'']</ref>.<br />
<br />
Центральную роль в изучении МП играют шары:<br />
{{Определение<br />
|id=defob<br />
|definition=<br />
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.<br />
}}<br />
<br />
На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defts<br />
|definition=<br />
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:<br />
# <tex> X, \emptyset \in \tau</tex><br />
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex><br />
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex><br />
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex>, называются '''открытыми'''. '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defint<br />
|definition=<br />
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.<br />
<br />
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.<br />
<br />
'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.<br />
<br />
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=deftslimit<br />
|definition=<br />
Точка <tex>x</tex> называется '''пределом последовательности <tex>x_n</tex> в топологическом пространстве''' <tex>(X, \tau)</tex>, если <tex>\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n > N: x_n \in G</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defnbh<br />
|definition=<br />
Множество <tex>U</tex> называет '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defcont<br />
|definition=<br />
Отображение <tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)</tex> называют непрерывным в точке <tex>x \in X</tex>, если для любой окрестности <tex>U_{f(x)}</tex> существует окрестность <tex>U_x</tex>: <tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref><br />
<br />
Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:<br />
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.<br />
# Очевидно.<br />
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:<br />
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)<br />
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> (раньше когда-то доказывали), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex><br />
<br />
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=deftbase<br />
|definition=<br />
'''Базой топологии''' называют некоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из <tex>\sigma</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=propcl<br />
|statement=<br />
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)</tex>.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex>. Сначала убедимся в том, что <tex>f(x)</tex> равномерно непрерывна:<br />
<br />
<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex><br />
<br />
<tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.<br />
<br />
Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>.<br />
<br />
Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.<br />
<br />
Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>x \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.<br />
<br />
Значит, <tex> x \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.<br />
<br />
<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.<br />
<br />
Начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.<br />
<br />
Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.<br />
}}<br />
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.<br />
<br />
Метрические пространства удовлетворяют [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|id=msnorm<br />
|about=<br />
нормальность МП<br />
|statement=<br />
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.<br />
|proof=<br />
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)<br />
<br />
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).<br />
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex><br />
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.<br />
}}<br />
<br />
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. <br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmscompl<br />
|definition=<br />
МП <tex>(X, \rho)</tex> называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу <tex>X</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=<br />
принцип вложенных шаров<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>, тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex> a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n </tex>, то есть <tex>\forall n: a \in \overline V_n</tex>. Для любого <tex>n</tex> шар <tex>\overline V_n </tex> содержит все точки последовательности <tex>\{a_n \}</tex>, кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в <tex>\overline V_n</tex> и также сходится к <tex>a</tex>, а так как <tex> \overline V_n</tex> — замкнутое множество, [[Метрическое пространство#Основное характеристическое свойство замкнутых множеств | оно содержит предел этой последовательности]] и <tex>a \in \overline V_n</tex>.<br />
<br />
Также, кроме <tex>a </tex> в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка <tex>b</tex>,тогда <tex>\rho(a, b) > 0</tex>, возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\rho(a, b) \over 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), но в нем может лежать только одна из точек <tex>a,b</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defdense<br />
|definition=<br />
<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Cl} A = X</tex><br />
: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''.<br />
<br />
<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset</tex>. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.<br />
: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defbaire<br />
|definition=<br />
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=thbaire<br />
|author=Бэр<br />
|statement=<br />
Полное МП является множеством II категории в себе.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=следствие из т. Бэра<br />
|statement=<br />
Полное МП без изолированных точек несчетно.<br />
|proof=<br />
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.<br />
}}<br />
<br />
Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. <br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmscompact<br />
|definition=<br />
Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|id=defmstb<br />
|definition=<br />
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=thhausdorf<br />
|author=Хаусдорф<br />
|statement=<br />
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.<br />
|proof=<br />
[[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=Это было упражнение. Solved by --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:22, 7 января 2013 (GST)}}<br />
<br />
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.<br />
<br />
<tex> \Rightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе по определению.<br />
<br />
<tex> \Leftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим <tex>f(t) = \frac{t}{1+t}</tex>. Так как <tex>\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, а <tex>|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1</tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно.<br />
<br />
Но по полноте <tex> \mathbb R </tex>, каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: <tex> \forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k </tex>.<br />
<br />
Так как покоординатная сходимость в метрике <tex> \mathbb R^{\infty} </tex> равносильна просто сходимости, то <tex> x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots) </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=<br />
компактность прямоугольника в R^infty<br />
|statement=<br />
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.<br />
|proof=<br />
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.<br />
<br />
Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.<br />
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.<br />
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.<br />
* По построению <tex>A'</tex> и выбору <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon</tex>, то есть построили конечную <tex>3\varepsilon</tex>-сеть.<br />
}}<br />
<br />
А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> пространство измеримых на <tex> E \in \mathcal A </tex> вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику <tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu</tex>, то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.<br />
<br />
== Примечания ==<br />
<references></references><br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space Topological space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology) Interior (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology) Closure (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_(topology) Dense (topology)]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space Compact space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space]<br />
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)]<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Komarov