Просмотр исходного текста страницы Метод Фибоначчи

==Метод Фибоначчи==
'''Метод Фибоначчи''' (англ. ''Fibonacci method'') {{---}} это улучшение реализации [[Поиск с помощью золотого сечения|поиска с помощью золотого сечения]], служащего для нахождения минимума/максимума функции. Подобно методу золотого сечения, он требует двух вычислений функции на первой итерации, а  на каждой последующей только по одному. Однако этот метод отличается от метода золотого сечения тем, что коэффициент сокращения интервала неопределенности меняется от итерации к итерации.

==Описание==
Метод основан на последовательности чисел Фибоначчи <tex> {F_v} </tex>, которая определяется следующим образом :
       
<tex> F_v = F_{v-1} + F_{v-2}, v = 1, 2, 3,\dots, F_0 = F_1 = 1 </tex>

Таким образом, последовательность Фибоначчи имеет вид <tex> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …</tex>
Предположим, что на <tex>k</tex>-й итерации интервал неопределенности равен <tex>[a_k, b_k]</tex>.  Рассмотрим две точки <tex>{\lambda}_k</tex> и <tex>{\mu}_k</tex>, определяемые следующим образом:

<tex>{\lambda}_k = a_k + \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right)</tex>

<tex>{\mu}_k = a_k + \dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right)</tex>, 

где <tex> k = 1, 2, \dots, n-1</tex> и <tex>n</tex> {{---}} заданное общее число вычислений функции.

Новый интервал неопределенности <tex>[a_{k+1}, b_{k+1}]</tex> будет равен <tex> [{\lambda}_k, b_k]</tex>, если <tex> f\left({\lambda}_k\right) > f\left({\mu}_k\right)</tex> и <tex>[a_k, {\mu}_k]</tex>, если <tex> f\left({\lambda}_k\right) \le f\left({\mu}_k\right)</tex>. В первом случае, учитывая <tex>{\lambda}_k </tex> и полагая <tex>v = n - k</tex>, получим

<tex>b_{k+1} - a_{k+1} = b_k - {\lambda}_k = b_k - a_k - \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right) = \dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right)</tex>. 

Во втором случае, учитывая <tex> {\mu}_k</tex>, получаем

<tex> b_{k+1} - a_{k+1} = {\mu}_k - a_k = \dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right)</tex>.

Таким образом, в обоих случаях длина интервала неопределенности сжимается с коэффициентом <tex>\dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}</tex>. Покажем, что на <tex>k-</tex>той итерации либо <tex>{\lambda}_k = {\mu}_k</tex>, либо <tex>{\mu}_{k+1} = {\lambda}_k</tex>, так что требуется только одно новое вычисление функции. Предположим, что <tex> f\left({\lambda}_k\right) > f\left({\mu}_k\right)</tex>. Тогда <tex>a_{k+1} = {\lambda}_k, b_{k+1} = b_k</tex>. Таким образом, используя <tex> F_v = F_{v-1} + F_{v-2}, v = 1, 2, 3,\dots, F_0 = F_1 = 1 </tex> и заменив <tex>k</tex> на <tex>k+1</tex>, получаем <tex>{\lambda}_{k+1} = a_{k+1} + \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k}}*\left(b_{k+1} - a_{k+1}\right) = {\lambda}_k + \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k}}*\left(b_k - {\lambda}_k\right)</tex>. 
Подставив выражение для <tex>{\lambda}_k</tex> и заменив <tex>k</tex> на <tex>k + 1</tex>, получим <tex>{\lambda}_{k+1} = a_k + \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right) + \dfrac{F_{n-k-2}}{F_{n-k}}*\left(1 - \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k+1}}\right)*\left(b_k - a_k\right)</tex>.

<tex> 1 - \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k+1}} = \dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}</tex>.

<tex>{\lambda}_{k+1} = a_k + \dfrac{F_{n-k-1} + F_{n-k-2}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right) = a_k + \dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}*\left(b_k - a_k\right) = {\mu}_k</tex>.

