Просмотр исходного текста страницы Участник:Yulya3102/Матан3сем

== Основные вопросы ==
=== Список теорем ===

==== Ненаписанные теоремы ====
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана — в процессе

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — в процессе

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

==== Теоремы без доказательств ====
Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Необходимое условие дифференцируемости. 

Достаточное условие дифференцируемости

Дифференцирование композиции

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>. 

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le 
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>. 

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций). <tex> \sum u_n(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> \sum u_n(x) = S(x) </tex>. <tex> \sum u'_n(x) = \varphi(x)</tex> при <tex> x \in [a, b] </tex>,<tex> \sum u'_n(x) </tex> — равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex> к <tex> \varphi(x) </tex>. Тогда <tex> S(x) \in C'([a, b]) </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>

}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — по пр. Абеля равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex>  <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

Признак Коши: 
<tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) Признак Вейерштрасса

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
В процессе узнавания, что за <tex> F_1 </tex> и <tex> F_2 </tex>
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}(x + iy), \operatorname{Im}(x + iy) ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^n </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^n </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(r_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(r_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по пр. Вейерштрасса р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
<tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

<tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} </tex>

<tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) </tex>

<tex> \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>

<tex> \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} </tex>

<tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

<tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

<tex> \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) </tex>

<tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

<tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

<tex> |T(x)| = 1 </tex>

<tex> \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} </tex>

<tex> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 </tex>

<tex> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... </tex>

<tex> \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... </tex>

<tex> \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...</tex>

<tex> |x| < 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... </tex>

<tex> |x| < 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... </tex>

<tex> |x| < 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости.  ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из опр. частн. производных

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = C_A || x || </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex> 

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex> 
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I </tex>, <tex> G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I </tex>, <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> a </tex>, <tex> G </tex> дифференцируемо в <tex> b </tex>. Тогда <tex> G \circ F </tex> дифференцируемо в <tex> a </tex>, и при этом <tex> (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) ⋅ F'(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) = 
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - c| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \cdot ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги.
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le 1|\nabla f(a)| </tex> равенство достижимо для <tex> n = \pm 1 </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r - 1 \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{r} (D), \ i_1, ... , i_r \in [1 : n] </tex>, набор <tex> (j_1, ..., j_r) </tex> получен из набора <tex> (i_1, ... ,  i_r) </tex> перестановкой. Тогда для всех <tex> x \in D </tex> верно <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{j_1, ..., j_r}^r f(x) </tex>.
}}

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a </tex> — мультииндекс, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> |F(b) - F(a)| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>

<tex> \mathbb{L}_{m, m} : \ Gh(m) = \{ A \in \mathbb{L}_{m, m} : \exists A^{-1} \} </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{-1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{min}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex>

<tex> F'(x)e_i = </tex><tex> \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\  \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex><tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \operatorname{Int} D </tex> — точка экстремума <tex> f, \ k \in [1 : n] </tex>. Тогда если <tex> D_k f(x_0) </tex> существует, то <tex> D_k f(x_0) = 0 </tex>.
}}
Теорема Ролля:
в процессе выяснения некоторых символов
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K </tex>, <tex> f = \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (что-то там <tex> K </tex>). Тогда существует <tex> a \subset \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если форма <tex> K </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma > 0 </tex>, что <tex> K(h) \geqslant \gamma |h|^2 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> <br>
2) Пусть <tex> p </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(2)}(D), \ x_0 \in D </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(x_0) = \mathbb{O}_n </tex>). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> положительно определённая, то <tex> x_0 </tex> — точка строгого минимума <tex> f </tex>.

2) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> отрицательно определённая, то <tex> x_0 </tex> — точка строгого максимума <tex> f </tex>.

3) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> неопределённая, то <tex> x_0 </tex> — не точка экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \  | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>

<tex>F: \forall x \in 0; det(F'(x)) \ne 0 </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} (y_0) </tex>
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) </tex> (т.е. <tex> F </tex> 1 раз непрерывно дифференцируемо на <tex> O </tex>, а его первая производная непрерывна на <tex> D </tex>), <tex> x_0 \in O, \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F | _U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
}}

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

2) <tex> \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия: 

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0  </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Phi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

Тут должно быть ещё четыре строчки. Но я в них не уверен.
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Теорема
|statement=
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь <tex> \gamma </tex> на <tex> \gamma_1 </tex> и <tex> \gamma_2 </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [a; b + d - c]
\end{cases} </tex>,

то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

5) Оценка интеграла: <tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to 0 </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}, \ i, j \in [1 : m] </tex>
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклая, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
}}

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma </tex>, то есть <tex> | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно (петельно) гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>.
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in V'(O), \  \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
}}

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
}}

== Определения и факты ==
=== Список ненаписанных определений ===
Односвязная область — проверить символьное пояснение

=== Равномерно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:

1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}

=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.

=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}

=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}

=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>

<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) </tex>

<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) </tex>
}}

=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}

=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}

=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче,  '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}

=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}

=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}

=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}

=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.

=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:

<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>

С остатком в интегральной форме:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>

Формула в дифференциалах:

<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>

Формула в координатах:

<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>

=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:

<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>

<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>

<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>

<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}

=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y </tex>.
}}

=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:

<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;

<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}

=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. <br>

1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. <br>

2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. <br>

3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. <br>

4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}

=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в нуле, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}

=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.

<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ 
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>

<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>

Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}

=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}

=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}

Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}

=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:

1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}

=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное

<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)

<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}

=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>

Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}

=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}

=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}

=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}

=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}

=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}

=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}

=== Односвязная область ===
???
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}