Просмотр исходного текста страницы Convex hull trick

Convex hull trick {{---}} один из методов оптимизации [[Динамическое_программирование | динамического программирования]], использующий идею [[Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|выпуклой оболочки]]. Позволяет улучшить асимптотику решения некоторых задач, решемых методом динамического программирования, с <math>O(n^2)</math> до <tex>O(n\cdot\log(n))</tex>. Техника впервые появилась в 1995 году (задачу на нее предложили в USACO {{---}} национальной олимпиаде США по программированию). Массовую известность получила после IOI (международной олимпиады по программированию для школьников) 2002.

==Пример задачи, решаемой методом convex hull trick==
Рассмотрим задачу на ДП:
{{Задача
|definition = Есть <math>n</math> деревьев с высотами <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> (в метрах). Требуется спилить их все, потратив минимальное количество монет на заправку
бензопилы. Но пила устроена так, что она может спиливать только по <math>1</math> метру от дерева, к которому ее применили. Также после
срубленного метра (любого дерева) пилу нужно заправлять, платя за  бензин определенное кол-во монет. Причем стоимость 
бензина зависит от срубленных (полностью) деревьев. Если сейчас максимальный индекс срубленного дерева равен <tex>i</tex>, то цена заправки 
равна <tex>c_i</tex>.  Изначально пила заправлена.
Также известны следующие ограничения : <tex>c_n = 0, a_1 = 1, a_i</tex> возрастают, <tex>c_i</tex> убывают. Изначально пила заправлена.
(убывание и возрастание нестрогие)
}}
(Задача H с Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016 <ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.pdf  Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>)
</noinclude>
<includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|
<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;">
<div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div>
<div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div>
</div>|
<table border="0" width="100%">
<tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr>
<tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr>
</table>}}
</includeonly>

==Наивное решение==
Сначала заметим важный факт : т.к. <tex>c[i]</tex> убывают (нестрого) и <tex>c[n] = 0</tex>, то все <tex>c[i]</tex> неотрицательны.
Понятно, что нужно затратив минимальную стоимость срубить последнее (<tex>n</tex>-е) дерево, т.к. после него все деревья можно будет рубить бесплатно (т.к. <tex>c[n] = 0</tex>). Посчитаем следующую динамику : <tex>dp[i]</tex> {{---}} минимальная стоимость, заплатив которую можно добиться того, что дерево номер <tex>i</tex> будет срублено.
База динамики : <tex>dp[1] = 0</tex>, т.к. изначально пила заправлена и высота первого дерева равна <math>1</math>, по условию задачи.
Переход динамики :  понятно, что выгодно рубить сначала более дорогие и низкие деревья, а потом более высокие и дешевые (док-во этого факта оставляется читателям как несложное упражнение, т.к. эта идея относится скорее к теме [[Теорема_Радо-Эдмондса_(жадный_алгоритм)|жадных алгоритмов]], чем к теме данной статьи). Поэтому перед  <tex>i</tex>-м деревом мы обязательно срубили какое-то <tex>j</tex>-е, причем <tex>j \leqslant i - 1</tex>. Поэтому чтобы найти <tex>dp[i]</tex> нужно перебрать все <tex>1 \leqslant j \leqslant i - 1</tex> и попытаться использовать ответ для дерева номер <tex>j</tex>. Итак, пусть перед <tex>i</tex>-м деревом мы полностью срубили <tex>j</tex>-е, причем высота <tex>i</tex>-го дерева составляет <tex>a[i]</tex>, а т.к. последнее дерево, которое мы срубили, имеет индекс <tex>j</tex>, то стоимость каждого метра <tex>i</tex>-го дерева составит <tex>c[j]</tex>.  Поэтому на сруб <tex>i</tex>-го дерева мы потратим <tex>a[i] \cdot c[j]</tex> монет. Также не стоит забывать, что ситуацию, когда  <tex>j</tex>-е дерево полностью срублено, мы получили не бесплатно, а за <tex>dp[j]</tex> монет.
Итоговая формула пересчета : <tex>dp[i] = \min\limits_{j=1...i-1} (dp[j] + a[i] \cdot c[j])</tex>.

