Просмотр исходного текста страницы Спектр линейного оператора

{{В разработке}}
В пределах этого параграфа подразумевается, что оператор <tex>A</tex> {{---}} линейный, ограниченный.

{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}

{{Теорема
|about=о резольвентном множестве
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> {{---}} открытое множество в <tex>\mathbb C</tex>;
|proof=
Пусть <tex>\lambda_0 \in \rho(A)</tex>, тогда существует <tex>R_{\lambda_0}</tex>.

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) (A - \lambda_0 I) R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex>

Если <tex>|\lambda - \lambda_0| \|R_{\lambda_0}\| < 1</tex>, то <tex>(I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex> непрерывно обратим по теореме Банаха.

Тогда и оператор <tex>A - \lambda I</tex> тоже непрерывно обратим, так как <tex> (A - \lambda I)^{-1} = ((A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0}))^{-1} = (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})^{-1} (A - \lambda_0 I)^{-1} </tex>, и тогда он непрерывен как компзиция непрерывных.

Нужное нам условие выполняется, если <tex>|\lambda - \lambda_0| < \frac1{\|R_{\lambda_0}\|}</tex>, таким образом, любая точка <tex>\lambda_0</tex> множества <tex>\rho(A)</tex> входит в него вместе с некоторой окрестностью.
}}

{{Утверждение
|about=вхождение спектра в круг радиуса <nowiki>||А||</nowiki>
|statement=
<tex>\{ |\lambda| > \|A\|\} \subset \rho(A)</tex>
|proof=
<tex>A - \lambda I = -\lambda(I - \frac1\lambda A)</tex>

Если <tex>|\lambda| > \|A\|</tex>, то <tex>\frac1{|\lambda|} \|A\| < 1</tex>, <tex>(I - \frac1\lambda A)</tex> непрерывно обратим, и <tex>A</tex> имеет резольвенту. Отсюда мгновенно получаем требуемое.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex> {{---}} спектральный радиус оператора.
}}

Так как <tex>\|A^n\| \le \|A\|^n</tex>, то <tex>r_\sigma(A) \le \|A\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
|proof=
Обозначим для краткости <tex>r_\sigma(A)</tex> за <tex>r</tex>.

По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r + \varepsilon</tex>.

Любое <tex> n > n_0</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.

Таким образом, <tex>\|A^n\| = \|A^{p_n n_0 + q_n}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n} \|\le \|A^{n_0}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>

Значит, <tex>{\|A^n\|}^{\frac{1}{n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n}} {\|A\|}^{\frac{q_n}{n}}</tex>.

Рассмотрим <tex>{\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n}} = {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{p_n n_0 + q_n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{p_n n_0}} = \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.

Теперь рассмотрим <tex>\frac{q_n}{n} \le \frac{n_0 - 1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|A\|^{\frac{q_n}{n}} \to 1</tex>, то есть, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n \forall n' > n: \|A\|^{\frac{q_{n'}}{n'}} \le 1 + \varepsilon</tex>.

Тогда, с одной стороны, по определению <tex>r</tex> как инфимума, для всех <tex>n</tex>: <tex>r \le \|A^n\|^{\frac{1}{n}}</tex>, но с другой, по только что показанному, для произвольного <tex>\varepsilon</tex>, начиная с какого-то <tex>n</tex> можно сказать, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \le (r + \varepsilon) (1 + \varepsilon)</tex>. Тогда из этого получаем, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \to r</tex>, что и требовалось доказать.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \le r_\sigma(A)\}</tex>
|proof=
<tex> A - \lambda I = - \lambda (I - \frac{1}{\lambda} A)</tex>, найдем, при каких <tex>\lambda</tex> у <tex>I - \frac{1}{\lambda} A</tex> есть обратимый. 

Если сходится <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{\lambda} A)^n</tex>, то он и будет совпадать с <tex>(I - \frac{1}{\lambda}  A)^{-1}</tex> (показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])

Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.

Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma \ge |\lambda|</tex>.
}}

{{Утверждение
|about=аналитичность резольвенты в резольвентном множестве
|statement=<tex>R_\lambda</tex> как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в <tex>\rho(A)</tex> и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.
|proof=

пусть <tex> \lambda_0 \in \rho(A)</tex>:

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0}</tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex> — если взять достаточно малое <tex>\lambda - \lambda_0</tex>, можно так обратить.

<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) ^ {-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---}} сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.

<tex>(A - \lambda I) ^ {-1}  = R_{\lambda_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n+1} (\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.

Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (I - \frac1\lambda A)</tex>, то при <tex>|\lambda| \approx \infty</tex>, <tex>R_\lambda = -\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{\lambda^{n-1}}</tex>, и <tex>R_\lambda</tex> аналитична при <tex>\lambda = \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|about=непустота спектра ограниченного оператора
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptyset</tex>
|proof=
Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \to X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \emptyset</tex>, то <tex> \rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>f(z)</tex> равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=требуется ограниченность всех точек в совокупности, непонятно почему это выполняется. Еще она формулируется для фунции в C, а не в операторы, что меня смущает. Вот [http://www.mathforum.ru/forum/read/1/572/ тут] или  [http://planetmath.org/spectrumisanonemptycompactset тут], возможно, есть объяснение}}), <tex>R_\lambda</tex> — константная функция, но тогда бы все <tex>A - \lambda I</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть получили противоречие и спектр непуст.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]