Просмотр исходного текста страницы Задача о динамической связности оффлайн

{{Задача
|definition = Имеется [[Основные_определения:_граф,_ребро,_вершина,_степень,_петля,_путь,_цикл#Неориентированные_графы|неориентированный граф]] из <tex>n</tex> вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать <tex>m</tex> запросов трёх типов:
* добавить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>,
* удалить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>,
* проверить, лежат ли вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в одной компоненте связности.
В графе могут быть кратные рёбра и петли.
}}
В этой статье приведено решение задачи в offline, то есть ответы на все запросы будут получены после обработки всех запросов, а не по мере их поступления.

== Решение упрощённой задачи ==
Если нет удалений рёбер, задачу можно решить при помощи [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]]. Каждая компонента связности {{---}} одно множество в СНМ, и при добавлении рёбер они объединяются.

Время работы такого решения: <tex>O(m \cdot \alpha (n))</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)#Функция Аккермана|обратная функция Аккермана]].

== Алгоритм ==
=== Построение дерева отрезков ===
Рассмотрим массив запросов. Каждое ребро в графе существует на некотором отрезке запросов: начиная с запроса добавления и заканчивая запросом удаления (либо концом запросов, если ребро не было удалено). Для каждого ребра можно найти этот отрезок, пройдя по массиву запросов и запоминая, когда какое ребро было добавлено.

Пусть есть <tex>k</tex> рёбер, <tex>i</tex>-е соединяет вершины <tex>v_i</tex> и <tex>u_i</tex>, было добавлено запросом <tex>L_i</tex> и удалено запросом <tex>R_i</tex>.

Построим на массиве запросов [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]], в каждой его вершине будем хранить список пар. <tex>i</tex>-е рёбро графа нужно добавить на отрезок <tex>[L_i,R_i]</tex>. Это делается аналогично тому, как в дереве отрезков происходит добавление на отрезке (процесс описан в статье "[[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления]]"), но без <tex>push</tex>: нужно спуститься по дереву от корня и записать пару <tex>u_i,v_i</tex> в вершины дерева отрезков.

Теперь чтобы узнать, какие рёбра существуют во время выполнения <tex>i</tex>-го запроса, достаточно посмотреть на путь от корня дерева отрезков до листа, который соответствует этому запросу {{---}} рёбра, записанные в вершинах этого пути, существуют во время выполнения запроса.

=== Ответы на запросы ===
Обойдём дерево отрезков в глубину, начиная с корня. Будем поддерживать граф, состоящий из рёбер, которые содержатся на пути от текущей вершины дерева отрезков до корня. При входе в вершину добавим в граф рёбра, записанные в этой вершине. При выходе из вершины нужно откатить граф к состоянию, которое было при входе. Когда мы добираемся до листа, в граф уже добавлены все рёбра, которые существуют во время выполнения соответствующего запроса, и только они. Поэтому если этот лист соответствует запросу третьего типа, его следует выполнить и сохранить ответ.

Для поддержания такого графа и ответа на запросы будем использовать [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|систему непересекающихся множеств]]. При добавлении рёбер в граф объединим соответствующие множества в СНМ. Откатывание состояния СНМ описано ниже.

=== СНМ с откатами ===
Для того, чтобы иметь возможность откатывать состояние СНМ, нужно при каждом изменении любого значения в СНМ записывать в специальный массив, что именно изменилось и какое было предыдущее значение. Это можно реализовать как массив пар (указатель, значение).

Чтобы откатить состояние СНМ, пройдём по этому массиву в обратном порядке и присвоим старые значения обратно. Для лучшего понимания ознакомьтесь с приведённой ниже реализацией.

Нужно заметить, что эвристику сжатия путей в этом случае применять не следует. Эта эвристика улучшает асимптотическое время работы, но это время работы не истинное, а амортизированное. Из-за наличия откатов к предыдущим состояниям эта эвристика не даст выигрыша. СНМ с ранговой эвристикой же работает за <tex>O(\log n)</tex> на запрос истинно.

Запоминание изменений и откаты не влияют на время работы, если оно истинное, а не амортизированное. Действительно: пусть в СНМ произошло <tex>r</tex> изменений. Каждое из них будет один раз занесено в массив и один раз отменено. Значит, запись в массив и откаты работают за <tex>\Theta(r)</tex>. Но и сами изменения заняли <tex>\Theta(r)</tex> времени, значит, откаты не увеличили асимптотическое время работы.

