Просмотр исходного текста страницы Унитарные операторы

==Унитарное преобразование==
Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.

Простейшие свойства унитарного преобразования:
#унитарный оператор всегда обратим
#если оператор <tex>\hat{H}</tex> -- эрмитов, то оператор <tex>\hat{U} = exp(i\hat{H})</tex> -- унитарный

Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.

==Воздействие на кубит==
===Унитарность воздействия===
Покажем, что любое физическое воздействие на [[Кубит|кубит]] в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором <tex>\hat{U}</tex> как <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \hat{U}|\psi\rangle</tex>. 

Линейность <tex>\hat{U}</tex> вытекает из линейности уравнения Шредингера.
Пусть <tex>|\Psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle</tex> - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как <tex>ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle</tex>, где оператор <tex>\hat{H}</tex> -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием <tex>|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle</tex> может быть записано в виде <tex>|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle = \hat{U} |\psi\rangle</tex>. Оператор Гамильтона должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Тогда оператор <tex>\frac{-\hat{H}t}{h}</tex> тоже будет эрмитов. Отсюда в силу свойства 2 унитарного оператора вытекает, что оператор <tex>\hat{U}</tex> -- унитарный, что и требовалось показать.

Унитарность оператора <tex>\hat{U}</tex> означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.

===Квантовые вычисления===
В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор <tex>|\psi\rangle</tex> играет роль входных данных, оператор <tex>\hat{U}</tex> -- вычислительного процесса, а вектор <tex>|\tilde{\psi}\rangle</tex> -- результата вычислений.

Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.

===Матричная запись вычислений===
Будем использовать матричное представление операторов <tex>\hat{U}</tex>.
 
Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора 
<tex>\hat{U}|\psi\rangle = \tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle = \hat{U}(\tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle) = \tilde{\alpha}\hat{U}|0\rangle + \tilde{\beta}\hat{U}|1\rangle</tex>, то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора <tex>|0\rangle</tex> и <tex>|1\rangle</tex>, которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:

<tex>\hat{U}|0\rangle =  \hat{U}_{00}|0\rangle + \hat{U}_{10}|1></tex> 

<tex>\hat{U}|1\rangle = \hat{U}_{01}|0\rangle + \hat{U}_{11}|1></tex>

Тогда вычисление можно записать в виде 

<tex>\begin{pmatrix}
\tilde{\alpha}\\
\tilde{\beta}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
U_{00} & U_{01}\\
U_{10} & U_{11}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}
</tex>

или просто <tex>\tilde{\psi} = U\psi</tex>. Матрица <tex>U</tex> называется матричным представлением оператора <tex>\hat{U}</tex>. Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.

===Примеры однокомпонентных логических элементов===
*[[Квантовый логический элемент NOT]]
*[[Преобразование Адамара|Квантовый логический элемент Адамара H]]

==Воздействие на n-кубит==
===Двухкубитовые системы и операторы===
Для простоты будем рассматривать 2-кубиты. Все сказанное ниже может быть несложным образом обобщено на случай <tex>n>2</tex>

Рассмотрим систему из двух кубитов:

<tex>|\psi_1\rangle = \alpha_1|0_1\rangle + \beta_1|1_1\rangle \in H_1</tex>,

<tex>|\psi_2\rangle = \alpha_2|0_2\rangle + \beta_2|1_2\rangle \in H_2</tex>

Построим векторное пространство, элементами которого являются пары векторов, один из которых принадлежит <tex>H_1</tex>, а другой <tex>H_2</tex>. Такое пространство называется тензорным произведением <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex> и обозначается как <tex>H_1\otimes H_2</tex>.
Базисные вектора такого пространства представляют собой <br>
<tex>|00\rangle = |0_1\rangle \otimes |0_2\rangle</tex>,<br>
<tex>|01\rangle = |0_1\rangle \otimes |1_2\rangle</tex>,<br>
<tex>|10\rangle = |1_1\rangle \otimes |0_2\rangle</tex>,<br>
<tex>|11\rangle = |1_1\rangle \otimes |1_2\rangle</tex>.

Базисные вектора тензорного произведения являются ортонормированными.

Любое состояние двухкубитовой системы можно представить как 

<tex>|\psi\rangle = \gamma_{00}|00\rangle + \gamma_{01}|01\rangle + \gamma_{10}|10\rangle + \gamma_{11}|11\rangle</tex>, где <tex>\gamma_{ij}</tex> как и раньше - вероятность обнаружить систему в состоянии <tex>|ij\rangle</tex>.

Операторы, определенные в тензорном произведении действуют покомнонентно:<br>
<tex>(\hat{U_1} \otimes \hat{U_2})(|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = (\hat{U_1}|\psi_1\rangle) \otimes (\hat{U_2}|\psi_2\rangle)</tex>

===Примеры 2-кубитовых логических элементов===
*[[Квантовый логический элемент CNOT]]
*[[Квантовый логический элемент Тоффоли]]

==Дополнительные материалы==
*[http://books.ifmo.ru/?out=book&id=535] С.А.Чивилихин Квантовая информатика.
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_information] Wikipedia - The Free Encyclopedia