Если <tex>f\left({\lambda}_k\right) \le f\left({\mu}_k\right)</tex>, то выполнив аналогичные преобразования, получим <tex>{\lambda}_{k+1} = {\lambda}_k</tex>. Таким образом, в обоих случаях на <tex>k + 1</tex>-й итерации требуется только одно вычисление функции.
В отличие от метода [[Поиск с помощью золотого сечения|золотого сечения]] в методе Фибоначчи требуется, чтобы общее число вычислений <tex>n</tex> (или коэффициент сокращения исходного интервала) было задано заранее. Это объясняется тем, что точки, в которых производятся вычисления, зависят от <tex>n</tex>. Длина интервала неопределенности на <tex>k</tex>-той итерации сжимается с коэффициентом <tex>\dfrac{F_{n-k}}{F_{n-k+1}}</tex>. Следовательно, после <tex> \left(n-1\right)</tex> итерации, где <tex>n</tex> {{---}} заданное общее число вычислений функции <tex>f\left(x\right)</tex>, длина интервала неопределенности сократится от <tex>\left(b_1 - a_1\right)</tex> до <tex>\dfrac{b_1 - a_1}{F_n}</tex>.

==Алгоритм==
'''Предварительный этап.'''
Выбрать допустимую конечную длину интервала неопределенности <tex>l > 0</tex> и константу различимости <tex>{\epsilon}</tex>. Пусть задан начальный интервал неопределенности <tex>\left(b_1 - a_1\right)</tex>. Выбрать общее число вычислений функции <tex>n</tex> так, чтобы <tex>F_n > \dfrac{b_1 - a_1}{l}</tex>. Положить <tex>{\lambda}_1 = a_1 + \dfrac{F_{n-2}}{F_n}*\left(b_1 - a_1\right)</tex>, <tex>{\mu}_1 = a_1 + \dfrac{F_{n-1}}{F_n}*\left(b_1 - a_1\right)</tex>.Вычислить <tex>f\left({\lambda}_1\right)</tex>, <tex>f\left({\mu}_1\right)</tex>, положить <tex>k = 1</tex> и перейти к основному этапу. 

'''Основной этап.''' 

''Первый шаг.'' Если <tex>f\left({\lambda}_k\right) > f\left({\mu}_k\right)</tex>, то перейти ко второму шагу, в противном случае – к третьему шагу.

''Второй шаг.''Положить <tex>a_{k+1} = {\lambda}_k, b_{k+1} = b_k</tex>. Затем положить <tex>{\lambda}_{k+1} = {\mu}_k</tex>, <tex>{\mu}_{k+1} = a_{k+1} + \dfrac{F_{n-k-1}}{F_{n-k}}*\left(b_{k+1} - a_{k+1}\right)</tex>. Если <tex>k = n - 2</tex>, то перейти к пятому шагу, в противном случае вычислить <tex>f\left({\mu}_{k+1}\right)</tex> и перейти к четвертому шагу.

''Третий шаг.'' Положить <tex>a_{k+1} = a_k</tex>, <tex>b_{k+1} = {\mu}_k</tex>, <tex>{\mu}_{k+1} = {\lambda}_k</tex>, <tex>{\lambda}_{k+1} = a_{k+1} + \dfrac{F_{n-k-2}}{F_{n-k}}*\left(b_{k+1} - a_{k+1}\right)</tex>. Если <tex>k = n - 2</tex>, то перейти к пятому шагу, в противном случае <tex>f\left({\lambda}_{k+1}\right)</tex> и перейти к четвертому шагу.

''Четвертый шаг.'' Заменить <tex>k</tex> на <tex>k + 1</tex> и перейти к первому шагу.

''Пятый шаг.'' Положить <tex>{\lambda}_n = {\lambda}_{n-1}</tex>, <tex>{\mu}_n = {\lambda}_n + {\epsilon}</tex>. Если <tex>f\left({\lambda}_n\right) = f\left({\mu}_n\right)</tex>, то положить <tex>a_n = {\lambda}_n, b_n = b_{n-1}</tex>. В противном случае (если <tex>f\left({\lambda}_n\right) < f\left({\mu}_n\right)</tex>), положить <tex>a_n = a_{n-1}, b_n = {\mu}_n</tex>.

'''Конец''': оптимальное решение содержится в интервале <tex>[a_n, b_n]</tex>.