Посмотрим на код вышеописанного решения:
 '''int''' <tex>\mathtt{simpleDP}</tex>('''int''' a[n], '''int''' c[n])
    dp[1] = 0
    dp[2] = dp[3] = ... = dp[n] = <tex>\infty</tex>
    '''for''' i = 2 = 1..n  
       dp[i] = <tex>+\infty</tex>
       '''for''' j = 1..i - 1 
           '''if''' (dp[j] + a[i] <tex>\cdot</tex> c[j] < dp[i])
               dp[i] = dp[j] + a[i] <tex>\cdot</tex> c[j]
 '''return''' dp[n]
Нетрудно видеть, что такая динамика работает за <tex>O(n^2)</tex>.

==Ключевая идея оптимизации==
Для начала сделаем замену обозначений. Давайте обозначим <tex>dp[j]</tex> за <tex>b[j]</tex>, <tex>a[i]</tex> за <tex>x[i]</tex>, а <tex>c[j]</tex> за <tex>k[j]</tex>.

Теперь формула приняла вид <tex>dp[i] = \min\limits_{j=0...i-1}(k[j] \cdot x[i] + b[j])</tex>. Выражение <tex>k[j] \cdot x + b[j]</tex> {{---}} это в точности уравнение прямой вида <tex>y = kx + b</tex>.

Сопоставим каждому <tex>j</tex>, обработанному ранее, прямую <tex>y[j](x) = k[j] \cdot x + b[j]</tex>. Из условия «<tex>c[i]</tex> убывают <tex>\Leftrightarrow  k[j]</tex> уменьшаются с номером <tex>j</tex>» следует то, что прямые, полученные ранее отсортированы в порядке убывания углового коэффициент. Давайте нарисуем несколько таких прямых :

[[Файл:picture1convexhull.png]]

Выделим множество точек <tex>(x_0, y_0)</tex> , таких что все они принадлежат одной из прямых и при этом нету ни одной прямой <tex>y’(x)</tex>, такой что <tex>y’(x_0) < y_0</tex>. Иными словами возьмем «выпуклую (вверх) оболочку» нашего множества прямых (её еще называют нижней огибающей множества прямых на плоскости). Назовем ее «<tex>y = convex(x)</tex>». Видно, что множество точек <math>(x, convex(x))</math> представляет собой выпуклую вверх функцию.

==Цель нижней огибающей множества прямых==
Пусть мы считаем динамику для <tex>i</tex>-го дерева. Его задает <tex>x[i]</tex>. Итак, нам нужно для данного <tex>x[i]</tex> найти <tex>\min\limits_{j=0..i-1}(k[j] \cdot x[i] + b[j]) = \min\limits_{j=0..i-1}(y[j](x[i]))</tex>. Это выражение есть <math>convex(x[i])</math>. Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координатам x следует то, что отрезок, который пересекает прямую <tex>x = x[i]</tex>, можно найти [[Целочисленный_двоичный_поиск|бинарным поиском]]. Это потребует <tex>O(\log(n))</tex> времени на поиск такого <tex>j</tex>, что <tex>dp[i] = k[j] \cdot x[i] + b[j]</tex>. Теперь осталось научиться поддерживать множество прямых и быстро добавлять <tex>i</tex>-ю прямую после того, как мы посчитали <tex>b[i] = dp[i]</tex>.

Воспользуемся идеей алгоритма построения выпуклой оболочки множества точек. Заведем 2 стека <tex>k[]</tex> и <tex>b[]</tex>, которые задают прямые в отсортированном порядке их угловыми коэффицентами и свободными членами. Рассмотрим ситуацию, когда мы хотим добавить новую (<tex>i</tex>-тую) прямую в множество. Пусть сейчас в множестве лежит <tex>sz</tex> прямых (нумерация с 1). Пусть <tex>(x_L, y_L)</tex> {{---}} точка пересечения <tex>sz - 1</tex>-й прямой множества и <tex>sz</tex>-й, а <tex>(x_R, y_R)</tex> {{---}} точка пересечения новой прямой, которую мы хотим добавить в конец множества и <tex>sz</tex>-й. Нас будут интересовать только их <tex>x</tex>-овые координаты <tex>x_L</tex> и <tex>x_R</tex>, соответственно. Если оказалось, что новая прямая пересекает <tex>sz</tex>-ю прямую выпуклой оболочки позже, чем <tex>sz</tex>-я <tex>sz - 1</tex>-ю, т.е. <tex>(x_L \geqslant x_R)</tex>, то <tex>sz</tex>-ю удалим из нашего множества, иначе - остановимся. Так будем делать, пока либо число прямых в стеке не станет равным 2, либо <tex>x_L</tex> не станет меньше <tex>x_R.</tex>

Асимптотика : аналогично обычному алгоритму построения выпуклой оболочки, каждая прямая ровно <math>1</math> раз добавится в стек и максимум <math>1</math> раз удалится. Значит время работы перестройки выпуклой оболочки займет <tex>O(n)</tex> суммарно.

