Просмотр исходного текста страницы Протокол Голдвассер-Сипсера для оценки размера множества

==Описание протокола==
Рассмотрим множество <tex>S \subseteq \left\{ 0, 1 \right\} ^m</tex>, для которого существует сертификат проверки на принадлежность. Протоколом Голдвассера-Сипсера является двухуровневый [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM| интерактивный протокол]], в котором <tex>V</tex> старается принять множество <tex>S</tex>, если <tex>|S| \ge K</tex>, и отвергнуть, если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>.

Выберем <tex>k</tex> так, чтобы <tex>2^{k - 2} \le K \le 2^{k - 1}</tex>. Тогда протокол устроен следующим образом:

<tex>V:</tex> Отправляет <tex>P</tex>, случайным образом выбиранные <tex>h : \left\{ 0, 1 \right\} ^ m \rightarrow \left\{ 0, 1 \right\} ^ k</tex> из [[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций| семейства универсальных попарно независимых хеш-функций]] <tex>H_{m, k}</tex> и <tex>y</tex> из <tex>\left\{ 0, 1 \right\} ^ k</tex>.

<tex>P:</tex> Пытается найти <tex>x \in S</tex>, такой что <tex>h(x) = y</tex>. Отправляет <tex>V</tex> найденный <tex>x</tex> и сертификат <tex>c</tex>, подтверждающий принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>S</tex>.

<tex>V:</tex> Если верно, что <tex>x \in S</tex> и <tex>h(x) = y</tex>, то множество <tex>S</tex> принимается. В противном случае <tex>V</tex> отвергает множество <tex>S</tex>.

==Оценки вероятностей==
Пусть <tex>p = \frac{K}{2^k}</tex>. Если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>, тогда <tex>|h(S)| \le \frac{p\cdot2^k}{2}</tex>. Отсюда получаем, что <tex>P[y \in h(S)] \le \frac{p}{2}</tex>. Необходимо показать, что в случае <tex>|S| \ge K</tex>, <tex>V</tex> будет принимать <tex>S</tex> с вероятностью различимо большей <tex>\frac{p}{2}</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>K \le |S| \le 2^{k - 1}</tex>, то <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] \ge \frac{3}{4}\cdot\frac{|S|}{2^k}</tex>, где <tex>h</tex> случайным образом выбрано из <tex>H_{m, k}</tex>, а <tex>y~-</tex> из <tex>\left\{0,1\right\}^k</tex>.
|proof=
Покажем, что для каждого <tex>y \in \left\{0,1\right\}^k</tex> и случайно выбранной функции <tex>h \in H_{m,k}</tex> справедливо <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] \ge \frac{3}{4} p</tex>.

Для каждого <tex>x \in S</tex> определим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|событие]] <tex>E_x = \left\{h \in H_{m, k} \bigm| h(x) = y\right\}</tex>. Тогда <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] = P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x]</tex>, что [[Формула включения-исключения | формуле включения-исключения]] не меньше, чем <tex>\sum \limits_{x \in S}P[E_x] - \sum\limits_{x_1 \ne x_2 \in S}P[E_{x_1} \cap E_{x_2}]</tex>. Поскольку выбирались <tex>h \in H_{m, k}</tex>, то <tex>P[E_x] = \frac{1}{2^k}</tex> и <tex>P[E_{x_1} \cap E_{x_2}] = \frac{1}{2^{2k}}</tex>. Тогда <tex>P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x] \ge \frac{|S|}{2^k} - \frac{1}{2}\cdot\frac{|S|^2}{2^{2k}} \ge \frac{3}{4}\cdot\frac{|S|}{2^k} \ge \frac{3}{4}p</tex>.
}}
Стоит отметить, что если <tex>|S| > 2^{k - 1}</tex>, то <tex>P</tex> может выбрать <tex>C \subseteq S</tex> так, чтобы <tex>K \le |C| \le 2^{k - 1}</tex>. А значит, в качестве нижней оценки <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y]</tex>  в этом случае можно использовать <tex>\frac{3}{4}p</tex>.

Итого:
# если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>, то <tex>P[V(|S| \ge K) = 1] \le \frac{p}{2}</tex>.
# если <tex>|S| \ge K</tex>, то <tex>P[V(|S| \ge K) = 1] \ge \frac{3}{4}p</tex>.

==Источники==
* ''Sanjeev Arora, Boaz Barak''. [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity Computational Complexity: A Modern Approach]

[[Категория: Теория сложности]]