Просмотр исходного текста страницы Эргодическая марковская цепь

{{Определение
|definition=[[Марковская цепь|Марковская цепь]] называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N}</tex> и
:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>.
}}

Марковскую цепь обладающую следующими свойствами называют '''слабо эргодическиой''', если она обладает следующими свойствами:
# Для любых двух различных вершин графа переходов <tex>i,j \, (i\neq j)</tex> найдется такая вершина <tex>k</tex> графа («общий сток»), что существуют ориентированные пути от вершины <tex>i</tex> к вершине <tex>k</tex> и от вершины <tex>j</tex> к вершине <tex>k</tex>. ''Замечание'': возможен случай <tex>k=i</tex> или <tex>k=j</tex>; в этом случае тривиальный (пустой) путь от <tex>i</tex> к <tex>i</tex> или от <tex>j</tex> к <tex>j</tex> также считается ориентированным путем.
# Нулевое собственное число матрицы интенсивности невырождено.
# При <tex>t \to \infty</tex> матрица переходных вероятностей стремится к матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).


[[Файл:MarkovTriangle.png|thumb|350px|Примеры графов переходов для цепей Маркова:
 a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока<tex>^1</tex> для состояний <math>A_2, \, A_3</math>);  
 b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов является слабо-связным<tex>^2</tex>) 
 c) эргодическая цепь (сильно-связный<tex>^3</tex> граф переходов).]]

==Основная теорема об эргодических распределениях==
{{
Теорема
|about=Основная теорема об эргодических распределениях
|statement=
Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей <tex>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она
# Неразложима<tex>^4</tex>;
# Положительно возвратна<tex>^5</tex>;
# Апериодична<tex>^6</tex>.
Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы: 
:<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}


==Пример==
[[File:Temp.gif|thumb|250px|Пример эргодической цепи]]
Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния.
Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_{ij}=0.5, i,j=1,2</tex>.

Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение <tex>\pi = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.

==См. также==
* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Марковская_цепь Марковская цепь]

* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Регулярная_марковская_цепь Регулярная марковская цепь]

==Примечания==
# '''Общий сток''' - такая <tex>k</tex> вершина графа, что для любых двух различных вершин графа переходов <tex>i,j \, (i\neq j)</tex>, существуют ориентированные пути от вершины <tex>i</tex> к вершине <tex>k</tex> и от вершины <tex>j</tex> к вершине <tex>k</tex>.
# Ориентированный граф называется '''слабо-связным''', если является связным неориентированный граф, полученный из него заменой ориентированных рёбер неориентированными.
# Ориентированный граф называется '''сильно-связным''', если в нём существует (ориентированный) путь из любой вершины в любую другую, или, что эквивалентно, граф содержит ровно одну сильно связную компоненту.
#
#
# Если <tex>d(j) = 1</tex>, то состояние j называется '''апериодическим''' <tex>(d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</tex>, где <tex>gcd</tex>  обозначает наибольший общий делитель, называется периодом состояния <tex>j</tex>, <tex>p_{jj}^{(n)}</tex> матрица переходных вероятностей за <tex>n</tex> шагов<tex>)</tex>.

==Ссылки==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Дискретное распределение - Википедия]

==Литература==
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"

[[Категория: Марковские цепи]]