[[Файл:picture2convexhull.png]]
[[Файл:picture3convexhull.png]]

{{Теорема
|id=th1239. 
|statement=Алгоритм построения нижней огибающей множества прямых корректен.
|proof=Достаточно показать, что последнюю прямую нужно удалить из множества <tex>\Leftrightarrow</tex>, когда наша новая прямая пересекает ее в точке с координатой по оси X, меньшей, чем последняя - предпоследнюю.

Пусть <tex>Y(x) = Kx + B</tex> {{---}} уравнение новой прямой,  <tex>y[i](x) = K[i]x + B[i]</tex> {{---}} уравнения прямых множества. Тогда т.к. <tex>K < K[sz]</tex>, то при <tex>x \in [- \infty; x_R]  : y[sz](x) <= Y(x)</tex>, а т.к. <tex> K[sz] < K[sz - 1]</tex>, то при <tex>x \in [x_L; + \infty]  : y[sz - 1](x) \geqslant y[sz](x)</tex>. Если <tex>x_L < x_R</tex>, то при <tex>x \in [x_L; x_R]  : y[sz - 1] \geqslant y[sz](x) и Y(x) \geqslant y[sz](x)</tex>, т.е. на отрезке <tex>[x_L; x_R]</tex> прямая номер sz лежит ниже остальных и её нужно оставить в множестве. Если же <tex>x_L > x_R</tex>, то она ниже всех на отрезке <tex>[x_L; x_R] = \varnothing </tex>, т.е. её можно удалить из множества.
}}

==Детали реализации:==
Будем хранить 2 массива : <tex>front[]</tex> {{---}} <tex>x</tex>-координаты, начиная с которых прямые совпадают с выпуклой оболочкой (т.е. i-я прямая совпадает с выпуклой оболочкой текущего множества прямых при <tex>x</tex> <tex>\in</tex> <tex>[front[i]; front[i + 1])</tex> ) и <tex>st[]</tex> {{---}} номера деревьев, соответствующих прямым (т.е. <tex>i</tex>-я прямая множества, где <tex>i</tex> <tex>\in</tex> <tex>[1; sz]</tex> соответствует дереву номер <tex>sz[i]</tex>). Также воспользуемся тем, что <tex>x[i] = a[i]</tex> возрастают (по условию задачи), а значит мы можем искать первое такое <tex>j</tex>, что <tex>x[i] \geqslant front[j]</tex> не бинарным поиском, а методом двух указателей за <tex>O(n)</tex> операций суммарно. Также массив <math>front[]</math> можно хранить в целых числах, округляя х-координаты в сторону лежащих правее по оси x до ближайшего целого (*), т.к. на самом деле мы, считая динамику, подставляем в уравнения прямых только целые <tex>x[i]</tex>, а значит если <tex>k</tex>-я прямая пересекается с <tex>k+1</tex>-й в точке <tex>z +</tex> <tex>\alpha</tex> (<math>z</math>-целое,  <tex>\alpha</tex>  <tex>\in</tex> <tex>[0;1)</tex>), то мы будем подставлять в их уравнения <tex>z</tex>  или <tex>z + 1</tex>. Поэтому можно считать, что новая прямая начинает совпадать с выпуклой оболочкой, начиная с <tex>x = z+1</tex>