Вместо описанного способа откатывания состояния СНМ можно использовать [[Персистентные структуры данных|персистентный]] СНМ, но этот вариант сложнее и имеет меньшую эффективность. <!-- Я не уверен, бывает ли персистентный СНМ, работающий за log. -->

== Время работы ==
Каждое из <tex>O(m)</tex> рёбер записывается в <tex>O(\log m)</tex> вершин дерева отрезков. Поэтому операций <tex>\mathrm{union}</tex> в СНМ будет <tex>O(m \log m)</tex>. Каждая выполняется за <tex>O(\log n)</tex> (СНМ с ранговой эвристикой). Откаты не влияют на время работы.

Можно считать, что <tex>n = O(m)</tex>, так как в запросах используется не более <tex>2m</tex> вершин.

Время работы: <tex>O(m \log m \log n) = O(m \log^2 m)</tex>.

== Реализация на C++ ==
 '''#include''' <bits/stdc++.h>
 
 '''using''' '''namespace''' std;
 '''typedef''' pair < '''int''' , '''int''' > ipair;
 '''const''' '''int''' N = 100321;
 
 <font color="green">// СНМ</font>
 '''int''' dsuP[N], dsuR[N];
 <font color="green">// В этот массив записываются все изменения СНМ, чтобы их можно откатить</font>
 <font color="green">// При изменении какого-то значения в СНМ в hist записывается пара < указатель, старое значение ></font>
 vector < pair < '''int'''*, '''int''' > > hist;
 
 <font color="green">// Для элемента из СНМ возвращает корень дерева, в котором он находится</font>
 '''int''' dsuRoot('''int''' v)
 {
     '''while''' (dsuP[v] != -1)
         v = dsuP[v];
     '''return''' v;
 }
 
 <font color="green">// Объединяет два множества. Используется ранговая эвристика.</font>
 <font color="green">// При любом изменении содержимого массивов dsuP и dsuR</font>
 <font color="green">// в hist записывается адрес и старое значение</font>
 '''void''' dsuMerge('''int''' a, '''int''' b)
 {
     a = dsuRoot(a);
     b = dsuRoot(b);
     '''if''' (a == b)
         '''return''';
     '''if''' (dsuR[a] > dsuR[b])
     {
         hist.emplace_back(&dsuP[b], dsuP[b]);
         dsuP[b] = a;
     } '''else''' '''if''' (dsuR[a] < dsuR[b])
     {
         hist.emplace_back(&dsuP[a], dsuP[a]);
         dsuP[a] = b;
     } '''else'''
     {
         hist.emplace_back(&dsuP[a], dsuP[a]);
         hist.emplace_back(&dsuR[b], dsuR[b]);
         dsuP[a] = b;
         ++dsuR[b];
     }
 }
 
 '''struct''' Query
 {
     '''int''' t, u, v;
     bool answer;
 };
 '''int''' n, m;
 Query q[N];
 
 <font color="green">// Дерево отрезков, в каждой вершине которого хранится список рёбер</font>
 vector < ipair > t[N*4];
 
 <font color="green">// Эта функция добавляет ребро на отрезок</font>
 <font color="green">// [l r] - отрезок, на который добавляется ребро</font>
 <font color="green">// uv - ребро, c - текущая вершина дерева отрезков,</font>
 <font color="green">// [cl cr] - отрезок текущей вершины дерева отрезков</font>
 '''void''' addEdge('''int''' l, '''int''' r, ipair uv, '''int''' c, '''int''' cl, '''int''' cr)
 {
     '''if''' (l > cr || r < cl)
         '''return''';
     '''if''' (l <= cl && cr <= r)
     {
         t[c].push_back(uv);
         '''return''';
     }
     '''int''' mid = (cl + cr) / 2;
     addEdge(l, r, uv, c*2+1, cl, mid);
     addEdge(l, r, uv, c*2+2, mid+1, cr);
 }
 
 <font color="green">// Обход дерева отрезков в глубину</font>
 '''void''' go('''int''' c, '''int''' cl, '''int''' cr)
 {
     '''int''' startSize = hist.size();
     <font color="green">// Добавляем рёбра при входе в вершину</font>
     '''for''' (ipair uv : t[c])
         dsuMerge(uv.first, uv.second);
 
