Просмотр исходного текста страницы Теорема о существовании совершенного паросочетания в графе, полученном из регулярного удалением ребёр

{{Теорема
|id = th_main. 
|author = J. Plesnik, 1972
|statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярный граф]], с чётным числом вершин, причём <tex>\lambda(G) \geqslant k - 1</tex>, а граф <tex>G'</tex> получен из <tex>G</tex> удалением не более <tex>k - 1</tex> рёбер. Тогда в графе <tex>G'</tex> есть совершенное паросочетание.
|proof = 
Пусть <tex>G' = G \setminus F</tex>, где <tex>F \subset E(G)</tex>, тогда <tex>|F| \leqslant k - 1</tex>

Предположим, что в <tex>G'</tex> нет [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенного паросочетания]]., тогда выберем [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#Tutt_set | множество Татта]] <tex>S \subset V(G')</tex>, тогда <tex>odd(G' \subset S) > |S|</tex>

Так как <tex>|V(G)|</tex> чётно, то и <tex>odd(G' \setminus S) + |S|</tex> тоже чётно. Из этого следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \equiv |S| \pmod 2 </tex>. Из этого факта и того, что <tex>odd(G' \setminus S) > |S|</tex> следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \geqslant |S| + 2 ~~~ \textbf{(1)}</tex>

Пусть в графе <tex>G' \setminus S</tex> всего <tex>t</tex> компонент связности, <tex>n</tex> из которых нечётны. Тогда пусть <tex>U_1, \cdots, U_n</tex> {{---}} нечётные компоненты связности <tex>G' \setminus S</tex>, тогда <tex>|odd(G' \setminus S)| = n</tex>, а <tex>U_{n+1}, \cdots, U_t</tex> {{---}} его чётные компоненты связности. Для каждого <tex>i \in [1 \cdots t]</tex> определим три величины:

<tex>A_i</tex> {{---}} рёбра из <tex>E(G')</tex>, соединяющие <tex>U_i</tex> с <tex>S</tex>, <tex>\alpha_i</tex> {{---}} их количество, то есть <tex>\alpha_i = |A_i|</tex>

<tex>B_i</tex> {{---}} рёбра из <tex>F</tex>, соединяющие <tex>U_i</tex> с <tex>S</tex>, <tex>\beta_i</tex> {{---}} их количество, то есть <tex>\beta_i = |B_i|</tex>

<tex>C_i</tex> {{---}} рёбра из <tex>F</tex>, соединяющие <tex>U_i</tex> с  остальными компонентами связности графа <tex>G' \setminus S</tex>, <tex>\gamma_i</tex> {{---}} их количество, то есть <tex>\gamma_i = |C_i|</tex>.

Тогда определим <tex>m_i = \alpha_i + \beta_i + \gamma_i</tex>. Тогда <tex>m_i</tex> {{---}} это количество рёбер графа <tex>G</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с <tex>V(G) \setminus U_i</tex>.

По лемме [[Совершенное паросочетание в кубическом графе#lemma1 | о сравнимости по модулю 2]] для нечётных компонент связности <tex>G' \setminus S</tex> (то есть <tex>i \in [1 \cdots n]</tex>) <tex>m_i \equiv k \pmod 2</tex>.

<tex>m_i \geqslant \lambda(G) \geqslant k - 1</tex>. Из этого факта и того, что <tex>m_i \equiv k \pmod 2</tex> следует, что <tex>m_i \geqslant k</tex>. Отсюда получаем неравенство:

<tex>\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^n \beta_i + \sum\limits_{i=1}^n \gamma_i \geqslant kn ~~~ \textbf{(2)}</tex>