==Реализация==
  '''int''' <tex>\mathtt{ConvexHullTrick}</tex>('''int''' a[n], '''int''' c[n])
     st[1] = 1
     front[1] = -<tex>\infty</tex><font color=green>// первая прямая покрывает все x-ы, начиная с -∞ </font>
     sz = 1 <font color=green>// текущий размер выпуклой оболочки </font>
     pos = 1 <font color=green>// текущая позиция первого такого j, что x[i] \geqslant front[st[j]] </font >
     '''for'''  i = 2..n  
          '''while''' (front[pos] < x[i]) <font color=green>// метод 1 указателя (ищем первое pos, такое что x[i] покрывается "областью действия" st[pos]-той прямой </font >
               pos = pos + 1
          j = st[pos]
          dp[i] = K[j] <math>\cdot</math> a[i] + B[j] 
          '''if''' (i < n)   <font color=green>// если у нас добавляется НЕ последняя прямая, то придется пересчитать выпуклую оболочку </font >
                K[i] = c[i]  <font color=green>// наши переобозначения переменных </font >
                B[i] = dp[i] <font color=green>// наши переобозначения переменных </font >
                x = -<tex>\infty</tex> 
                '''while''' ''true'' 
                      j = st[sz]
                      x = divide(B[j] - B[i], K[i] - K[j]) <font color=green>// x-координата пересечения с последней прямой оболочки, округленное в нужную сторону (*) </font >
                      '''if''' (x > from[sz]) '''break'''  <font color=green>// перестаем удалять последнюю прямую из множества, если новая прямая пересекает ее позже, чем начинается ее "область действия" </font >
                      sz = sz - 1<font color=green>// удаляем последнюю прямую, если она лишняя </font >
                 st[sz + 1] = i  
                 front[sz + 1] = x <font color=green>// добавили новую прямую </font >
                 sz = sz + 1
  '''return''' dp[n] 
Здесь функция <tex>\mathtt{divide(a, b)}</tex> возвращает нужное(*) округление <tex>\frac{a}{b}</tex>. Приведем её код :
 '''int''' <tex>\mathtt{divide}</tex>('''int''' a, '''int''' b)
        delta = 0
        '''if''' (a '''mod''' b ≠ 0) delta = 1
        '''if''' ((a > 0 '''and''' b > 0) '''or''' (a < 0 '''and''' b < 0)) '''return''' [a / b] + delta
 '''return''' -[|a| / |b|]
 

Такая реализация будет работать за <math>O(n)</math>.

==Динамический convex hull trick==
	Заметим, что условия на возрастание/убывание <tex>k[i]</tex> на убывание/возрастание и <tex>x[i]</tex> выглядят достаточно редкими для большинства задач. Пусть в задаче таких ограничений нет. Первый способ борьбы с этой проблемой - отсортировать входные данные нужным образом, не испортив свойств задачи (пример : задача G c Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016 <ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.pdf Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>).

	Но рассмотрим общий случай. По-прежнему у нас есть выпуклая оболочка прямых, с помощью которой мы за <tex>O(\log(n))</tex> можем найти   <tex>dp[i]</tex>, но теперь вставку <tex>i</tex>-й прямой в оболочку уже нельзя выполнить описанным ранее способом за <tex>O(1)</tex> в среднем. У нас есть выпуклая оболочка, наша прямая пересекает ее, возможно, «отсекая» несколько отрезков выпуклой оболочки в середине (рис. 4 : красная прямая - та, которую мы хотим вставить в наше множество). Более формально : теперь наша новая прямая будет ниже остальных при <tex>x \in [x_1; x_2]</tex>, где <tex>x_1, x_2 \in R</tex> - точки пересечения с некоторыми прямыми, причем <tex>x_2</tex> не обязательно равно <tex>+ \infty</tex>
[[Файл:picture4convexhull.png]]

Чтобы уметь вставлять прямую в множество будем хранить [[Красно-черное_дерево|двоичное дерево поиска]], в вершинах которого будут пары <tex>(k, st)</tex> =  (коэффицент прямой, ее номер в глобальной нумерации). Когда приходит новая прямая, ищем последнюю прямую с меньшим угловым коэффицентом, чем у той прямой, которую мы хотим добавить в множество. Поиск такой прямой занимает <tex>O(\log(n))</tex>. Начиная с найденной прямой выполняем "старый" алгоритм (удаляем, пока текущая прямая множества бесполезна). И симметричный алгоритм применяем ко всем прямым справа от нашей (удаляем правого соседа нашей прямой, пока она пересекает нас позже, чем своего правого соседа).
	
Асимптотика решения составит <tex>O(\log(n))</tex> на каждый из <tex>n</tex> запросов «добавить прямую» + <tex>O(n\cdot\log(n))</tex> суммарно на удаление прямых, т.к. по-прежнему каждая прямая не более одного раза удалится из множества, а каждое удаление из std::set занимает <tex>O(\log(n))</tex> времени. Итого <math>O(n\cdot\log(n))</math>.