     '''if''' (cl == cr)
     {
         <font color="green">// Если эта вершина - лист, то отвечаем на запрос</font>
         '''if''' (q[cl].t == 3)
             q[cl].answer = (dsuRoot(q[cl].u) == dsuRoot(q[cl].v));
     } '''else''' {
         '''int''' mid = (cl + cr) / 2;
         go(c*2+1, cl, mid);
         go(c*2+2, mid+1, cr);
     }
 
     <font color="green">// Откатываем изменения СНМ</font>
     '''while''' (('''int''')hist.size() > startSize)
     {
         *hist.back().first = hist.back().second;
         hist.pop_back();
     }
 }
 
 '''int''' main()
 {
     ios::sync_with_stdio('''false''');
     <font color="green">// Формат входных данных:</font>
     <font color="green">// n и m, затем в m строках запросы: по три числа t, u, v</font>
     <font color="green">// t - тип (1 - добавить ребро, 2 - удалить, 3 - принадлежат ли одной компоненте)</font>
     <font color="green">// Нумерация вершин с нуля</font>
     cin >> n >> m;
     '''for''' ('''int''' i = 0; i < n; ++i) <font color="green">// Инициализация СНМ</font>
         dsuP[i] = -1;
     
     <font color="green">// В этом массиве для каждого ещё не удалённого ребра хранится</font>
     <font color="green">// на каком запросе оно было создано</font>
     set < pair < ipair, '''int''' > > edges;
     '''for''' ('''int''' i = 0; i < m; ++i)
     {
         cin >> q[i].t >> q[i].u >> q[i].v;
         <font color="green">// Поскольку рёбра неориентированные, u v должно означать то же самое, что и v u</font>
         '''if''' (q[i].u > q[i].v) swap(q[i].u, q[i].v);
         <font color="green">// При добавлении ребра кладём его в set</font>
         '''if''' (q[i].t == 1)
             edges.emplace(ipair(q[i].u, q[i].v), i);
         <font color="green">// При удалении ребра берём из set время его добавления - так мы узнаём отрезок заросов,</font>
         <font color="green">// на котором оно существует. Если есть несколько одинаковых рёбер, можно брать любое.</font>
         '''else''' '''if''' (q[i].t == 2)
         {
             '''auto''' iter = edges.lower_bound(make_pair(ipair(q[i].u, q[i].v), 0));
             addEdge(iter->second, i, iter->first, 0, 0, m - 1);
             edges.erase(iter);
         }
     }
     <font color="green">// Обрабатываем рёбра, которые не были удалены</font>
     '''for''' ('''auto''' e : edges)
         addEdge(e.second, m - 1, e.first, 0, 0, m - 1);
     
     <font color="green">// Запускаем dfs по дереву отрезков</font>
     go(0, 0, m - 1);
     <font color="green">// Выводим ответ.</font>
     <font color="green">// При обходе дерева отрезков запросы обрабатываются в том же порядке, в котором они даны,</font>
     <font color="green">// поэтому ответ можно выводить прямо в go без заполнения answer</font>
     '''for''' ('''int''' i = 0; i < m; ++i)
         '''if''' (q[i].t == 3)
         {
             '''if''' (q[i].answer)
                 cout << "YES\n";
             '''else'''
                 cout << "NO\n";
         }
 
     '''return''' 0;
 }

== Замечания ==
* Дерево отрезков можно строить не на всех запросах, а только на запросах третьего типа. Это даст выигрыш по скорости и памяти, особенно если таких запросов немного по сравнению с общим числом запросов.
* Помимо проверки, лежат ли две вершины в одной компоненте связности, можно получать и другую информацию, которую можно получить из СНМ, напрмер:
** Размер компоненты связности, которая содержит вершину <tex>v</tex>
** Количество компонент связности
* Эту идею можно использовать и для других задач. Вместо СНМ можно использовать любую структуру данных, в которую можно добавлять, но не удалять.
** Например, динамический рюкзак: добавлять предмет в него можно за <tex>O(w)</tex> (<tex>w</tex> {{---}} максимальный вес), а удалять нельзя. Аналогично тому, как в dynamic connectivity offline добавляются и удаляются рёбра, можно удалять элементы из рюкзака.

== См. также ==
* [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|Система непересекающихся множеств]]
* [[Дерево отрезков. Построение|Дерево отрезков]]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]