Просмотр исходного текста страницы Определение измеримой функции

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]

{{В разработке}}

Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:

<tex> X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex>

<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>

Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.

{{Определение
|definition=
<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега''' функции <tex> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).
}}

{{Утверждение
|about=
Измеримость по Лебегу
|statement=
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
|proof=
Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:
# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.
# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.
# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.
}}

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> на <tex>E</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>

Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>. 

<tex>E(f<a) = \left\{
\begin{aligned}
E &, C < a \\
\varnothing &, C \geq a
\end{aligned}
\right.
</tex>

Так как <tex>E</tex> измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}, E_p </tex> — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на <tex>E</tex> функция <tex>f : E \to \mathbb R </tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.

{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>F \subset \mathbb{R}^n</tex> {{---}} замкнутое множество, в <tex>\mathbb{R}^n</tex> есть мера <tex>\lambda</tex>. Тогда непрерывная функция <tex>f : F \to \mathbb{R}</tex> {{---}} измерима.
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.

Проверим, что оно замкнуто. 

Рассмотрим последовательность <tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, пусть она сходится к <tex> \bar x </tex>. По определению множества Лебега, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>. 

Так как <tex> F </tex> — замкнутое, и <tex>\bar x_j \in F</tex>, то предел тоже принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>.

По непрерывности <tex> f </tex>, из того, что <tex> f(\bar x_j) \le a </tex>, следует <tex>f(\bar x)\leq a </tex>, то есть, <tex> \bar x \in F(f\leq a)</tex>. 

Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей, то есть замкнуто. Но, как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.
}}

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство {{---}} принадлежность <tex>\mathcal{A}</tex>. Природа этих множеств может быть крайне сложной.

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерим <br>
1.5) <tex>kf</tex> {{---}} измерима (<tex>k \in \mathbb{R}</tex>) <br>
2) <tex>f^2</tex> {{---}} измерим <br>
3) <tex>f + g</tex> {{---}} измерима <br>
4) <tex>f \cdot g</tex> {{---}} измеримо <br>
|proof=
1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, <tex>E(f^2<a)</tex>.

При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < f < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < f) \cap E(f<\sqrt{a})</tex>.

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.

1.5) Если <tex> k = 0 </tex> , то <tex> f = 0 </tex> и она измерима как постоянная. 

Если <tex> k > 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f > \frac{a}{k}) </tex>, если же <tex> k < 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f < \frac{a}{k}) </tex>. Так как <tex> f </tex> — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.

3) Доказывается чуть сложнее

<tex>f(x) + g(x) > a \iff g(x) > a - f(x)</tex>

Базируясь на том,что <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно на оси, <tex>\exists r \in \mathbb{Q} : g(x) > r > a - f(x)</tex>

Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо.

4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
}}

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]