Заметим, что все множества рёбер <tex>A_i \subset E(G')</tex> и <tex>B_j \subset F</tex> не пересекаются(так как <tex>E(G') = E(G) \setminus F</tex>) и ведут во множество <tex>S</tex>. Поэтому сумма <tex>\sum\limits_{i=1}^t |A_i| + \sum\limits_{i=1}^t |B_i| = \sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^t \beta_i</tex> не превосходит суммарную степень вершин в <tex>S</tex>. Во множестве <tex>S</tex> находится всего <tex>|S|</tex> вершин, степень каждой не превосходит <tex>k</tex>. Поэтому суммарная степень вершин в <tex>S</tex> не превосходит <tex>k|S|</tex>. Отсюда получаем неравенство:

<tex>\sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^t \beta_i \leqslant k|S| ~~~ \textbf{(3.1)}</tex>

Заметим, что множества рёбер <tex>B_i</tex> и <tex>C_j</tex>, не пересекаются, так как <tex>B_i</tex> ведут из <tex>U_i</tex> в <tex>S</tex>, а <tex>C_j</tex> ведут из <tex>U_j</tex> в <tex>U_k</tex>, (<tex>k \neq j</tex>). Так как <tex>B_i \subset F</tex> и <tex>C_j \subset F</tex>, то сумма <tex>\sum\limits_{i=1}^t |B_i| + \sum\limits_{i=1}^t |C_i| = \sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i</tex> не превосходит мощности <tex>F</tex>, откуда имеем:

<tex>2 \sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant 2|F| \leqslant 2k - 2 ~~~ \textbf{(3.1)}</tex> (так как <tex>|F| \leqslant k - 1</tex>)

Сложив <tex>\textbf{(3.1)}</tex> и <tex>\textbf{(3.2)}</tex>, получаем

<tex>\sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + 3\sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant k(|S| + 2) - 2 ~~~ \textbf{(3)}</tex>

Из неравенств <tex>\textbf{(2)}</tex> и <tex>\textbf{(3)}</tex> получаем <tex>kn \leqslant k(|S| + 2) - 2</tex> 

Тогда <tex>k(n - |S| - 2) \ \leqslant -2</tex>, следовательно, <tex>k(n - |S| - 2) \leqslant 0</tex>

<tex>k > 0</tex>, следовательно <tex>n - |S| - 2 \leqslant 0</tex>

и, следовательно, <tex>odd(G' \setminus S) = n < |S| + 2</tex>, что противоречит <tex>\textbf{(1)}</tex>. Таким образом, множество Татта найти нельзя, значит, в <tex>G'</tex> существует совершенное паросочетание.
}}

==Следствия==

Заметим, что [[Совершенное паросочетание в кубическом графе#th1 | Теорема Петерсона]] является следствием из этой теоремы, так как в графах Петерсена <tex>k = 3</tex>, <tex>\lambda(G) \leqslant 2 = k - 1</tex>, <tex>|V|</tex> чётно и <tex>|F| = 0 \leqslant k - 1</tex>



{{Утверждение
|id = statement2 
|statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярный граф]], с чётным числом вершин, причём <tex>\lambda(G) \geqslant k - 1</tex>. Тогда для любого ребра <tex>e \in E(G)</tex> существует совершенное паросочетание графа <tex>G</tex>, содержащее <tex>e</tex>.
|proof = 
Пусть <tex>e = uv</tex>, а <tex>e_1 \cdots e_{k-1}</tex> {{---}} остальные рёбра, инцидентные вершине <tex>u</tex>. Согласно теореме, в графе <tex>G \setminus \{ e_1 \cdots e_{k-1} \}</tex> есть совершенное паросочетание <tex>M</tex>. Так как <tex>u</tex> покрывается <tex>M</tex>, а <tex>e</tex> {{---}} единственное ребро <tex>G \setminus \{ e_1 \cdots e_{k-1} \}</tex>, инцидентное <tex>u</tex>, <tex>u \in M</tex>
}}

==См. также==
* [[Совершенное паросочетание в кубическом графе]]

==Источники информации==
* Карпов В. Д. - Теория графов, стр 43

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о паросочетании]]