== Альтернативный подход ==
Другой способ интерпретировать выражение <tex>dp[i] = \min\limits_{j=0...i-1}(c[j] \cdot a[i] + dp[j])</tex>  заключается в том, что мы будем пытаться свести задачу к стандартной выпуклой оболочке множества точек. Перепишем выражение средующим образом : <tex>dp[j] + a[i] \cdot c[j] = (dp[j], c[j]) \cdot (1, a[i])</tex>, т.е. запишем как скалярное произведение векторов <tex>v[j] = (dp[j], c[j])</tex> и <tex >u[i] = (1, a[i])</tex >. Вектора  <tex >v[j] =  (dp[j], c[j])</tex> хотелось бы организовать так, чтобы за <tex >O(\log(n))</tex> находить вектор, максимизирующий выражение <tex>v[j] \cdot u[i]</tex>. Посмотрим на рис. 5. Заметим интуитивно очевидный факт : красная точка (вектор) <tex>j</tex> не может давать более оптимальное значение <tex>v[j] \cdot u[i]</tex> одновременно чем обе синие точки. По этой причине нам достаточно оставить выпуклую оболочку векторов <tex>v[j]</tex>, а ответ на запрос {{---}} это поиск <tex>v[j]</tex>, максимизирующего проекцию на <tex>u[i]</tex>. Это задача поиска ближайшей точки выпуклого многоугольника (составленного из точек выпуклой оболочки) к заданной прямой (из <tex>(0, 0)</tex> в <tex>(1, a[i])</tex>).  Ее можно решить за <tex>O(\log(n))</tex> двумя бинарными или одним тернарным поиском
Асимптотика алгоритма по-прежнему составит <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>

[[Файл:picture5convexhull.png]]

Докажем то, что описанный выше алгоритм корректен. Для этого достаточно показать, что если имеются <math>3</math> вектора <math>a, b, c</math>, расположенные как на рис. 5, т.е. точка <math>b</math> не лежит на выпуклой оболочке векторов <tex>0, a, b, c </tex> : <tex> \Leftrightarrow [a-b, b-c] < 0 </tex>, то либо  <tex>(a, u[i])</tex> оптимальнее, чем <tex>(b, u[i])</tex>,  либо <tex>(c, u[i])</tex> оптимальнее, чем <tex>(b, u[i])</tex>.
{{Теорема
|id=th12392. 
|statement=Если есть <tex>3</tex> вектора <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>[a-b, b-c] < 0</tex> то либо <math>(a, u) < (b, u)</math>, либо <math>(c, u) < (b, u)</math>, где вектор <math>u = (1; k)</math>.
|proof=По условию теоремы известно, что <tex>[a-b, b-c] < 0 \Leftrightarrow (a_{x} - b_{x})\cdot(b_{y} - c_{y}) < (a_{y} - b_{y}) \cdot (b_{x} - c_{x})</tex> (*). Предположим (от противного), что <tex>(b, u) < (a, u) \Leftrightarrow b_{x}  + k \cdot b_{y} <  a_{x} + k \cdot a_{y} \Leftrightarrow (b_{x} - a_{x}) < k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex> и при этом <tex>(b, u) < (c, u) \Leftrightarrow b_{x}  + k \cdot b_{y} < c_{x} + k \cdot c_{y} \Leftrightarrow (c_{x} - b_{x}) > k \cdot (b_{y} - c_{y})</tex>.

Подставим эти неравенства в (*). Получим цепочку неравенств : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y}) = k</tex><tex> \cdot (b_{y} - a_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{y} - c_{y})</tex> <tex> < (a_{x} - b_{x})</tex><tex> \cdot (b_{y} - c_{y})</tex><tex> < (a_{y} - b_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{x} - c_{x})</tex> <tex>< k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Получили противоречие : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y}) < k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Значит предположение неверно, чтд.
}}

Из доказанной теоремы и следует корректность алгоритма.

==См. также==

*[[:Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|Выпуклая оболочка]]

*[[:Динамическое_программирование|Динамическое программирование]]

== Примечания ==
<references/>

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]
[[Категория: Способы оптимизации методов динамического программирования]]