Просмотр исходного текста страницы Классические теоремы теории измеримых функций

[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]

== Лемма ==
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.

{{Лемма
|statement=
Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex> <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_k </tex>, такая что <tex>\{f_{n_k}(x)\} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br> 
(Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
|proof=
Для начала, докажем следующее утверждение:

<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>

То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе.

Возьмём <tex> \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.

В силу условия леммы, для <tex>\varepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>

Рассмотрим <tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>:

<tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>

Раз <tex>n_2 > n_1</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_2} - f_{n_1}| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex> (По выбору <tex>n_1</tex>)

<tex>\varepsilon_3 : \exists n_3 > n_2\ \forall n > n_3 : \mu E(|f_n - f_{n_3}| \geq \varepsilon_3) < \varepsilon_3</tex>

Раз <tex>n_3 > n_2</tex>, <tex>\mu E(|f_{n_3} - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>

Продолжаем по индукции <tex>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</tex>: 

<tex>\mu E(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}| \geq \varepsilon_k) < \varepsilon_k</tex>

<tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex>

<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \rightarrow 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.

<tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>.

Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. Тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду.

<tex>A = \bar B = \bigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>.

Так как <tex>x \in A </tex>, то есть <tex> k_x </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>.

<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| < \varepsilon_j)</tex>

Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex>

Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>:

Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k_x</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\in A</tex> функциональная последовательность сходится.
}}

== Связь сходимости по мере и почти всюду ==

Разделим <tex>[0; 1]</tex> на <tex>m</tex> равных частей. <tex>E = [0; 1]</tex>.

<tex>k = 0, 1 \ldots m - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}</tex>

Растягиваем таблицу из этих функций в строчку:
<tex>f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 2}, f_{1,3}, f_{2,3}, f_{3, 3}, \ldots</tex> {{---}} функциональная последовательность.

<tex>E(|f_{k,m}(x)|\geq \delta)</tex>, <tex>\delta > 0</tex>. В силу определений этих функций очевидно, что <tex>\lambda E(|f_{k,m}(x)| \geq \delta) \leq \frac1m</tex>

Очевидно, что <tex>f_{k,m} \Rightarrow 0</tex>

С другой стороны, очевидно, что к <tex>0</tex> она почти всюду не стремится, ибо при <tex>x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right] \ f_{k_x, m} = 1</tex>.

Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны <tex>1</tex>, значит, стремятся к <tex>1</tex>. Аналогично с нулём.

Мы получили пример того, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.

== Теорема Рисса ==

{{Теорема
|author=Фердинанд Рисс
|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex> к <tex> f </tex>.
|proof=
Выше мы показали, что если <tex>f_n \Rightarrow f</tex>, то <tex>|f_n - f_m| \Rightarrow 0</tex>, <tex>n,m \to \infty</tex>.

Тогда, пользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций.
}}

== Теорема Лузина ==

{{Теорема
|author=Лузин
|statement=<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> по мере Лебега. Тогда <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \varphi</tex> {{---}} непрерывная на <tex>\mathbb{R}^n</tex>, <tex>\lambda_nE(f\ne\varphi)<\varepsilon</tex>
|proof=Это же очевидно!

[[Файл:dodonovface.jpg]]
Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].
}}

Это принято называть <tex>C</tex>-свойством Лузина. 

Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>.

== Теорема Фреше ==
{{Теорема
|author=Фреше
|statement=<tex>E\subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex>. Тогда <tex>\exists\varphi_n</tex> {{---}} последовательность непрерывных на <tex>\mathbb{R}^n</tex> функций, такая, что <tex>\varphi_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
|proof=
Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная:

<tex>\forall \delta>0: \lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) < \lambda E(\varphi_n \ne f)</tex>.

<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.

По теореме Рисса, <tex>\exists\varphi_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>
}}

== Теорема Егорова ==
Д.Ф. Егоров {{---}} основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.

{{Теорема
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br>
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
|proof=
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.

Пусть <tex>B_m(p) = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)</tex>

В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> (этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).

Но любое пересечение содержится в объединении <tex>\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> {{---}} нульмерно <tex>\Rightarrow</tex> по монотонности меры, <tex>\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0</tex>.

Для <tex>\frac{\delta}{2^p} </tex> существует <tex> B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) < \frac{\delta}{2^p}</tex>.

<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>

По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2^p} = \delta</tex>.

<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит, 
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' > \mu E - \delta</tex>.

Пусть <tex> E'' = \bar E' </tex>.

По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.

<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;

Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>.

<tex>\mu\bar E' > \mu E - \delta</tex>

<tex>\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\forall n > m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p</tex>.

В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f</tex>.
}}

[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]